多卡箍支撐的管路系統(tǒng)振動(dòng)特性半解析建模及支撐位置優(yōu)化

劉旭東， 孫 偉

(1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽 110819；2.東北大學(xué) 航空動(dòng)力裝備振動(dòng)及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽 110819)

航空發(fā)動(dòng)機(jī)外部管路是航空發(fā)動(dòng)機(jī)的重要組成部分，主要用于燃油、液壓油等介質(zhì)輸送。管路通過卡箍固定在機(jī)匣上，因而航空發(fā)動(dòng)機(jī)的振動(dòng)(主要是高壓及低壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng))將通過機(jī)匣傳到管路。當(dāng)航空發(fā)動(dòng)機(jī)的激振頻率與管路系統(tǒng)的固有頻率一致時(shí)會(huì)發(fā)生共振，使管路的振動(dòng)幅度變大。過大的振動(dòng)會(huì)使管路系統(tǒng)發(fā)生管體碰撞、管體裂紋、卡箍松動(dòng)或斷裂等振動(dòng)故障，嚴(yán)重影響飛機(jī)的飛行安全。為了改善管路系統(tǒng)的振動(dòng)性能，尤其是避開航空發(fā)動(dòng)機(jī)的主要激振頻率，必須對(duì)管路系統(tǒng)開展動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)，主要包括合理的設(shè)計(jì)管型以及優(yōu)化布置卡箍的位置等?？ü渴峭ㄟ^箍帶將管路固定，其必然會(huì)為管路系統(tǒng)提供支撐剛度及阻尼的作用，因而優(yōu)化卡箍的位置(或布局)是避開共振和減少管路振動(dòng)的一種最行之有效的方法[1]。

為了有效完成管路系統(tǒng)的避振優(yōu)化，必須創(chuàng)建一個(gè)高精度的管路系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析模型。目前，完全以航空發(fā)動(dòng)機(jī)管路為對(duì)象的動(dòng)力學(xué)建模與分析的研究還不多見，但是以飛機(jī)、艦船和其他輸送介質(zhì)管路為對(duì)象或背景的管路動(dòng)力學(xué)建模已有大量的研究，建模的方法包括傳遞矩陣法、有限元法及解析法等。例如Dai等[2]用傳遞矩陣法建立了3維輸流管道模型并求解了管路系統(tǒng)的固有頻率。Liu等[3]創(chuàng)建了包含14個(gè)頻域方程的傳遞矩陣模型并分析了管路系統(tǒng)在彈性邊界約束條件下的振動(dòng)特性。Gao等[4]使用彈簧來模擬任意邊界條件，并使用有限元法創(chuàng)建了一個(gè)簡化的管道模型。Zhai等[5]使用有限元方法建立了鐵木辛柯輸流管道的動(dòng)力學(xué)方程，并計(jì)算了管道的位移和速度。Kheiri等[6]應(yīng)用哈密頓原理的擴(kuò)展形式推導(dǎo)柔性支撐在懸臂管道末端的運(yùn)動(dòng)方程，實(shí)際上這是一種半解析法。同樣Firouz-Abadi等[7]也利用擴(kuò)展的哈密頓原理導(dǎo)出了懸臂管道的運(yùn)動(dòng)方程，然后通過Galerkin法進(jìn)行離散化以獲得管道系統(tǒng)的特征值。從上面評(píng)述可知，半解析法是一種常用的管路系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模的方法，本文也將利用半解析法完成多卡箍支撐的單管路系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模。不同于一般的雙支撐梁結(jié)構(gòu)，這種多卡箍支撐管路系統(tǒng)是一種超靜定結(jié)構(gòu)，因而對(duì)其進(jìn)行半解析建模是一項(xiàng)挑戰(zhàn)性的研究任務(wù)。

在各種管路系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模方法中，對(duì)支撐卡箍的力學(xué)特性的模擬是至關(guān)重要的。在大部分管路系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模中(包括前面所描述的各個(gè)文獻(xiàn))，卡箍一般采用彈簧-阻尼模型模擬，即，一個(gè)卡箍用一個(gè)線性彈簧和扭轉(zhuǎn)彈簧外加阻尼模擬[8-9]。但是這種模擬方式有時(shí)并不能使管路動(dòng)力學(xué)模型達(dá)到期望的分析精度，這主要在于卡箍支撐固定的是一小段管路而不是僅僅一個(gè)點(diǎn)。另外，卡箍對(duì)管路的剛度及阻尼作用還要受到螺栓預(yù)緊的影響[10]，因而參照Zhang等[11]的研究將模擬卡箍的分布彈簧設(shè)定為固定值可能是不恰當(dāng)?shù)??？紤]到上述背景，本文提出用非均勻分布彈簧剛度值來模擬卡箍對(duì)管路的支撐剛度作用，以創(chuàng)建更加精確的管路系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)而提升卡箍布局優(yōu)化的分析精度。

