基于概率密度演化理論的尼爾森體系拱橋吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)研究

姜金鳳

(1. 北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,北京 100044；2. 山東鐵路投資控股集團(tuán)，山東 濟(jì)南 250000)

拱橋因其剛度大，跨越能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)在鐵路橋梁中有廣泛應(yīng)用[1?2]。吊桿作為拱橋的關(guān)鍵受力構(gòu)件[3]，長期承受著交通荷載作用，它的失效輕則對拱橋整體結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生非常不利影響，重則引起橋梁坍塌[4]。因此，研究吊桿的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)及應(yīng)力沖擊系數(shù)對于鐵路拱橋的設(shè)計(jì)、建造、評估以及維護(hù)等工作具有重要意義?，F(xiàn)場試驗(yàn)測試是評估橋梁動(dòng)應(yīng)力及沖擊系數(shù)的最直接的手段，但測試成本較高且測試結(jié)果具有時(shí)效性。結(jié)構(gòu)健康監(jiān)控系統(tǒng)[5]能起到長期有效監(jiān)控結(jié)構(gòu)響應(yīng)的效果，但健康監(jiān)控系統(tǒng)成本高昂。近年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)值方法在橋梁動(dòng)力響應(yīng)研究中被廣泛使用。學(xué)者們基于車—橋耦合振動(dòng)理論對不同類型橋梁的動(dòng)力響應(yīng)問題進(jìn)行了大量研究，朱勁松等[4]通過建立中下承式鋼管混凝土系桿拱橋二維有限元模型分析了結(jié)構(gòu)阻尼、路面不平順度、行車速度及車重對吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)的影響；朱志輝等[6]基于海南東環(huán)鐵路萬寧系桿拱橋有限元模型研究了行車速度和軌道不平順對吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)的影響；楊建喜等[7]采用建立中承式鋼管混凝土拱橋有限元模型，分析了車輛以不同速度平穩(wěn)過橋條件下吊桿的動(dòng)力性能；AMMENDOLEA等[8]對等效列車荷載作用下拱橋結(jié)構(gòu)交叉吊桿索損條件下的動(dòng)力性能進(jìn)行了數(shù)值研究。這些研究主要針對吊桿平行或拱肋平行的拱橋結(jié)構(gòu)吊桿沖擊系數(shù)進(jìn)行分析，對于尼爾森體系提籃式拱橋這種具有斜交角，并且拱肋與豎直方向具有傾斜角度的橋，其吊桿動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)及應(yīng)力沖擊系數(shù)的規(guī)律性還需要進(jìn)一步研究[9]。上述研究中采用單一的軌道不平順樣本，甚至忽略軌道不平順的影響，以此獲得軌道—橋梁耦合系統(tǒng)的輪軌激勵(lì)輸入。但隨機(jī)輪軌力激勵(lì)對車橋耦合系統(tǒng)的影響不容忽視[10]，軌道不平順是一個(gè)隨機(jī)過程[11]，由此引起的車輛-結(jié)構(gòu)耦合振動(dòng)響應(yīng)也是隨機(jī)過程，單一樣本難以表征隨機(jī)振動(dòng)的本質(zhì)特征，因此應(yīng)采用隨機(jī)振動(dòng)方法進(jìn)行研究。在隨機(jī)振動(dòng)領(lǐng)域，李杰等[12?13]提出的概率密度演化理論為列車—軌道—橋梁耦合隨機(jī)振動(dòng)分析提供了全新的途徑，該理論結(jié)合了數(shù)論選點(diǎn)法[14]，可以利用較少的代表性樣本得到高精度的結(jié)構(gòu)物理狀態(tài)的概率密度演化結(jié)果。而采用概率密度演化理論對吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)的研究國內(nèi)外幾乎空白。為分析尼爾森體系拱橋吊桿在列車動(dòng)力荷載作用下的應(yīng)力沖擊系數(shù)問題，本文基于列車?軌道—橋梁耦合振動(dòng)理論和概率密度演化理論，以濟(jì)青高鐵線某尼爾森體系提籃式拱橋?yàn)槔紤]軌道隨機(jī)不平順激勵(lì)，研究車速和軌道不平順等級對吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)的影響，以及各吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)的不均勻性。

