基于力法的斜支承連續(xù)箱梁撓曲扭轉(zhuǎn)內(nèi)力分析

魏彥紅，張?jiān)?/p>

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

因良好的抗彎扭性能和整體性，箱形截面被廣泛地應(yīng)用到各類橋梁中[1]。長(zhǎng)期以來，關(guān)于箱梁力學(xué)性能的研究都是橋梁工程領(lǐng)域內(nèi)關(guān)注的課題[2?5]。藺鵬臻等[6]研究了單箱雙室箱梁的豎向?qū)ΨQ撓曲變形，結(jié)果顯示單箱雙室箱梁即使在豎向?qū)ΨQ荷載作用下也存在局部的約束扭轉(zhuǎn)變形。龔耀清等[7]基于統(tǒng)一分析梁模型，提出了分析不等壁厚單箱雙室箱梁撓曲扭轉(zhuǎn)的有限節(jié)線法，并推導(dǎo)了不等壁厚箱梁橫截面剪切中心的計(jì)算方法。夏桂云等[8]以閉口薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)齊次微分方程初參數(shù)解為基礎(chǔ)，給出了分析薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)的有限元列式。已有這些文獻(xiàn)以研究常規(guī)支承箱梁力學(xué)性能的居多，對(duì)斜支承箱梁的研究相對(duì)較少。但在一些高速公路、高架道路橋梁建設(shè)中，為滿足道路需求常常會(huì)采用斜支承的箱形截面梁。這種斜支承形式使箱梁的彎扭耦合特性更加顯著，其理論計(jì)算也更加復(fù)雜[9?12]。夏桂云等[13]研究了豎向集中荷載作用下，剪切變形對(duì)中、小跨徑單跨斜梁撓度的影響，分析得出斜交角越大，剪切變形對(duì)撓度的影響越大。為研究斜支承箱梁的撓曲扭轉(zhuǎn)力學(xué)性能，張?jiān)５萚14]在撓曲剪滯和約束扭轉(zhuǎn)齊次微分方程解的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了考慮剪力滯效應(yīng)的10 自由度薄壁箱梁?jiǎn)卧⒂脤?shí)驗(yàn)和有限元軟件驗(yàn)證了此單元的正確性。研究結(jié)果顯示剪滯翹曲和約束扭轉(zhuǎn)翹曲變形對(duì)箱梁的應(yīng)力分布影響十分顯著，不可忽視。朱德榮等[15]提出了分析約束扭轉(zhuǎn)變形的斜支承箱梁?jiǎn)卧?，比較了偏載作用下斜支承連續(xù)箱梁與正交支承連續(xù)箱梁扭轉(zhuǎn)力學(xué)性能的差異，但未對(duì)斜支承箱梁內(nèi)力與斜交角之間的關(guān)系作更進(jìn)一步的研究。綜上所述，已有文獻(xiàn)多為用有限元數(shù)值方法研究斜支承箱梁的力學(xué)性能，采用解析法的尚未見報(bào)道。本文基于力法原理，在閉口薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)齊次微分方程初參數(shù)解的基礎(chǔ)上，建立了斜支承連續(xù)箱梁的力法協(xié)調(diào)方程，結(jié)合數(shù)值算例，著重研究了斜交角變化對(duì)斜支承連續(xù)箱梁內(nèi)力的影響。

1 約束扭轉(zhuǎn)微分方程初參數(shù)解

對(duì)閉口薄壁桿約束扭轉(zhuǎn)變形可建立關(guān)于廣義翹曲位移β'(z)的控制微分方程[16]:

式中：k為約束扭轉(zhuǎn)彎扭特征系數(shù)；μ為截面約束系數(shù)；E為材料的彈性模量；J?ω為廣義主扇性慣性矩；m(z)為作用于跨間的分布扭矩荷載，以力矢指向z軸正方向?yàn)檎?/p>

將z=0 處截面的扭轉(zhuǎn)角、廣義翹曲位移、雙力矩和扭矩用初參數(shù)θ0，β′0，B0和T0表示。當(dāng)簡(jiǎn)支箱梁跨內(nèi)無荷載作用時(shí)，m(z)=0，用初參數(shù)表示式(1)的齊次微分方程的初參數(shù)解為[16]：

式中：G為材料的剪切彈性模量；Jd為抗扭慣性矩。

1.1 簡(jiǎn)支箱梁在均布扭矩荷載作用下的初參數(shù)解

圖1 為簡(jiǎn)支箱梁承受滿跨均布扭矩荷載m作用，在箱梁上取微段dt，t為dt到原點(diǎn)的距離。

圖1 箱梁承受均布扭矩荷載Fig.1 Box girder subjected to uniform torque load

根據(jù)約束扭轉(zhuǎn)齊次微分方程的初參數(shù)解和簡(jiǎn)支箱梁約束扭轉(zhuǎn)變形的邊界條件，文獻(xiàn)[16]給出了均布扭矩荷載作用下簡(jiǎn)支箱梁的初參數(shù)解，將其化簡(jiǎn)得：