當(dāng)前，圍繞管路系統(tǒng)卡箍布局優(yōu)化，研究者們已經(jīng)開展了少量研究。Kwong等[12]使用遺傳算法優(yōu)化液壓管道系統(tǒng)的卡箍位置，并得到了卡箍的最佳夾持位置。Herrmann等[13]在對(duì)管道系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行試驗(yàn)和數(shù)值研究的基礎(chǔ)上，以減小噪聲和振動(dòng)為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)液壓管道系統(tǒng)卡箍的夾持位置進(jìn)行優(yōu)化。Tang等[14]提出以累積疲勞損傷的失效概率最小為優(yōu)化目標(biāo)，通過合理設(shè)計(jì)管道系統(tǒng)中卡箍的位置來減少振動(dòng)。為了提高航空液壓管道系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能，Li等[15]以系統(tǒng)阻抗的加權(quán)和為目標(biāo)函數(shù)，采用混沌粒子群優(yōu)化算法確定液壓管道的最佳夾持位置。Zhang等[16]應(yīng)用靈敏度分析法優(yōu)化卡箍的位置。上述優(yōu)化研究通常是以位移、應(yīng)力等性能參數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)來優(yōu)化卡箍位置，最終實(shí)現(xiàn)管路系統(tǒng)的性能優(yōu)化。還沒有發(fā)現(xiàn)以航空發(fā)動(dòng)機(jī)管路為研究對(duì)象或背景，以避開航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓、低壓轉(zhuǎn)子激振頻率為目標(biāo)的優(yōu)化研究。但是，上述這些管路系統(tǒng)卡箍布局優(yōu)化研究可作為本研究的重要參考。

本文以一個(gè)單管路多卡箍支撐的管路系統(tǒng)為對(duì)象，采用半解析法對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。在建模時(shí)考慮到該系統(tǒng)是超靜定結(jié)構(gòu)，故本文提出先對(duì)管體建模再引入卡箍支撐力學(xué)特性的建模方法。接著，結(jié)合航空發(fā)動(dòng)機(jī)管路避振設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)建立卡箍布局的優(yōu)化模型，并給出基于粒子群優(yōu)化算法的求解過程。最后，用試驗(yàn)驗(yàn)證了半解析模型的合理性，并用粒子群算法對(duì)所提出卡箍布局優(yōu)化模型進(jìn)行優(yōu)化，得到最優(yōu)卡箍位置。

1 多卡箍支撐的管路系統(tǒng)半解析建模

本文將采用歐拉-伯努利梁理論和瑞利-里茲法完成對(duì)含多卡箍支撐的管路系統(tǒng)的半解析建模。由于這種多卡箍支撐的管路系統(tǒng)屬于超靜定結(jié)構(gòu)，如圖1所示，經(jīng)典梁的建模方法并不適用本文研究。故這里將管體和卡箍分開建模，先對(duì)自由邊界條件下的管體進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，再將卡箍以彈簧形式引入整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，以下簡要描述相關(guān)建模過程。

圖1 含多卡箍支撐的單管路系統(tǒng)

1.1 自由邊界條件下管體建模

建立平面直角坐標(biāo)系，首先考慮一個(gè)自由邊界條件下的管體，管體長為l，外徑和內(nèi)徑分別為D和d，如圖2所示。這里僅考慮管體的橫向位移w，即y方向的位移。

圖2 自由邊界條件下的管體

在任意的直管模型中，管體的橫向位移w可表示為

w(x,t)=W(x)sin(ωt+φ)

(1)

式中:ω為管體的自由振動(dòng)頻率；W(x)為描述管體橫向振動(dòng)的模態(tài)函數(shù);φ為初始時(shí)激勵(lì)位移與管體位移的相位差。W(x)可以用一系列滿足初始邊界條件的特征正交多項(xiàng)式來描述，即

(2)

