考慮動力學(xué)擴(kuò)散作用的煤系氣儲層滲透率模型

張宏學(xué)，劉衛(wèi)群，李 盼

（1. 安徽理工大學(xué)力學(xué)與光電物理學(xué)院，安徽 淮南 232001；2. 中國礦業(yè)大學(xué)（徐州）力學(xué)與土木工程學(xué)院，江蘇 徐州 221116；3. 中國礦業(yè)大學(xué)（徐州）深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 徐州 221116）

煤系氣泛指煤系中賦存的各類天然氣，主要包括煤層氣、頁巖氣及煤系砂巖氣等[1]。截至2017 年底，我國煤層氣累計(jì)提交探明儲量為7.118 × 1011m3，2017 年產(chǎn)氣量為4.95 × 109m3[2-3]。我國頁巖氣技術(shù)可采資源量約為2.18 × 1013m3[4]，煤系頁巖氣占頁巖氣總資源量的19%～37%，截至2019 年，我國頁巖氣年產(chǎn)氣量達(dá)到1.53 × 1010m3[5]。目前，我國頁巖氣勘探開發(fā)的主體為海相頁巖氣和陸相頁巖氣。規(guī)模開發(fā)煤系氣，能夠優(yōu)化調(diào)整我國的能源結(jié)構(gòu)。

煤系氣儲層是典型的天然裂縫性儲層，滲透率是評價其商業(yè)開發(fā)可行性的重要參數(shù)之一。目前，國內(nèi)外學(xué)者對煤系氣儲層滲透率解析模型的研究成果頗豐。Palmer 等[6]認(rèn)為儲層壓力降低導(dǎo)致滲透率降低，而儲層壓降又導(dǎo)致甲烷解吸，煤基質(zhì)收縮，裂隙張開度增大，滲透率隨之增大，在此基礎(chǔ)上提出了計(jì)算煤層滲透率隨有效應(yīng)力和煤基質(zhì)收縮變化的理論模型，該模型適用于單軸應(yīng)變條件。Shi 等[7]假設(shè)儲層水平主應(yīng)力垂直于裂隙，通過直接類比熱收縮和基質(zhì)收縮，得到等溫氣體解吸煤層的本構(gòu)關(guān)系，基于此，推導(dǎo)了煤層滲透率模型。Cui 等[8]利用線性等溫多孔彈性理論，結(jié)合孔隙率的定義，假設(shè)煤層處于單軸應(yīng)變條件，推導(dǎo)了煤層的滲透率變化模型。張宏學(xué)等[9]通過引入裂隙法向剛度，建立了頁巖儲層的有效應(yīng)力-滲透率模型，進(jìn)一步分析了頁巖儲層在單軸應(yīng)變和常體積條件下的滲透率模型。文獻(xiàn)[10-11]均將煤層簡化為雙孔雙滲模型（基質(zhì)和裂隙），分別提出了煤基質(zhì)系統(tǒng)和裂隙系統(tǒng)的滲透率模型。文獻(xiàn)[12-14]將煤系氣儲層簡化為三孔雙滲模型，分別建立了儲層的滲透率解析模型。

上述文獻(xiàn)在建立儲層的滲透率模型時，均認(rèn)為在開采過程中儲層的裂隙壓力始終等于基質(zhì)壓力，但是在實(shí)際開采過程中，由于氣體在基質(zhì)中的動力學(xué)擴(kuò)散作用，儲層基質(zhì)壓力不等于裂隙壓力，尤其在開采初期，這一現(xiàn)象特別明顯。本研究將煤系氣儲層簡化為雙孔單滲模型，基于多孔彈性力學(xué)理論以及滲透率與孔隙率的立方關(guān)系，考慮氣體在基質(zhì)中的動力學(xué)擴(kuò)散作用，提出與應(yīng)力相關(guān)的滲透率模型，在此基礎(chǔ)上，分別得到煤系氣儲層在常體積和單軸應(yīng)變條件下的滲透率模型，并利用現(xiàn)場實(shí)測和實(shí)驗(yàn)室測試的滲透率數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的有效性，并分析模型中的各參數(shù)對滲透率的影響。

1 滲透率模型

1.1 有效應(yīng)力-滲透率模型

將煤系氣儲層簡化為雙孔單滲模型，如圖1所示。該模型中基質(zhì)滲透率近似為零，吸附在基質(zhì)上的氣體解吸以后向裂縫擴(kuò)散，通過裂縫流入生產(chǎn)井。設(shè)壓應(yīng)力和壓應(yīng)變?yōu)檎?，考慮氣體在基質(zhì)中的動力學(xué)擴(kuò)散作用，煤系氣儲層的應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系為