1.2 簡(jiǎn)支箱梁在集中扭矩荷載作用下的初參數(shù)解

圖2 為簡(jiǎn)支箱梁承受集中扭矩荷載T?作用，t為集中扭矩荷載作用位置到原點(diǎn)的距離。

圖2 箱梁承受集中扭矩荷載Fig.2 Box girder subjected to concentrated torque load

對(duì)文獻(xiàn)[16]推導(dǎo)的集中扭矩荷載作用下簡(jiǎn)支箱梁的初參數(shù)解化簡(jiǎn)可得：

2 斜支承連續(xù)箱梁的力法原理

圖3(a)和3(b)為承受均布偏載作用的，兩端常規(guī)支承，內(nèi)部斜支承的連續(xù)箱梁的平面圖和立面圖。選取簡(jiǎn)支箱梁為基本結(jié)構(gòu)，其平面圖和立面圖如圖3(c)和3(d)。將所有斜支點(diǎn)的約束用相應(yīng)的約束反力ri(i= 1,2,3,…,n)代替，ri稱為多余未知力。ti表示第i個(gè)斜支點(diǎn)所在截面的z坐標(biāo)值。

圖3 原結(jié)構(gòu)和基本體系Fig.3 Original structure and basic system

2.1 單位多余未知力作用下斜支點(diǎn)處的變形

如圖4所示，將單位多余未知力ri(i=1,2,3,…,n)等效為過截面剪切中心的單位集中力rie和繞截面扭轉(zhuǎn)中心的力矩ri·ei。ri和rie以y軸正向?yàn)檎?，ri·ei以逆時(shí)針為正，ei為第i個(gè)斜支點(diǎn)到該點(diǎn)所在橫截面扭轉(zhuǎn)中心的距離，以使等效后的力矩ri·ei繞截面扭轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針為正。

圖4 多余未知力等效圖Fig.4 Equivalent diagram of redundant unknown force

分別計(jì)算出第i個(gè)等效后的荷載rie和ri·ei單獨(dú)作用下，第j個(gè)多余未知力作用點(diǎn)沿第j個(gè)多余未知力作用方向上的位移ξji和θji·ej(j= 1,2,3,…,n)。兩項(xiàng)疊加即為第i個(gè)單位多余未知力ri作用下，第j個(gè)多余未知力作用點(diǎn)沿第j個(gè)多余未知力方向上的位移δji，δji可表示為：δji=ξji+θji?ej。

ξji以y軸正方向?yàn)檎?，也可以通過圖乘法得到，θji以橫截面正面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。

2.2 外荷載作用下斜支點(diǎn)處的變形

如圖5 所示將偏載q等效為過截面剪切中心的分布荷載qe和繞截面扭轉(zhuǎn)中心的均布外力矩q· e。其中q和qe以y軸正向?yàn)檎?，q·e以逆時(shí)針為正，e為偏心荷載作用點(diǎn)到截面扭轉(zhuǎn)中心的距離，以使等效后的外力矩q·e繞截面扭轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針為正。

圖5 外荷載等效圖Fig.5 Equivalent diagram of external load

分別計(jì)算出等效后的荷載qe和q· e單獨(dú)作用下，第j個(gè)多余未知力作用點(diǎn)沿第j個(gè)多余未知力作用方向上的位移ξjq和θjq·ej(j= 1,2,3,…,n)，兩項(xiàng)疊加即為外荷載q作用下，第j個(gè)多余未知力作用點(diǎn)沿第j個(gè)多余未知力方向上的位移δjq，δjq可表示為：

ξjq以y軸正方向?yàn)檎?，也可用圖乘法計(jì)算，θjq以橫截面正面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。

2.3 斜支承連續(xù)箱梁力法方程

原結(jié)構(gòu)中斜支點(diǎn)的豎向位移受到支座的約束，因此斜支點(diǎn)的豎向位移為0。原結(jié)構(gòu)與基本體系具有相同的變形，所以根據(jù)基本體系在所有多余未知力作用位置沿多余未知力作用方向上產(chǎn)生的變形為0，可以建立如下方程：

求解式(24)的方程組，可以得到n個(gè)多余未知力ri(i= 1,2,3,…,n)；將多余未知力作為已知外荷載作用于基本結(jié)構(gòu)上，便將研究斜支承連續(xù)箱梁撓曲扭轉(zhuǎn)變形問題轉(zhuǎn)化為研究簡(jiǎn)支箱梁撓曲扭轉(zhuǎn)變形問題。

