非關(guān)聯(lián)流動(dòng)準(zhǔn)則條件下條形錨板抗拔特性上限分析

蔣志琳，王崇淦，謝春玲

(湖南中大設(shè)計(jì)院有限公司，湖南 長(zhǎng)沙410075)

錨板作為一種高效、簡(jiǎn)單且成本低廉的能提供抗拔力的基礎(chǔ)型式，在工程中得到了廣泛應(yīng)用，其抗拔承載特性也一直是巖土工程研究的重點(diǎn)。基于其破壞范圍和破壞機(jī)理，錨板可分為淺埋錨板和深埋錨板[1?2]。淺埋錨板破壞時(shí)上覆土體存在明顯的破壞面，且從錨板端點(diǎn)向上延伸到地表，呈整體剪切破壞。而深埋錨板則是以錨板周?chē)馏w的局部破壞為主，土體中沒(méi)有明顯的破裂面，一般伴隨著地表隆起現(xiàn)象。對(duì)于淺埋錨板的抗拔承載特性研究，主要有以下幾種研究方法：模型試驗(yàn)、極限分析法、極限平衡法和數(shù)值分析方法。由于極限分析方法避免了復(fù)雜的應(yīng)力?應(yīng)變過(guò)程，相較于極限平衡法具有嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。因此，極限分析方法成為巖土工程問(wèn)題研究的最常見(jiàn)且有效的方法之一，在淺埋錨板抗拔特性的研究中也非常有效。因而，對(duì)于錨板抗拔承載特性取得了卓有成效的研究。基于極限分析上限定理，黃茂松等[3?4]基于剛性塊體破壞機(jī)制，探究了淺埋條形錨板的抗拔承載特性。趙煉恒等[5?6]考慮巖土體材料固有的強(qiáng)度非線(xiàn)性特性，采用外切線(xiàn)方法引入非線(xiàn)性強(qiáng)度指標(biāo)，開(kāi)展了錨板抗拔特性分析。考慮到外切線(xiàn)方法引入的強(qiáng)度指標(biāo)是相同的，塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚴且恢碌?，并沒(méi)有反映巖土體摩擦角隨正應(yīng)力的變化關(guān)系。因此，并非真正意義上的非線(xiàn)性特性分析。在極限分析上限定理的基礎(chǔ)上，基于非線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則和關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，王洪濤等[7-8]構(gòu)建了條形錨板的曲線(xiàn)型破壞機(jī)制，通過(guò)虛功率原理建立了抗拔力的泛函，根據(jù)變分原理得到了條形錨板的極限抗拔力。進(jìn)一步，ZHAO等[9?10]構(gòu)建了圓形錨板的抗拔破壞機(jī)制，開(kāi)展了圓形錨板的抗拔特性分析。在錨板剪脹特性的研究方面，MERIFIED等[11]采用極限分析有限元方法研究了砂土中水平和豎直條形錨板的極限抗拔力，深入分析了土體內(nèi)摩擦角、剪脹角、錨板埋深和粗糙度等因素的影響。GIAMPA等[12]考慮砂土的剪脹效應(yīng)，采用模型試驗(yàn)、極限平衡方法、以及數(shù)值分析方法研究了淺埋圓形螺旋錨的極限抗拔力。但均基于線(xiàn)性準(zhǔn)則，并沒(méi)有考慮巖土體材料固有的非線(xiàn)性特性。然而，已有研究大多建立在巖土體材料服從相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則的基礎(chǔ)上。大量研究成果也證實(shí)：巖土體材料一般并不遵循相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則[13?16]，巖土材料的膨脹角與摩擦角往往是不一致，極限狀態(tài)產(chǎn)生的剪脹角一般小于相關(guān)聯(lián)流動(dòng)準(zhǔn)則要求的值(即，內(nèi)摩擦角)，巖土材料服從非相關(guān)流動(dòng)規(guī)律[17?19]，采用相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則往往會(huì)高估土體的剪脹特性，當(dāng)材料的剪脹角不等于摩擦角時(shí)，材料服從非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則。因此，SHI等[20]基于非線(xiàn)性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則以及非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，分析了淺埋條形錨板的抗拔特性，其結(jié)果表明，土體的強(qiáng)度非線(xiàn)性和剪脹特性對(duì)錨板的極限抗拔力存在明顯影響。趙煉恒等[5]考慮非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則和非線(xiàn)性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，探究了水平淺埋矩形錨板的極限抗拔力。此外，考慮非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則和非線(xiàn)性破壞準(zhǔn)則對(duì)巖土結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性或承載力的影響，也取得了較為豐富的成果[21?24]。但上述方法均通過(guò)“外切線(xiàn)”方法引入非線(xiàn)性強(qiáng)度指標(biāo)，使得塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蛞恢拢雎粤藦?qiáng)度指標(biāo)隨正應(yīng)力的變化關(guān)系，并非真正意義上的非線(xiàn)性分析。鑒于同時(shí)考慮巖土體材料強(qiáng)度非線(xiàn)性和剪脹特性對(duì)錨板抗拔特性的研究尚未見(jiàn)報(bào)道，本文基于非線(xiàn)性Mohr-Coulmb破壞準(zhǔn)則和非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，通過(guò)對(duì)非線(xiàn)性準(zhǔn)則進(jìn)行修正從而考慮土體的剪脹特性，在機(jī)動(dòng)許可的速度場(chǎng)中計(jì)算內(nèi)能耗散功率和外力功率。通過(guò)虛功率原理建立抗拔力的泛函表達(dá)式，采用歐拉方程和Runge-Kutta法得到破裂面方程，從而得到條形錨板的極限抗拔力。通過(guò)與有限元數(shù)值分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比說(shuō)明了本文方法的有效性，進(jìn)一步開(kāi)展了土體的剪脹特性和非線(xiàn)性特性對(duì)條形錨板的抗拔特性分析。本文研究綜合考慮了土體的強(qiáng)度非線(xiàn)性和剪脹特性對(duì)錨板抗拔性能的影響，具有一定的理論研究?jī)r(jià)值和實(shí)際工程意義。