式中:n為實(shí)際計(jì)算時(shí)引入的多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)；ai為對(duì)應(yīng)多項(xiàng)式的系數(shù)；Ψi(x)為一系列特征多項(xiàng)式，可由Gram-Schmidt正交化求得。其具體求解步驟[17]如式(3)～式(6)所示。

(3)

式中，

(4)

對(duì)式(3)進(jìn)行歸一化處理

(5)

通過式(3)～式(5)可以求出一系列滿足式(6)的特征正交多項(xiàng)式。

(6)

特征正交多項(xiàng)式的第一項(xiàng)φ1(x)需要滿足初始邊界條件。對(duì)于本文而言需要滿足的邊界條件是兩端自由的邊界條件。

在有了上述特征正交多項(xiàng)式后，基于歐拉-伯努利梁理論可知，管體的最大勢(shì)能Umax和最大動(dòng)能Tmax分別為

(7)

(8)

其中,

(9)

(10)

式中:E為管體的彈性模量；I為管體橫截面慣性矩；ρ為管體密度；A為管體橫截面面積。

自由邊界條件下的能量方程為

J=Umax-Tmax

(11)

令

(12)

則自由邊界條件下管體的動(dòng)力學(xué)方程可表達(dá)為

(K-ω2M)a=0

(13)

式中：K為自由邊界條件下管體的剛度矩陣；M為自由邊界條件下管體的質(zhì)量矩陣；a=[a1,a2,…,an]T為自由振動(dòng)響應(yīng)向量。

1.2 卡箍的支撐模擬

一個(gè)典型的卡箍-管體系統(tǒng)實(shí)物圖，如圖3所示。 從圖3可知，卡箍通過環(huán)抱對(duì)管路起到固定作用，因而卡箍會(huì)對(duì)管路提供支撐剛度及阻尼的效應(yīng)。為了簡化建模大量的學(xué)者將這種剛度及阻尼效應(yīng)用彈簧-阻尼來模擬。由于本文的目標(biāo)是避振，因而相關(guān)的阻尼效應(yīng)在本研究中被略去。

圖3 卡箍-管體系統(tǒng)

圖4 單管路多支撐簡化模型

固定管路卡箍的局部放大圖，如圖5(a)所示。從圖5(a)可知,卡箍是通過螺栓預(yù)緊將箍帶固定在管路上，從而對(duì)管路起到支撐剛度的作用。前面已經(jīng)提到用m個(gè)彈簧對(duì)來模擬卡箍對(duì)管路的支撐作用，由于螺栓預(yù)緊的不均勻現(xiàn)象，將這m個(gè)彈簧組的剛度賦予同一個(gè)值是不恰當(dāng)?shù)?。為了更好的模擬被約束區(qū)域的受力狀態(tài)，這里假定支撐區(qū)域彈簧的剛度值按正弦函數(shù)半個(gè)周期分布。其中：當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，其分布如圖5(b)所示；當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，其分布如圖5(c)所示。

(a)

在實(shí)際研究中，可通過反推辨識(shí)[18]獲得相應(yīng)的剛度值。由于支撐區(qū)的剛度被設(shè)定為按正弦函數(shù)半周期分布，因而最終的辨識(shí)只需獲取一個(gè)剛度值。通常獲取最大的剛度并通過計(jì)算獲取其他彈簧的剛度值，具體計(jì)算式為

(14)

卡箍的剛度值具有分散性，通過直接靜力學(xué)測試獲得的剛度值可能與實(shí)際某一具體管路系統(tǒng)中卡箍的剛度值相差很大[19]，因而這里采用反推法確定卡箍的剛度[20]，其具體辨識(shí)原理，如圖6所示。

圖6 彈簧剛度辨識(shí)流程

這里的匹配計(jì)算采用遺傳算法[21]進(jìn)行剛度辨識(shí)。匹配計(jì)算中的目標(biāo)函數(shù)可描述為

(15)

基于遺傳算法進(jìn)行剛度辨識(shí)時(shí)需要設(shè)置優(yōu)化參數(shù)，首先需要設(shè)置最大迭代次數(shù)，種群大小即每一代中個(gè)體的數(shù)量(這里個(gè)體指線性彈簧剛度和扭轉(zhuǎn)彈簧剛度)、二進(jìn)制位數(shù)、交叉概率和變異概率。然后進(jìn)行迭代計(jì)算，當(dāng)滿足最大迭代次數(shù)時(shí)，即可求得線性彈簧以及扭轉(zhuǎn)彈簧的剛度值。