3 斜支承兩跨連續(xù)箱梁算例分析

圖6(a)為跨徑布置為40 m+40 m 的斜支承兩跨連續(xù)箱梁，截面尺寸如圖6(b)。材料為C40 混凝土，剪切模量G為14.45 GPa，彈性模量E為34 GPa，泊松比ν為0.2。φ為中墩兩斜支點(diǎn)連線與梁軸線所夾銳角的余角，稱為斜交角。當(dāng)φ為0°時(shí)，即為常規(guī)支承的兩跨連續(xù)箱梁。作用于箱梁上的外荷載可分為2 種工況，工況1：過截面剪切中心的單位豎向均布荷載q=1 kN/m；工況2：過腹板和頂板交線的單位豎向均布偏載q=1 kN/m，方向沿y軸正方向。

圖6 斜支承兩跨連續(xù)箱梁Fig.6 Two-span skewly supported continuous box girder

3.1 本文方法的有限元驗(yàn)證

用ANSYS 中的SHELL63 單元建立了斜交角φ為30°的斜支承兩跨連續(xù)箱梁模型。為便于用單元節(jié)點(diǎn)力求和法計(jì)算箱梁截面的彎矩和扭矩，先將箱梁模型切割為6 個(gè)梁段，切割點(diǎn)分別位于z坐標(biāo)為38，38.643，40，41.375 和42 m 的截面。在0～38m 和42～80 m 的梁段內(nèi)單元尺寸劃分為0.2 m，其他梁段內(nèi)劃分為0.1 m。在ANSYS中無法直接查詢箱梁截面的內(nèi)力，需要在后處理階段做進(jìn)一步的計(jì)算，才能獲得截面的內(nèi)力。以Ⅰ-Ⅰ截面為例，在ANSYS 中選擇出Ⅰ-Ⅰ截面及z坐標(biāo)為16+0.2 m的截面所包含的所有節(jié)點(diǎn)，再選出同時(shí)包含所選節(jié)點(diǎn)的單元，重新選擇Ⅰ-Ⅰ截面所包含的節(jié)點(diǎn)，指定Ⅰ-Ⅰ截面的形心為力矩中心，最后用FSUM命令可直接在ANSYS中求出Ⅰ-Ⅰ截面的內(nèi)力。其他截面的彎矩和扭矩皆可按此方法逐個(gè)計(jì)算。

將ANSYS 計(jì)算出的彎矩、扭矩以及本文方法計(jì)算的值示于圖7 和圖8。通過對(duì)比可得出：本文任何一種工況作用下，用ANSYS 和本文方法計(jì)算出的彎矩吻合良好；工況1 作用下，2 種方法計(jì)算出的扭矩吻合較好，工況2作用下，雖存在較小偏差但變化規(guī)律一致，從而驗(yàn)證了本文方法的正確性。

圖7 豎向?qū)ΨQ荷載作用下的內(nèi)力對(duì)比Fig.7 Internal force comparison under vertical symmetrical load

圖8 豎向偏心荷載作用下的內(nèi)力對(duì)比Fig.8 Internal force comparison under vertical eccentric load

3.2 斜支承兩跨連續(xù)箱梁內(nèi)力分析

用本文的方法對(duì)圖6所給的斜支承兩跨連續(xù)箱梁在2種荷載工況下的內(nèi)力進(jìn)行計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果匯總整理為圖9～12。

圖9(a)，9(b)和9(c)分別為豎向?qū)ΨQ均布荷載作用下，不同斜交角對(duì)應(yīng)的彎矩、雙力矩和扭矩圖。從圖9的曲線可得出：在豎向?qū)ΨQ均布荷載作用下，常規(guī)支承箱梁只產(chǎn)生彎矩，雙力矩和扭矩都為0，所以只發(fā)生豎向?qū)ΨQ彎曲變形，不發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。斜支承箱梁在發(fā)生彎曲變形的同時(shí)還會(huì)發(fā)生約束扭轉(zhuǎn)變形，因此即使在豎向?qū)ΨQ荷載作用下斜支承箱梁的變形也具有明顯的彎扭耦合特征。

圖9 豎向?qū)ΨQ荷載作用下的內(nèi)力圖Fig.9 Internal force diagram under vertical symmetrical load