1 基本理論

非線(xiàn)性是巖土體材料非常重要的特性，主要表現(xiàn)在土體參數(shù)摩擦角會(huì)隨著應(yīng)力水平的變化而變化。在σ-τ平面內(nèi)，它表征的是正應(yīng)力與剪切強(qiáng)度的非線(xiàn)性關(guān)系[9?10,25]，如圖1所示。當(dāng)一個(gè)應(yīng)力矢量從原點(diǎn)逐漸增加到該屈服曲線(xiàn)時(shí)，土體便達(dá)到屈服，并開(kāi)始發(fā)生破壞。若將塑性正應(yīng)變速率和剪切應(yīng)變速率組成的坐標(biāo)系與應(yīng)力坐標(biāo)系重合，當(dāng)土體服從相關(guān)流動(dòng)法則時(shí)，屈服點(diǎn)處的總塑性應(yīng)變速率和屈服面正交，且總塑性應(yīng)變速率與塑性剪切應(yīng)變速率之間的夾角為φt，因此，φt=atan(dτ/dσ)。

圖1 非線(xiàn)性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則Fig.1 Nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion

對(duì)于非線(xiàn)性Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則[5-7,9,26]，其表達(dá)式為：

其中，C0為土體的初始黏聚力;σt為土體的單軸抗拉強(qiáng)度，在σ-τ平面內(nèi)，其分別表示屈服準(zhǔn)則與縱軸、橫軸的截距;m為表征土體強(qiáng)度非線(xiàn)性的系數(shù)，m≥1.0,當(dāng)m=1.0時(shí)則退化為線(xiàn)性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則。

然而根據(jù)極限分析上限理論，巖土材料在發(fā)生塑性流動(dòng)時(shí)服從相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，此意味著產(chǎn)生較大的剪脹，實(shí)際上巖土材料的剪脹并沒(méi)有預(yù)測(cè)的那么大。大量研究成果也證實(shí)：巖土體材料一般并不遵循相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則[13?16]，當(dāng)材料的剪脹角不等于摩擦角時(shí)，材料服從非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，此時(shí)速度方向與間斷面的夾角為剪脹角。而巖土體材料都具有強(qiáng)度非線(xiàn)性特性，為能使用極限分析定理，考慮非關(guān)聯(lián)流動(dòng)準(zhǔn)則，采用非線(xiàn)性剪脹系數(shù)η直接對(duì)破壞準(zhǔn)則進(jìn)行修正[23?24]，修正后的非線(xiàn)性Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則為：