1 列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)模型

車輛模型采用考慮二系懸掛的垂向10 個(gè)自由度模型，包括車體和前后轉(zhuǎn)向架的沉浮、點(diǎn)頭，以及4 個(gè)輪對的沉浮[2]。列車的運(yùn)動(dòng)方程如式（1）所示：

式中：Mv，Cv和Kv分別為列車的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；Fv和Xv為列車所受的外力和位移列向量。

為簡化建模及計(jì)算分析的難度，將軌道結(jié)構(gòu)模擬為彈簧—阻尼器單元，僅考慮其對鋼軌的支撐作用，采用有限元法建立軌道—橋梁結(jié)構(gòu)整體有限元模型。在有限元模型中，鋼軌采用空間梁單元模擬；拱肋和主梁采用空間梁單元模擬；吊桿采用桿單元模擬。所有材料均假設(shè)為線彈性，橋梁除鋼軌以外的二期恒載均作為自重施加在橋梁模型上。采用有限元直接剛度法，建立軌道—橋梁子系統(tǒng)的動(dòng)力方程為：

式中：M，K和C分別為質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣；F和X分別為力向量和位移向量；X?和X?分別為速度和加速度向量；下標(biāo)v和b分別代表列車子系統(tǒng)、軌道—橋梁子系統(tǒng)；Ksys為整個(gè)列車—軌道—橋梁耦合時(shí)變系統(tǒng)的剛度矩陣，它由車輛子系統(tǒng)與橋梁子系統(tǒng)的剛度矩陣和車輛與鋼軌的接觸矩陣組成，下標(biāo)sys 表示整個(gè)列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)。

2 基于概率密度演化理論的吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)分析

2.1 吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)

依據(jù)《鐵路橋涵設(shè)計(jì)基本規(guī)范》[16](TB10002.1—2005)可知，動(dòng)力系數(shù)為列車運(yùn)行對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)反應(yīng)與靜態(tài)反應(yīng)之比。則吊桿應(yīng)力動(dòng)力系數(shù)表達(dá)式為

式中：μ1為吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)計(jì)算值；σdmax為吊桿最大動(dòng)應(yīng)力；σsmax為吊桿最大靜應(yīng)力，其取值為列車低速(準(zhǔn)靜態(tài))條件下的吊桿最大應(yīng)力。

本文取《鐵路橋涵設(shè)計(jì)基本規(guī)范》中“鋼筋混凝土橋跨結(jié)構(gòu)”動(dòng)力系數(shù)推薦值作為參考指標(biāo)開展計(jì)算分析

式中：μ2為規(guī)范推薦的吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)；L為影響線加載長度。

2.2 基于PDEM的應(yīng)力沖擊系數(shù)求解

在給定的初始條件下，式(6)的列車—軌道—橋梁耦合隨機(jī)振動(dòng)方程的解都存在且唯一，并依賴于軌道不平順隨機(jī)變量Θ。為簡便起見，將式(6)的解表示為[17]

式中：Pl為離散參數(shù)代表點(diǎn)的初始賦得概率。

對式(10)的偏微分方程采用具有TVD 性質(zhì)的雙邊差分法[12]進(jìn)行數(shù)值求解，得到最終的結(jié)構(gòu)響應(yīng)概率密度演化解pZ(z,t)

根據(jù)式(13)的概率密度分布情況pZ，即可得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ。以3 倍標(biāo)準(zhǔn)差原則(μ+3σ)確定吊桿應(yīng)力上限值，其上限值的最大值即式(7)的吊桿最大動(dòng)應(yīng)力σsmax。

基于PDEM 的吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)分析流程示意圖如圖1所示。

3 工程算例

3.1 工程概況

拱橋有限元模型如圖2所示。橋梁為單孔尼爾森吊桿體系簡支拱橋，主梁和拱肋均采用beam 188 單元建模。吊桿采用link 180 單元建模。橋梁全長L=148 m，主梁采用單箱三室等高箱形截面。拱肋為二次拋物線，截面采用高度為4.0 m 的啞鈴型截面，傾斜角度8°，設(shè)計(jì)矢高f=28.8 m，矢跨比1/5，設(shè)計(jì)拱軸線方程為y=115.2×(144x?x2)/1442。兩榀拱肋間共設(shè)1 道鋼結(jié)構(gòu)一字橫撐及6 道K 撐。拱橋橋面的吊桿連接點(diǎn)間距為8.0 m，吊桿采用PES(FD)7-127 型低應(yīng)力防腐拉索，全橋共設(shè)32 組吊桿，圖2 中與X軸正方向夾角為銳角的吊桿編號依次為1號～16號；與X軸正方向夾角為鈍角的編號依次為17 號～32 號。橋面二期恒載取值為153 kN/m，包括軌道結(jié)構(gòu)、防水層和人行道等重量。

