曲面上的一般變換與交角＊

丁悠祥，牟金平，林炯毅

（臺州學(xué)院　數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江　臨?！?17000）

曲面上的一般變換與交角＊

丁悠祥，牟金平＊，林炯毅

（臺州學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江臨海317000）

以曲面上兩方向的交角公式為工具，分析了曲面S經(jīng)過一個變換變成新的曲面S時，對應(yīng)交角的變化情況，得出了一般變換與等距變換和保角變換的關(guān)系，并且導(dǎo)出等距變換和保角變換的兩個充分必要條件。

曲面；坐標(biāo)曲線；交角公式；變換

文獻［1］和文獻［2］對坐標(biāo)曲線和交角公式作了詳細的描述，其中文獻［1］還給出了關(guān)于曲面第一基本形式與曲面之間變換的定義，文獻［2］給出了保角變換的定義。作為求交角的基本工具，文獻［3］清楚地給出了復(fù)合函數(shù)全微分的定義及表示形式。

目前，關(guān)于交角變化的研究多數(shù)是限制于等距變換或者保角變換的前提之下，對于在兩個曲面之間一般變換下交角變化的研究甚少。實際上，在一般變換下，討論兩個曲面之間的交角變化時就不可避免地遇到交角變化的問題，因此，本文將對這一問題進行探究。

本文中所使用的記號來自于文獻［1］.G表示初等區(qū)域，它在映射f下的像為R3中的曲面S，其中f的解析表達式為x=f1（u，v），y=f2（u，v），z=f3（u，v），（u，v）∈G；f或表示為向量函數(shù)的形式：r=r（u，v），（u，v）∈G.從而，曲面S的向量表示為：r=r（u，v），S上的曲線（C）表示為：u=u（t），v=v（t）或的第一基本形式為：表示曲面S上的某一個方向。

1　預(yù)備知識

本文的討論主要以兩方向的交角公式和曲面之間的變換為工具，其相關(guān)的公式與概念如下。定義1［1］設(shè)（du∶dv）和（δu∶δv）為曲面S上的兩個方向，則它們的交角θ滿足：

定義2［1］給出兩個曲面

如果它們對應(yīng)點的參數(shù)之間存在一一對應(yīng)關(guān)系：，其中函數(shù)連續(xù)，有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，并且函數(shù)行列式，記這個變換為σ，則稱σ為S到S軈的變換。以下稱定義2中的變換σ為曲面之間的一般變換。

定義3［1］曲面之間的一個變換，如果它保持曲面上任意曲線的長度不變，則這個變換稱為等距變換（保長變換）。

定理1［1］兩個曲面之間的一個變換是等距的充要條件是經(jīng)過適當(dāng)選擇參數(shù)后，它們具有相同的第一基本形式。

定義4［1］若曲面S到之間的點可以建立1—1對應(yīng)關(guān)系，使得對應(yīng)曲線的交角相等，則稱這個變換稱為等角變換或保角變換。

定理2［1］兩個曲面之間的一個變換是保角變換的充要條件是它們的第一基本形式成比例，即有.特別的，當(dāng)時，保角變換也是等距變換，所以等距變換一定是保角變換，而保角變換不一定是等距變換。

2　主要結(jié)果

在這一節(jié)中，我們將先給出交角在一般變換下的公式。在此基礎(chǔ)上，我們將討論這個變換與保角變換及保長變換之間的關(guān)系。

設(shè)曲面S的第一基本形式為：

為了便于表達，記

其次，我們需要下列的假設(shè)。

由此，我們可得以下的結(jié)論。

定理3假設(shè)θ是曲面S上兩個方向dr與δr的交角，在變換σ下，為對應(yīng)方向的交角，則θ與滿足

證明：

特別地，在變換σ下，設(shè)ω，ω＇分別為坐標(biāo)曲線的交角與對應(yīng)坐標(biāo)曲線的交角，即的交角，且，則

由公式（2)可得

推論1若σ是曲面S和曲面S軈之間一個變換，且曲面S和曲面S軈的坐標(biāo)網(wǎng)都不是正交的，則這一個變換是保角變換的充要條件是

證明：充分性

必要性

證明：充分性

由推論1可以知道，曲面S和曲面S軈之間的變換σ是保角變換,且有

因此，曲面S和曲面S軈之間的變換是等距變換。

必要性

由于σ是曲面S和曲面S軈之間的等距變換，則有E軍∶E=F軈∶F=G軍∶G=1.

3　結(jié)束語

以曲面的第一基本形式、曲面變換、交角、復(fù)合函數(shù)的全微分為工具，本文指出了一般變換與保角變換及等距變換之間的關(guān)系，推廣了原有文獻中的結(jié)論。除此之外，本文還給出一般變換成為等距變換和保角變換的兩個充要條件。

［1］梅向明，黃敬之.微分幾何[M].北京：高等教育出版社,2008：72-79.

［2］吳大任.微分幾何講義[M].北京：人民教育出版社，1982：144-147.

［3］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊）[M].北京：高等教育出版社,2010：126-131.

Design of M an-machine Interface for the M ulti-channel and M ultisegment Intelligent Tem perature Controller

LI Yadong，GUAN Gonghu＊，CHEN Zhonghao，ZHENG Jiapeng，MAO Jun，HUANG Jinghui
（School of Mathematics and Information Engineering，Taizhou University,Linhai 317000,China）

This paper presents a new man-machine interface for the multi-channel and multi-segment intelligent tem perature controller due to that the system needs more parameters to control and set as w ell as it is hard to operate interactively.The man-machine system is controlled by Atmega128 MCU and composed of keyboard and LCD19264 disp layer.The designed interface uses Chinese menu to set and display parameters.The experimental result show s that the designed interface runs stably and is easy to operate w ith more interactions friendly.

Temperature controller;Man-machine interface;LCD 19264 displayer;Atmega128 MCU

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2016.03.001

（責(zé)任編輯：耿繼祥）

2015-03-12

2016-04-07

臺州學(xué)院培育基金（2013PY09）；浙江省大學(xué)生科技創(chuàng)新項目（2015R43006）。

通迅作者簡介：牟金平，男（1974-），浙江黃巖人，講師，博士，主要從事復(fù)雜系統(tǒng)的建模與分析研究。