2 上限分析

2.1 模型建立

本文假定地表水平，錨板水平埋設(shè)，且錨板埋深屬于淺埋范圍，即錨板上覆土體破裂時(shí)存在明顯的破裂面。土體服從非線(xiàn)性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則和非關(guān)聯(lián)流動(dòng)準(zhǔn)則，錨板在承受上拔荷載時(shí)，錨板和土體視為整體向上運(yùn)動(dòng)，破壞面上速度與破壞面切線(xiàn)的夾角為剪脹角ψ，破壞面切線(xiàn)與水平方向的夾角為θ，由圖2可知，cotθ=g′(z)。土體破裂面曲線(xiàn)方程假設(shè)為y=g(z)，錨板埋深為H，錨板寬度為B=2r，地表破壞點(diǎn)至錨板中點(diǎn)的水平距離為L(zhǎng)，錨板承受的上拔力為Pu，地表超載為σs。以z為自變量。

圖2 水平淺埋錨板抗拔破壞機(jī)制Fig.2 Uplift failure mechanism of shallow horizontal anchor plate

2.2 功率計(jì)算

取z方向單位長(zhǎng)度微元體分析，由圖2中幾何關(guān)系可知，破壞面上的長(zhǎng)度

非線(xiàn)性準(zhǔn)則和非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則條件下，單位面積上的內(nèi)能耗散功率為[26]

因此，破壞面上內(nèi)能耗散功率為

重力功率

上拔力功率

地表超載功率

根據(jù)虛功率原理建立平衡方程得：

由此，可得條形錨板的極限抗拔力為

2.3 最小上限解條件

根據(jù)ZHANG等[26]的研究，在臨界狀態(tài)下，當(dāng)功率平衡和靜力平衡條件同時(shí)滿(mǎn)足時(shí)可得到最小的上限解答。由圖2所示的軸對(duì)稱(chēng)破壞機(jī)制可知，在水平方向上合力為0，且錨板上覆土體視為剛塑性體整體向上平移。在豎直方向上，合力為

在任意一組虛位移中，都滿(mǎn)足虛功率平衡原理，因此

顯然，在任意一組容許的虛位移中，豎直方向上滿(mǎn)足力的平衡條件。由此

式中：

2.4 歐拉方程

抗拔力表達(dá)式(13)為典型的包含多個(gè)函數(shù)的積分型泛函，根據(jù)變分極值原理，抗拔力取極值時(shí)的極值曲線(xiàn)必然滿(mǎn)足如下歐拉方程。

其中

將式14(a)代入式(15)可得

化簡(jiǎn)可得

2.5 變分橫截條件

此外，由于淺埋錨板的破裂面由錨板端點(diǎn)向上逐漸延伸到地表，破壞面(即極值曲線(xiàn))一端固定，另一端在直線(xiàn)z=H上移動(dòng)，δy=0，δz是任意的。根據(jù)可動(dòng)邊界條件的泛函極值原理，抗拔力泛函取極值時(shí)除滿(mǎn)足充要條件—?dú)W拉方程—之外，還必須滿(mǎn)足必要條件—變分橫截條件，如下

因此，在地表處，有邊界條件為

由式(20)可知，在地表處，土體破裂面上正應(yīng)力等于地表超載。

此外，根據(jù)圖2所示的破壞機(jī)制可知位移邊界條件如下

于是，式(18)中的偏微分方程組可根據(jù)Rung-Kutta方法結(jié)合式(20)和式(21)中的邊界條件進(jìn)行求解。

3 對(duì)比分析

為驗(yàn)證本文方法的有效性與準(zhǔn)確性，采用極限分析有限元方法對(duì)本文計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。有限元模型如圖3所示，由于水平錨板在地表水平時(shí)其抗拔破壞機(jī)制為軸對(duì)稱(chēng)機(jī)制，故取模型的1/2進(jìn)行建模。為保證錨板在上拔過(guò)程中無(wú)水平橫向位移，對(duì)錨板中點(diǎn)施加約束，錨板采用板單元，中點(diǎn)處施加集中荷載。此外，模型邊界條件為：模型上部邊界為地表，無(wú)約束；左右兩側(cè)邊界施加法向約束；底部邊界固定約束。

圖3 抗拔錨板有限元模型Fig.3 Finite element uplift model of anchor plate

當(dāng)非線(xiàn)性系數(shù)m=1.0時(shí)，非線(xiàn)性Mohr-Cou‐lomb破壞準(zhǔn)則將退化為線(xiàn)性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則。此時(shí)，考慮剪脹特性的非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則對(duì)強(qiáng)度準(zhǔn)則的折減為[16]