1.3 含多卡箍支撐管路系統(tǒng)的建模

考慮一對(duì)彈簧即一根線性彈簧和一根扭轉(zhuǎn)彈簧所含有的能量，其能量可表示為

(16)

(17)

所有彈簧最大的能量可表示為

(18)

綜合管體及各卡箍位置的能量，則含多卡箍支撐管路系統(tǒng)的能量方程為

Js=Us，max+Umax-Tmax

(19)

令

(20)

則含有多卡箍支撐的動(dòng)力學(xué)方程可寫為

(Ks+K-ω2M)a=0

(21)

式中，Ks為彈簧的剛度矩陣。

由式(20)即可求出含有多卡箍支撐的管體系統(tǒng)的固有頻率及模態(tài)振型。

2 管路多卡箍支撐布局優(yōu)化模型

為了完成通過優(yōu)化卡箍位置實(shí)現(xiàn)管路系統(tǒng)有效避振的目標(biāo)，必須創(chuàng)建合理的優(yōu)化模型。創(chuàng)建該優(yōu)化模型需考慮的各要素，包括卡箍位置、激振源和優(yōu)化目標(biāo),如圖7所示。其中卡箍的位置是設(shè)計(jì)變量，具體數(shù)值是以管路左側(cè)端部為坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算的，圖7中剖面線區(qū)域表示了卡箍的可達(dá)區(qū)域。激振源是對(duì)管路系統(tǒng)所處的激勵(lì)環(huán)境的描述，可以是一個(gè)也可是多個(gè)。這里結(jié)合航空發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)行的具體要求，以避開雙激振源為優(yōu)化目標(biāo)開展研究。

圖7 卡箍位置與目標(biāo)函數(shù)圖解

實(shí)際上航空發(fā)動(dòng)機(jī)中存在兩個(gè)激振源頻率:① 高壓轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)速SH(以頻率計(jì));② 低壓轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)速SL。一般情況下，在進(jìn)行管路系統(tǒng)避振設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)同時(shí)考慮發(fā)動(dòng)機(jī)的兩個(gè)激振頻率，按照GJB 3816—1999《航空發(fā)動(dòng)機(jī)管路系統(tǒng)通用技術(shù)要求》[22]，其設(shè)計(jì)要求可描述為

fr≥1.25SH或fr≤0.80SL

(22)

式中，fr為卡箍-管路系統(tǒng)的某階固有頻率。

由于航空發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部空間有限，可安裝卡箍數(shù)量和位置也有限制。而卡箍的數(shù)量決定了卡箍-管路系統(tǒng)各階頻率的可變化范圍，當(dāng)管路系統(tǒng)的剛性不足時(shí)，管路系統(tǒng)的低階頻率可能落在危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)，這里僅考慮第1階及第2階。按避振設(shè)計(jì)需要，需使管路系統(tǒng)第1階、第2階頻率均落在安全區(qū)內(nèi)，即第1階頻率f1<0.80SL，第2階頻率f2>1.25SH。以避開雙激振源為優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)圖解如圖8所示。此時(shí)優(yōu)化為多目標(biāo)優(yōu)化，其數(shù)學(xué)模型為

圖8 避開雙激振源優(yōu)化設(shè)計(jì)圖解

min -f1SL(l1,l2,…,lξ,…,lN,SL),

min -f2SH(l1,l2,…,lξ,…,lN,SH),

s.t.aξ≤lξ≤bξ，ξ=1,2,…,N,

f1-0.80SL≤0,

f2-1.25SH≥0

(23)

式中：f1SL為第1階頻率與低壓轉(zhuǎn)子工作頻率的差值，f1SL=0.80SL-f1；f2SH為第2階頻率與高壓轉(zhuǎn)子工作頻率的差值,f2SH=f2-1.25SH。

3 基于粒子群算法的優(yōu)化模型求解

在創(chuàng)建完優(yōu)化模型后，需要采用相應(yīng)的優(yōu)化算法求解支撐管路卡箍的最優(yōu)位置，以達(dá)到避開激振頻率的目的。這里采用粒子群算法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解。

3.1 粒子群算法

粒子群算法[23-24]是一種隨機(jī)的并行優(yōu)化算法，其算法簡單，并且可以很好的解決復(fù)雜的工程問題，針對(duì)本文的管路卡箍支撐布局優(yōu)化具有很好的適用性。