圖1 雙孔單滲模型Fig. 1 Dual-porosity and single-permeability model

式中：σij為應(yīng)力分量，Pa； λ為拉梅常數(shù)，Pa， λ=Eμ/[(1+μ)(1-2μ)]， 其中E為巖體的彈性模量，Pa， μ為泊松比； εkk為體應(yīng)變， εkk= εx+ εy+ εz； δij為 Kronecker符號；G為剪切模量，Pa，G=E/[2(1+μ)]； εij為應(yīng)變分量；Km和Ks分別為基質(zhì)和固體顆粒的體積模量，Pa，Km=Em/[3(1-2μ)]，Em為基質(zhì)的彈性模量，Pa； α 和 β均為Boit 系數(shù)， α=1-Km/Ks， β=1-K/Km，K為體積模量，Pa；pm和pf分別為基質(zhì)和裂隙的壓力，Pa； εs為吸附/解吸引起的基質(zhì)的體應(yīng)變， εs=εLpm/(pm+pL)， εL為朗繆爾體積應(yīng)變，pL為朗繆爾壓力，Pa。

1.2 常體積條件下的滲透率模型

1.3 單軸應(yīng)變條件下的滲透率模型

煤系氣儲層滲透率解析模型中的第1 項(xiàng)表示基質(zhì)壓力變化對滲透率的影響，第2 項(xiàng)表示裂隙壓力變化對滲透率的影響，第3 項(xiàng)表示煤系氣解吸/吸附對滲透率的影響。該滲透率模型認(rèn)為儲層基質(zhì)壓力和裂隙壓力不相等，因此，式(19)表示的滲透率模型比C-M 模型多了一項(xiàng)。與常體積條件下的滲透率解析模型相比，單軸應(yīng)變條件下的滲透率模型考慮了基質(zhì)壓力變化對滲透率的影響。

若煤系氣儲層裂隙壓力和基質(zhì)壓力相等，則式(19)所示的滲透率模型簡化為

1.4 反彈壓力

由于裂隙壓縮和基質(zhì)收縮對滲透率的影響是相反的，因此隨著煤系氣的開采，當(dāng)儲層壓力下降到某一數(shù)值時，煤系氣儲層的滲透率會出現(xiàn)反彈，滲透率反彈時的儲層壓力稱為反彈壓力，當(dāng)滲透率反彈到初始滲透率時的儲層壓力稱為開采壓力。由式(23)可得開采壓力prc和反彈壓力prb分別為

式(25)表明，反彈壓力與基質(zhì)彈性模量、泊松比、朗繆爾體應(yīng)變和朗繆爾壓力有關(guān)。各參數(shù)取值不同時，反彈壓力隨彈性模量的演化規(guī)律如圖2 所示。

由圖2 可知，當(dāng)其他參數(shù)不變時，反彈壓力隨彈性模量的增大而增大。各參數(shù)相同時，本研究的反彈壓力大于C-M 模型的反彈壓力。當(dāng)其他參數(shù)不變時，反彈壓力隨著泊松比的減小而增大，隨著朗繆爾壓力的減小而減小。

圖2 反彈壓力的演化規(guī)律Fig. 2 Evolution of rebound pressure

2 模型有效性分析

2.1 模型驗(yàn)證

為了利用滲透率解析模型評價煤系氣藏商業(yè)開發(fā)的可行性，解決關(guān)于煤系氣開采過程中儲層為常體積條件還是單軸應(yīng)變條件的爭議，必須利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的有效性和準(zhǔn)確性。本研究分別建立了儲層在常體積條件和單軸應(yīng)變條件下的滲透率模型，分別利用San Juan 盆地現(xiàn)場實(shí)測的滲透率數(shù)據(jù)以及室內(nèi)實(shí)驗(yàn)得到的滲透率數(shù)據(jù)對兩種條件下的滲透率模型進(jìn)行擬合，如圖3 所示，其中：Model 1、Model 2 分別表示單軸應(yīng)變模型和常體積模型。

圖3 滲透率模型的有效性Fig. 3 Effectiveness of permeability model

由圖3 可知，當(dāng)常體積條件和單軸應(yīng)變條件下的滲透率模型中的參數(shù)相同時，如表1[15-16]和表2[8,16]所示，模型中的初始滲透率k0=b30/12a0， 初始孔隙率 φ0=2b0/a0， 其中：a0為初始裂隙間距，m；b0為初始裂隙張開度，m。單軸應(yīng)變條件下的滲透率模型能夠較好地反映San Juan 盆地以及室內(nèi)實(shí)驗(yàn)巖心的滲透率演化規(guī)律，因此煤系氣儲層在單軸應(yīng)變條件下的滲透率解析模型是有效、準(zhǔn)確的，能夠較準(zhǔn)確地預(yù)測儲層以及室內(nèi)巖心的滲透率演化規(guī)律。