圖10(a)，10(b)和10(c)為豎向偏心均布荷載作用下，不同斜交角對(duì)應(yīng)的彎矩、雙力矩和扭矩圖。從圖10 給出的曲線可以得出：在豎向偏心荷載作用下，常規(guī)支承和斜支承箱梁的變形都具有彎扭耦合特征。對(duì)比圖9 和圖10 的曲線可得出：豎向?qū)ΨQ荷載作用下，斜支承箱梁的彎矩和扭矩沿梁軸線關(guān)于跨中截面對(duì)稱分布，雙力矩反對(duì)稱分布。兩斜支點(diǎn)截面(Ⅱ-Ⅱ和Ⅲ-Ⅲ截面)出現(xiàn)相同的負(fù)彎矩峰值；在豎向偏心荷載作用下，斜支承箱梁的內(nèi)力分布沒有對(duì)稱性。負(fù)彎矩峰值僅出現(xiàn)在靠近偏載作用一側(cè)的斜支點(diǎn)截面(Ⅲ-Ⅲ截面)。不論是在豎向?qū)ΨQ荷載還是豎向偏心荷載作用下，斜支承箱梁的斜支點(diǎn)截面都出現(xiàn)雙力矩峰值。

圖10 豎向偏心荷載作用下的內(nèi)力圖Fig.10 Internal force diagram under vertical eccentric load

圖11(a)，11(b)和11(c)為豎向?qū)ΨQ荷載作用下，彎矩、雙力矩和扭矩隨斜交角的變化曲線。從圖11 的曲線可知：各項(xiàng)內(nèi)力隨斜交角的變化具有單調(diào)性。

圖11 豎向?qū)ΨQ荷載作用下內(nèi)力隨斜交角的變化Fig.11 Variation of internal force with skew angle under vertical symmetrical load

圖12(a)，12(b)和12(c)為豎向偏心荷載作用下，彎矩、雙力矩和扭矩隨斜交角的變化曲線。從圖12 給出的曲線可以知：一些截面的內(nèi)力隨斜交角的變化不再呈現(xiàn)出單調(diào)性。如Ⅰ-Ⅰ截面的彎矩，當(dāng)斜交角小于55.9°時(shí)，隨斜交角的增大而增大，斜交角大于55.9°時(shí)，隨斜交角的增大而減小。對(duì)比圖11 和圖12 的曲線可知：在豎向?qū)ΨQ均布荷載作用下，當(dāng)斜交角為20°時(shí)，與常規(guī)支承箱梁相比，Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ截面的彎矩絕對(duì)值分別減少0.09%和7.65%。在豎向偏心均布荷載作用下，當(dāng)斜交角為20°時(shí)，與常規(guī)支承箱梁相比，Ⅰ-Ⅰ截面的彎矩增大5.88%，Ⅲ-Ⅲ截面的彎矩絕對(duì)值減少1.92%，Ⅳ-Ⅳ截面的彎矩減少6.72%，Ⅰ-Ⅰ截面的扭矩增大20.08%，跨中截面的扭矩絕對(duì)值減少2.08%，Ⅳ-Ⅳ截面的扭矩絕對(duì)值減少6.65%。2 種荷載工況作用下，雙力矩峰值隨斜交角的變化比較顯著，但雙力矩沿梁軸的分布具有明顯的局部特征，僅在斜支點(diǎn)截面出現(xiàn)峰值后會(huì)向兩邊墩快速衰減。綜上可知，當(dāng)斜交角小于某個(gè)特定值時(shí)，斜交角變化對(duì)斜支承連續(xù)梁內(nèi)力的影響很小。

圖12 豎向偏心荷載作用下內(nèi)力隨斜交角的變化Fig.12 Variation of internal force with skew angle under vertical eccentric load

4 結(jié)論

1)通過ANSYS 軟件的驗(yàn)證，用本文方法分析斜支承2 跨連續(xù)箱梁的撓曲扭轉(zhuǎn)力學(xué)性能是可靠的。

2) 斜支承兩跨連續(xù)箱梁在豎向?qū)ΨQ均布荷載作用下，彎矩和扭矩沿梁軸關(guān)于跨中截面對(duì)稱分布,雙力矩反對(duì)稱分布；而在豎向偏心均布荷載作用下，內(nèi)力沿梁軸線的分布不對(duì)稱。

3) 豎向?qū)ΨQ均布荷載作用下，斜支承兩跨連續(xù)箱梁的內(nèi)力隨斜交角的變化呈現(xiàn)出單調(diào)性；豎向偏心均布荷載作用下，斜支承2跨連續(xù)箱梁的內(nèi)力隨斜交角的變化趨勢(shì)更復(fù)雜，一些截面的內(nèi)力隨斜交角的變化不具有單調(diào)性。

4) 對(duì)承受不同荷載類型的斜支承連續(xù)箱梁，斜交角的變化對(duì)其內(nèi)力分布的影響也不相同。在2種荷載工況作用下，當(dāng)斜交角小于20°時(shí)，與常規(guī)支承的箱梁相比，斜交角的變化對(duì)彎矩和扭矩的影響很小。