粒子群算法在解決多目標(biāo)問題有自身獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問題，存在著多個(gè)彼此沖突的目標(biāo)，一個(gè)解對(duì)于某個(gè)目標(biāo)來說可能是較好的，但對(duì)于其他目標(biāo)來說可能是較差的。因而就存在一個(gè)折中的集合稱為Pareto最優(yōu)解集。粒子群算法可以高效的并行地對(duì)非支配解進(jìn)行搜索，每次迭代中都可產(chǎn)生多個(gè)非支配解。多目標(biāo)粒子群算法優(yōu)化出的結(jié)果是Pareto集，決策者可根據(jù)實(shí)際需要在Pareto集中選取優(yōu)化結(jié)果。

3.2 卡箍布局優(yōu)化求解

這里的優(yōu)化問題是以避開雙激振源為目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化。以下描述采用粒子群算法求解上述優(yōu)化問題的具體流程。

根據(jù)粒子群算法的特性，每一個(gè)粒子存在于D維空間，粒子中的每一個(gè)元素代表了一個(gè)決策變量(或設(shè)計(jì)變量)。對(duì)應(yīng)于這里的卡箍布局優(yōu)化問題，卡箍的數(shù)量是N個(gè)，因此粒子的維數(shù)也就是N維。

每個(gè)卡箍的位置的變化都會(huì)對(duì)卡箍-管路系統(tǒng)的固有頻率產(chǎn)生影響，因而每個(gè)卡箍位置也就是一個(gè)決策變量。兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖9所示。

圖9 粒子群決策變量圖解

由M個(gè)粒子組成的種群，在第g代中各粒子位置和速度可表示為

(24)

卡箍布局優(yōu)化具體求解步驟如下。

步驟1初始化粒子群，群體規(guī)模為M，Pareto解集規(guī)模為M1。每個(gè)粒子的位置為li和速度為vi。

步驟2計(jì)算每一個(gè)粒子的適應(yīng)度值-f1SL(i)和-f2SH(i),確定初始個(gè)體最優(yōu)值pbest(i)和非支配解集Pareto。

步驟3更新粒子的速度vi和位置li，重新確定個(gè)體最優(yōu)值pbest(i)。

步驟4對(duì)于每一個(gè)粒子，如果Pareto解的個(gè)數(shù)小于M1，則在新個(gè)體最優(yōu)值pbest(i)中選取新的非支配解加入到Pareto解集中。否則先將擁擠度大的解刪除再加到Pareto解集中。

步驟5判斷算法是否滿足迭代次數(shù): 若是，則輸出Pareto解集；否則返回步驟3。

4 實(shí)例研究

4.1 問題描述

以3個(gè)卡箍支撐的單管路系統(tǒng)為例展示所研發(fā)的管路系統(tǒng)建模以及以避振為目標(biāo)的卡箍布局優(yōu)化的方法。管路的幾何參數(shù)如下:長L=500 mm，外徑D=8 mm，內(nèi)徑d=6.4 mm，管體材料參數(shù)如表1所示。

表1 管體材料參數(shù)

首先，任意指定卡箍在管路系統(tǒng)的位置，如圖10所示。以卡箍左端作為參考原點(diǎn)，3個(gè)卡箍分別置于l1=0.075 m，l2=0.250 m，l3=0.425 m處。3個(gè)卡箍的結(jié)構(gòu)形狀完全一致，每個(gè)卡箍的寬度為14 mm。管體通過卡箍中的螺栓固定在夾具上，螺栓擰緊力矩為4 N·m。由于本文研究的目標(biāo)是避振，因而只需要測試管路系統(tǒng)的固有特性。這里采用錘擊法對(duì)這個(gè)有3個(gè)卡箍支撐的管路系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)測試，以獲取管路系統(tǒng)的固有頻率及模態(tài)振型，為研究方便只分析xy面內(nèi)管路系統(tǒng)的彎曲振動(dòng)。為完成管路系統(tǒng)模態(tài)測試，將管體等分為20份，共21個(gè)測點(diǎn)，用PCB SN 30272模態(tài)力錘在xy平面內(nèi)依次敲擊這21個(gè)測點(diǎn)，并用Polytec激光測振儀進(jìn)行拾振。數(shù)據(jù)采集使用LMS SCADAS系統(tǒng)，試驗(yàn)結(jié)果通過LMS Impact Testing進(jìn)行處理，最終可獲得在此支撐工況下管路系統(tǒng)的固有頻率及模態(tài)振型。這些模態(tài)數(shù)據(jù)主要用于校驗(yàn)所分析的模型，相關(guān)結(jié)果見后續(xù)的管路系統(tǒng)固有特性分析部分。