圖2 拱橋有限元模型Fig.2 Finite element model of arch bridge

本文利用商用有限元軟件ANSYS 計(jì)算得到ZK 活載作用下的橋梁最大撓度為2.029 cm，與設(shè)計(jì)院的Midas 計(jì)算結(jié)果2.042 cm 吻合較好。表1 給出了拱橋有限元模型前6 階自振頻率及模態(tài)，由《鐵路橋梁檢定規(guī)范》可知，該橋滿足橫向自振頻率fH≥120/L=0.811 Hz和豎向自振頻率fV≥23.58 L-0.592=1.224 Hz的要求。

表1 拱橋振型及自振頻率Table 1 Mode and natural frequency of arch bridge

3.2 吊桿隨機(jī)振動(dòng)特征分析

車輛模型選取8 節(jié)編組(4M+4T)的ICE3 列車，軌道不平順條件為美國聯(lián)邦鐵路局(Federal Rail‐road Administration, FRA) 6 級高低軌道不平順譜[20]。橋梁設(shè)計(jì)車速為350 km/h，假定列車以350 km/h 的速度單線行駛過橋。采用耦合時(shí)變的方法計(jì)算橋梁動(dòng)力響應(yīng)，通過應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系得到吊桿的應(yīng)力，本文不考慮吊桿受壓的情況。吊桿動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果如圖2所示。

圖2 中拱橋兩端吊桿(1 號，16 號，17 號和32號)以及跨中吊桿(8號和24號)的應(yīng)力均值和標(biāo)準(zhǔn)差如圖2 所示。圖3 給出了跨中8 號吊桿的概率密度演化結(jié)果、等概率密度曲線。分析圖2可知，橋上相同吊點(diǎn)位置左右2 根吊桿應(yīng)力均值存在明顯差異，其中，8 號吊桿應(yīng)力均值最大值20.17 MPa，而24號吊桿應(yīng)力均值最大值達(dá)到33.73 MPa，但兩者標(biāo)準(zhǔn)差差異僅有0.31 MPa。這是因?yàn)榱熊嚿蠘蜻^程中引起的橋梁豎向撓度與橋上相同吊點(diǎn)位置左右2根吊桿軸向的夾角不同，吊桿拉索受張拉程度不同，致使尼爾森體系拱橋出現(xiàn)橋上相同吊點(diǎn)位置2吊桿應(yīng)力一強(qiáng)一弱的現(xiàn)象。

圖3 車速350 km/h時(shí)吊桿動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果Fig.3 Dynamic response results of the suspenders at a speed of 350 km/h

由圖4可知，吊桿應(yīng)力的概率密度演化結(jié)果符合均值響應(yīng)變化趨勢。隨著列車上橋長度的不斷增加，輪軌激勵(lì)不斷增多，當(dāng)列車處于橋梁跨中時(shí)，8 號吊桿應(yīng)力4～6 s 分布范圍逐漸變寬，概率密度峰值降低。

圖4 跨中8號吊桿概率密度結(jié)果Fig.4 Probability density results for mid-span No.8 suspender

3.3 車速對吊桿應(yīng)力的影響

選取與第3.2 節(jié)相同的列車編組和軌道不平順條件，以50 km/h 為間隔分別取200～350 km/h 之間4種速度單線行駛過橋。

圖5分別給出了不同車速條件下吊桿動(dòng)應(yīng)力均值最大值和應(yīng)力取最大上限值時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差。對比圖5(a)和5(b)可知，車速的改變對吊桿應(yīng)力均值的影響較小，4 種車速條件下最大值僅有1 MPa。尼爾森吊桿體系的各吊桿的均值分布并不均勻，均值最大值出現(xiàn)在橋梁跨中與鉛錘方向夾角最小的25 號吊桿，最小值出現(xiàn)在梁端邊吊桿。其中，車速350 km/h 時(shí)均值最大值為48.61 MPa，均值最小值為13.42 MPa。各吊桿應(yīng)力取最大上限值時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差差異性較大，但標(biāo)準(zhǔn)差最大值出現(xiàn)在25號吊桿，車速350 km/h 時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差最大值為0.81 MPa。