表1 滲透率數(shù)據(jù)[15-16]Table 1 Permeability data[15-16]

表2 模型參數(shù)[8,16]Table 2 Model parameter[8,16]

由圖3 還可以看出，隨著孔隙壓力的增大，模型滲透率和現(xiàn)場滲透率的比值逐漸減小。在本模型和C-M 模型（沒有考慮動力學(xué)擴(kuò)散作用）中的參數(shù)取值相同的條件下，本模型所體現(xiàn)的滲透率比值隨孔隙壓力的演化規(guī)律與現(xiàn)場滲透率、室內(nèi)實(shí)驗(yàn)測試的滲透率演化規(guī)律基本一致。在孔隙壓力增大初期，C-M 模型的滲透率比值下降較平緩，而本模型和實(shí)驗(yàn)測試的滲透率比值急劇下降。這是由于C-M模型認(rèn)為基質(zhì)壓力和裂隙壓力相等，儲層壓力增大表示基質(zhì)壓力和裂隙壓力均同時增大，作用在基質(zhì)和裂隙上的有效應(yīng)力相同且隨壓力的增大而減小，基質(zhì)尺寸和裂隙張開度隨壓力的增大逐漸增大，裂隙張開度增大時，滲透率增大，而基質(zhì)尺寸增大時，滲透率減小，因?yàn)榛|(zhì)彈性模量大于裂隙彈性模量，在相同的有效應(yīng)力作用下，基質(zhì)尺寸的增大量小于裂隙張開度的增大量，因此儲層滲透率增大。另一方面，基質(zhì)壓力增大導(dǎo)致氣體吸附，基質(zhì)膨脹，裂隙張開度減小，滲透率隨之減小。當(dāng)氣體吸附引起的滲透率減小量略大于基質(zhì)和裂隙變形引起的滲透率增大量時，滲透率隨著孔隙壓力的增大呈現(xiàn)出平緩的下降趨勢。本研究在建立儲層的滲透率模型時，認(rèn)為基質(zhì)壓力與裂隙壓力不相等，儲層壓力增大表示裂隙壓力先增大，氣體因此向基質(zhì)流動，基質(zhì)壓力隨之增大，在儲層壓力增大過程中，基質(zhì)壓力小于裂隙壓力，因此作用在基質(zhì)上的有效應(yīng)力大于作用在裂隙上的有效應(yīng)力；與C-M 模型相比，在同一壓力作用下，本模型的裂隙壓力不變，裂隙張開度不變，而基質(zhì)壓力降低，基質(zhì)受到的有效應(yīng)力增大，基質(zhì)尺寸的變形量減小，因此由基質(zhì)尺寸變化導(dǎo)致本模型的滲透率增加量小于C-M 模型的滲透率增加量，所以因壓力變化導(dǎo)致基質(zhì)尺寸和裂隙張開度變化而引起的滲透率增加量減小；另一方面，基質(zhì)壓力增大導(dǎo)致氣體吸附，基質(zhì)膨脹，裂隙張開度減小，滲透率隨之減小。綜上所述，與C-M 模型相比，本模型在孔隙壓力增大初期，滲透率比值急劇下降。

2.2 滲透率演化規(guī)律

對于式(19)所示的煤系氣儲層滲透率解析模型，基質(zhì)壓力和裂隙壓力是不相等的，基質(zhì)初始壓力等于裂隙初始壓力。下面將分別討論滲透率隨基質(zhì)壓力（裂隙壓力不變）和裂隙壓力（基質(zhì)壓力不變）的演化規(guī)律。

當(dāng)裂隙壓力不變時，儲層滲透率隨基質(zhì)壓力的演化規(guī)律如圖4 所示。由圖4 可以看出，當(dāng)裂隙壓力不變時，隨著基質(zhì)壓力的降低，滲透率先平緩地下降，當(dāng)基質(zhì)壓力下降到一定程度時，滲透率出現(xiàn)反彈，然后迅速增大。裂隙壓力越小，隨著基質(zhì)壓力的下降，滲透率下降得越急劇，則隨后反彈得越劇烈。滲透率之所以隨基質(zhì)壓力降低出現(xiàn)反彈現(xiàn)象，是因?yàn)榛|(zhì)變形和氣體解吸對滲透率的影響是相反的。

圖4 滲透率隨基質(zhì)壓力（裂隙壓力不變）的演化規(guī)律Fig. 4 Evolution of permeability with matrix pressure(fracture pressure is constant)