圖10 卡箍-管路錘擊試驗(yàn)

4.2 卡箍-管路系統(tǒng)固有特性求解

經(jīng)研究，當(dāng)多項(xiàng)式個(gè)數(shù)為20時(shí)已經(jīng)能夠達(dá)到所需精度。另考慮卡箍的寬度為14 mm，為了滿足精度的要求，這里的m≥2。彈簧對(duì)數(shù)越多，則越接近于卡箍對(duì)管路的實(shí)際約束狀態(tài)，但是過多的彈簧對(duì)數(shù)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算效率下降，因而本文折中考慮取m=15。即采用15個(gè)線性彈簧和15個(gè)扭轉(zhuǎn)彈簧模擬一個(gè)卡箍支撐。 其剛度值分布方式采用圖5(b)的分布方式。根據(jù)式(14)算出3個(gè)卡箍中每一個(gè)線性彈簧和扭轉(zhuǎn)彈簧的剛度值。以管路左端為坐標(biāo)原點(diǎn)，由于卡箍的位置分別為l1=0.075 m，l2=0.250 m，l3=0.425 m，所以每個(gè)彈簧的位置也隨之確定。根據(jù)式(1)～式(13)求出自由模態(tài)下的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，然后按照式(16)～式(21)求出彈簧的剛度矩陣。最后采用遺傳算法對(duì)彈簧的線性剛度和扭轉(zhuǎn)剛度進(jìn)行反推辨識(shí)，設(shè)置最大迭代次數(shù)為100次，個(gè)體數(shù)量為50，二進(jìn)制位數(shù)為100，交叉概率為0.7，變異概率為0.01。反推辨識(shí)后線性彈簧的剛度值為Kv=4.258×105N/m和扭轉(zhuǎn)彈簧的剛度值Kθ=86.5 N·m/rad。將得到得線性彈簧剛度值與扭轉(zhuǎn)彈簧剛度值代回到半解析模型中計(jì)算固有頻率。理論模型和試驗(yàn)的結(jié)果如表2和圖11所示。

表2 卡箍-管體系統(tǒng)頻率對(duì)比

圖11 半解析法與試驗(yàn)?zāi)B(tài)振型對(duì)比

需要說明的是，表2及圖11中雖然是用反推法確定的卡箍剛度值又回代到管路系統(tǒng)半解析模型得到的結(jié)果，但是反推辨識(shí)需要基于正確的理論分析模型，這里得到：前3階固有頻率最大差值為2.72%，模態(tài)置信度最小值為0.91，這些數(shù)據(jù)客觀上也能說明所研發(fā)的半解析模型的合理性。

4.3 卡箍布局優(yōu)化

以避開雙激振源為優(yōu)化目標(biāo)，將4.2節(jié)中計(jì)算的卡箍剛度值結(jié)合位置坐標(biāo)以參數(shù)形式應(yīng)用到粒子群算法中。設(shè)定高壓轉(zhuǎn)子頻率為SH=580 Hz，低壓轉(zhuǎn)子頻率為SL=400 Hz。種群大小設(shè)置為250，Pareto解集大小設(shè)置為200，迭代次數(shù)為200，學(xué)習(xí)因子c1=2.0，c2=2.5，慣性權(quán)重w=0.5。目標(biāo)函數(shù)分別為-f1SL(l1,l2,l3,SL)和-f2SH(l1,l2,l3,SH)，卡箍位置約束條件為a1=0.002，b1=0.150，a2=0.170，b2=0.316，a3=0.336，b3=0.484。經(jīng)過多次優(yōu)化測試，當(dāng)設(shè)置迭代次數(shù)為200次時(shí)，均能得到收斂結(jié)果，且每次優(yōu)化只需800 s。其優(yōu)化結(jié)果如圖12所示。圖12中圓點(diǎn)為Pareto解集，從圖12可知，Pareto解均勻分布。當(dāng)需要第2階頻率較小時(shí)可以選擇點(diǎn)1此時(shí)優(yōu)化結(jié)果f1=227.83 Hz，f2=957.30 Hz，對(duì)應(yīng)的卡箍位置為l1=0.150 m，l2=0.316 m，l3=0.484 m。當(dāng)需要第2階頻率較大時(shí)可以選擇點(diǎn)2，此時(shí)優(yōu)化結(jié)果為f1=229.59 Hz，f2=1 173.50 Hz，對(duì)應(yīng)的卡箍位置為，l1=0.045 m，l2=0.186 m，l3=0.336 m?？傊趯?shí)際管路系統(tǒng)支撐優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，決策者可以根據(jù)實(shí)際需要從優(yōu)化解集中選取最優(yōu)結(jié)果。