圖5 不同車速條件下吊桿動(dòng)應(yīng)力統(tǒng)計(jì)特征值Fig.5 Statistical characteristic values of suspenders dynamic stress under different speed conditions

圖6 為各吊桿的應(yīng)力沖擊系數(shù)曲線。由圖6 可知，車速對各吊桿沖擊系數(shù)的影響規(guī)律并不一致，但各車速條件下沖擊系數(shù)最大值均出現(xiàn)在梁端的邊吊桿，其中，350 km/h車速條件下1號和32號吊桿的沖擊系數(shù)達(dá)到0.4。同時(shí)，圖6 給出了式(8)計(jì)算得到的規(guī)范建議值0.194。邊吊桿因?yàn)閼?yīng)力均值小，導(dǎo)致應(yīng)力沖擊系數(shù)大，超過了規(guī)范建議值，然而邊吊桿應(yīng)力均值和應(yīng)力幅均不大，并沒有超過自身的抗拉限值200 MPa，相比之下，中間吊桿的應(yīng)力幅遠(yuǎn)大于邊吊桿，雖然中間吊桿的沖擊系數(shù)為僅為0.07～0.08，但其受張拉程度最強(qiáng)，應(yīng)力變化范圍最大，這也將影響到中間吊桿的疲勞壽命。

圖6 吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)Fig.6 Stress impact factor of suspenders

3.4 軌道不平順對吊桿應(yīng)力的影響

選取與第3.2 節(jié)相同的列車編組條件，針對FRA 6 級譜、德國低干擾譜[21]和我國2015 新軌譜3種高低軌道不平順譜條件，以350 km/h 的車速單線行駛過橋。圖7 和圖8 分別給出了不同軌道不平順條件下吊桿應(yīng)力取最大上限值時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差和吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)。

圖7 不同軌道不平順條件下吊桿動(dòng)應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差Fig.7 Standard deviation of suspenders dynamic stress under different track irregularities

圖8 吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)Fig.8 Stress impact factor of suspenders

由圖7 和圖8 可知，由于我國新軌譜的平順性優(yōu)于FRA 6級譜和德國低干擾譜，吊桿應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差和沖擊系均隨著軌道不平順程度的減小而減小，且分布規(guī)律保持不變。其中，我國新軌譜不平順條件下以350 km/h 車速通過拱橋引起的25 號吊桿動(dòng)應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差最大值為0.52 MPa，小于FRA 6級譜的0.81 MPa 和德國低干擾譜的0.69 MPa。同時(shí)，25 號吊桿在軌道不平順為我國新軌譜條件下有沖擊系數(shù)最小值0.05 。因此，鐵路運(yùn)營過程中應(yīng)保證線路的高平順性要求，減小吊桿受到的沖擊作用，進(jìn)而延長吊桿的使用壽命。

4 結(jié)論

1)尼爾森體系拱橋橋上相同吊點(diǎn)位置的左右2根吊桿由于其與鉛錘方向的夾角以及桿件長短不同，導(dǎo)致2根吊桿應(yīng)力一強(qiáng)一弱；梁端短吊桿的最大動(dòng)應(yīng)力均值均小于跨中長吊桿，其中25 號吊桿應(yīng)力均值車速350 km/h 時(shí)最大值為48.61 MPa，但短吊桿應(yīng)力沖擊均大于跨中長吊桿。

2) 車速對尼爾森體系拱橋吊桿的應(yīng)力均值影響較小，各吊桿的標(biāo)準(zhǔn)差隨車速的增加整體呈現(xiàn)增大趨勢。

3) 車速對各吊桿沖擊系數(shù)的影響規(guī)律并不一致，但各車速條件下沖擊系數(shù)最大值均出現(xiàn)在梁端的邊吊桿，且超過規(guī)范限值0.194；隨著軌道不平順程度的增加，吊桿應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差和沖擊系數(shù)逐漸增大，且分布規(guī)律保持不變。