當(dāng)基質(zhì)壓力不變時，儲層滲透率隨裂隙壓力的演化規(guī)律如圖5 所示。由圖5 可以看出，當(dāng)基質(zhì)壓力不變時，滲透率隨裂隙壓力的下降逐漸增大，滲透率沒有出現(xiàn)反彈。基質(zhì)壓力越大，滲透率增大得越急劇。隨著裂隙壓力的降低，滲透率之所以沒有出現(xiàn)反彈現(xiàn)象，是因?yàn)楸狙芯吭诮B透率模型時不考慮氣體對裂隙的吸附作用。

圖5 滲透率隨裂隙壓力（基質(zhì)壓力不變）的演化規(guī)律Fig. 5 Evolution of permeability with fracture pressure(matrix pressure is constant)

3 模型參數(shù)對滲透率的影響

本研究所建立的煤系氣儲層滲透率解析模型表明，滲透率的主要影響因素為彈性模量、泊松比、初始孔隙壓力、初始滲透率、初始裂隙間距等。下面將分別分析上述因素對儲層滲透率的影響。

模型參數(shù)對儲層滲透率的影響如圖6 所示。由圖6(a)可知，泊松比越小，隨著孔隙壓力的下降，滲透率變化越平緩，但是滲透率反彈越劇烈。由圖6(b)可知，彈性模量越大，隨著孔隙壓力的下降，滲透率變化得越平緩，但是滲透率反彈越劇烈。由圖6(c)可知，初始孔隙壓力不同時，滲透率隨著孔隙壓力的下降呈現(xiàn)出相同的變化趨勢，孔隙壓力下降初期，滲透率急劇下降，當(dāng)壓力下降到某一數(shù)值時，出現(xiàn)急劇的反彈現(xiàn)象。由圖6(d)可知，當(dāng)初始滲透率相同時，初始裂隙間距越大，隨著孔隙壓力的下降，滲透率下降越劇烈，滲透率反彈越劇烈。由圖6(e)可知，當(dāng)初始裂隙間距相同時，初始滲透率越小，滲透率下降越劇烈，滲透率反彈越劇烈。

圖6 模型參數(shù)對滲透率的影響Fig. 6 Effects of model parameters on permeability

綜上所述，泊松比越小，儲層滲透率反彈越劇烈；彈性模量越大，滲透率反彈越劇烈；初始孔隙壓力對滲透率反彈趨勢影響較??；當(dāng)初始滲透率相同時，初始裂隙間距越大，滲透率反彈越劇烈；當(dāng)初始裂隙間距相同時，初始滲透率越小，滲透率反彈越劇烈。

4 結(jié) 論

（1）考慮氣體在基質(zhì)中的動力學(xué)擴(kuò)散作用，基于多孔彈性力學(xué)理論，建立了煤系氣儲層的有效應(yīng)力-滲透率解析模型，分別推導(dǎo)了儲層在常體積條件和單軸應(yīng)變條件下的滲透率模型。該模型表明，彈性模量、泊松比、初始孔隙壓力、初始滲透率、初始裂隙間距是影響儲層滲透率的主要因素。

（2）分別利用San Juan 盆地現(xiàn)場實(shí)測的滲透率數(shù)據(jù)以及室內(nèi)實(shí)驗(yàn)測試的滲透率數(shù)據(jù)驗(yàn)證了模型的有效性。結(jié)果表明，當(dāng)考慮氣體在基質(zhì)中的動力學(xué)擴(kuò)散作用時，單軸應(yīng)變條件下的滲透率模型隨孔隙壓力的演化規(guī)律和實(shí)驗(yàn)測試的滲透率演化規(guī)律基本吻合。C-M 模型（未考慮氣體在基質(zhì)中的動力學(xué)擴(kuò)散作用）體現(xiàn)的滲透率演化規(guī)律與實(shí)驗(yàn)測試的滲透率演化規(guī)律的誤差較大。因此，在建立滲透率模型時，必須考慮氣體在基質(zhì)中的動力學(xué)擴(kuò)散作用，不能簡單地認(rèn)為基質(zhì)壓力等于裂隙壓力。

（3）滲透率隨著壓力的降低而減小，當(dāng)壓力下降到一定程度時，由于基質(zhì)變形和氣體解吸對滲透率的影響是相反的，進(jìn)而導(dǎo)致滲透率開始出現(xiàn)反彈。

（4）在孔隙壓力下降初期，泊松比越大，彈性模量越??；初始裂隙間距越大（初始滲透率不變），初始滲透率越小(初始裂隙間距不變)，滲透率下降越劇烈。在孔隙壓力下降后期，泊松比越小，彈性模量越大；初始裂隙間距越大（初始滲透率不變），初始滲透率越?。ǔ跏剂严堕g距不變），滲透率反彈越劇烈。