圖12 以避開雙激振源為目標(biāo)的優(yōu)化結(jié)果

4.4 優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型的合理性和優(yōu)化結(jié)果的有效性，本文選取了點(diǎn)1和點(diǎn)2的優(yōu)化結(jié)果所對(duì)應(yīng)的卡箍位置分別作為試驗(yàn)的卡箍布局方案1和方案2。同時(shí)隨機(jī)選取了兩個(gè)非優(yōu)化結(jié)果的卡箍位置做為卡箍布局方案3和方案4。將卡箍布局方案3和方案4作為對(duì)照用以驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的有效性。選取的卡箍布局方案如表3和圖13所示。

表3 卡箍布局方案

(a) 方案1

用PCB SN 30272模態(tài)力錘在xy平面內(nèi)敲擊管體，并用Polytec激光測振儀進(jìn)行測量。數(shù)據(jù)采集使用LMS SCADAS系統(tǒng)，試驗(yàn)結(jié)果通過LMS Impact Testing進(jìn)行處理。最終獲得上述卡箍布局方案的頻率結(jié)果，并將試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。其結(jié)果如表4所示。

表4 試驗(yàn)頻率與半解析頻率對(duì)比

從表4可知，4種卡箍布局方案的試驗(yàn)頻率與半解析法算出的頻率的誤差最大為4.35%，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文半解析模型的合理性。優(yōu)化位置的卡箍布局方案均符合避振設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，而非優(yōu)化位置的卡箍布局方案的前2階頻率均在共振區(qū)，從而驗(yàn)證了本文優(yōu)化結(jié)果的合理性。

5 結(jié) 論

對(duì)于航空發(fā)動(dòng)機(jī)管路系統(tǒng)在動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)階段避開共振是至關(guān)重要的，本文以單管路多支撐系統(tǒng)為對(duì)象，提出了基于粒子群優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)卡箍優(yōu)化布局進(jìn)而實(shí)現(xiàn)有效避振的方法。得出如下結(jié)論:

(1) 這里提出將管體和卡箍分開建模來解決多卡箍支撐的超靜定管路建模問題。先對(duì)自由邊界條件下的管體建模，再將卡箍以彈簧的形式引入管路系統(tǒng)。在建模過程中，重點(diǎn)考慮了螺栓預(yù)緊箍帶對(duì)管路系統(tǒng)剛度的影響，提出用非均勻分布(具體是正弦函數(shù)的半個(gè)周期)彈簧對(duì)來模擬卡箍的支撐。實(shí)例表明: 分析獲得的固有頻率與實(shí)測值相比偏差小于2.12%，而分析獲得的振型與實(shí)測值的模態(tài)置信度大于等于0.92，從而證明這種建模方法可有效模擬管路系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。

(2) 航空發(fā)動(dòng)機(jī)外部管路系統(tǒng)的激振頻率主要來源于高壓及低壓轉(zhuǎn)子的振動(dòng)頻率。本文以避開雙激振源為優(yōu)化目標(biāo)，以卡箍位置為設(shè)計(jì)變量，創(chuàng)建了合適的優(yōu)化模型。在該優(yōu)化模型中，所描述的避振目標(biāo)完全來自于行業(yè)規(guī)范，因而可對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)際管路設(shè)計(jì)起到一定的指導(dǎo)作用。

(3) 粒子群算法作為一種隨機(jī)的并行優(yōu)化算法，可以很好的解決本文描述的以避振為目標(biāo)的卡箍布局優(yōu)化問題。這里粒子中每個(gè)元素描述了卡箍的位置，實(shí)例計(jì)算表明，該優(yōu)化算法可以快速收斂，從而找到可以有效避開共振的管路系統(tǒng)中卡箍的最優(yōu)位置。