其中

式中：c，φ分別表示初始的土體黏聚力和內(nèi)摩擦角；c*，φ*分別表示折減后的土體黏聚力和內(nèi)摩擦角；ψ為剪脹角。

當(dāng)假定土體材料服從相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則時(shí)，土體的剪脹角等于摩擦角，而當(dāng)土體服從非相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則時(shí)，土體的剪脹角小于摩擦角。在線(xiàn)性準(zhǔn)則條件下，將屈服準(zhǔn)則進(jìn)行強(qiáng)度參數(shù)的折減來(lái)考慮非相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則的影響。因此，本文采用極限分析有限元方法分別分析以下3種工況：1)材料服從相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則；2)材料服從非相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則；3)考慮非相關(guān)流動(dòng)法則影響，對(duì)強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行折減的相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，即采用式(23)的折減后強(qiáng)度參數(shù)且服從相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則。將上述工況計(jì)算結(jié)果與本文方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖4所示。

圖4 極限抗拔力對(duì)比分析Fig.4 Comparison of ultimate pullout capacity

在線(xiàn)性準(zhǔn)則條件下，考慮關(guān)聯(lián)和非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則的影響，采用極限分析有限元方法對(duì)本文結(jié)算結(jié)果進(jìn)行了案例對(duì)比分析，如圖4所示。當(dāng)土體服從關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則時(shí)，極限分析有限元結(jié)果(數(shù)值解)稍大于本文計(jì)算結(jié)果(理論解)，在埋深較小時(shí)，兩者相對(duì)誤差較大，隨著錨板埋深的增加，兩者相對(duì)誤差逐漸減小。在非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則條件下，本文理論計(jì)算結(jié)果與采用折減后的強(qiáng)度準(zhǔn)則數(shù)值計(jì)算結(jié)果(即工況c)吻合較好，兩者結(jié)果均大于非關(guān)聯(lián)流動(dòng)準(zhǔn)則條件下的有限元分析結(jié)果(即工況b)?？傮w上看，本文理論結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合較好，可以說(shuō)明本文方法的有效性和準(zhǔn)確性。

4 參數(shù)分析

在非線(xiàn)性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則條件下，考慮巖土體材料的剪脹特性，得到了淺埋條形錨板的極限抗拔力。研究表明，錨板的極限抗拔力受眾多因素的影響，尤其是在非線(xiàn)性準(zhǔn)則條件下[7?10]?；诖耍瑢?duì)考慮剪脹特性的巖土體材料中的條形錨板的極限抗拔力進(jìn)行了參數(shù)的影響分析，如圖5所示。并采用無(wú)量綱抗拔因子Npu表征條形錨板的極限抗拔力Pu，且Npu=Pu/γBH。

圖5 條形錨板極限抗拔力參數(shù)影響分析Fig.5 Analysis of the effect of parameters on the ultimate pullout capacity of strip anchor plate

由圖5可知，隨著錨板相對(duì)埋深率的增大，抗拔因子逐漸增大。在非線(xiàn)性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則條件下，條形錨板的無(wú)量綱抗拔因子隨非線(xiàn)性剪脹系數(shù)的增大逐漸較小。非線(xiàn)性剪脹系數(shù)越大，錨板相對(duì)埋深率對(duì)抗拔因子的影響越顯著，如圖5(a)所示。條形錨板的抗拔因子隨非線(xiàn)性系數(shù)的增大逐漸減小，且趨勢(shì)趨于平緩，非線(xiàn)性系數(shù)越小，抗拔因子隨錨板相對(duì)埋深率的變化越顯著，如圖5(b)所示?？拱我蜃与S初始黏聚力的增大而增大，隨土體抗拔強(qiáng)度的增大而減小，且當(dāng)抗拉強(qiáng)度較大時(shí)，錨板抗拔因子隨相對(duì)埋深率的影響越顯著。

對(duì)于淺埋錨板，上拔破壞時(shí)土體存在明顯的破裂面。在錨板工程設(shè)計(jì)中，錨板的極限抗拔力是其抗拔特性的重點(diǎn)，但上覆土體的破壞范圍也是值得注意的。因此，同時(shí)考慮土體強(qiáng)度非線(xiàn)性和剪脹特性，對(duì)淺埋條形錨板上覆土體破裂面形狀進(jìn)行了參數(shù)影響分析，如圖6所示。其中，錨板寬度B=1.0 m，上覆土體重度γ=20 kN/m3，錨板埋深H=6.0 m，地表超載σs=0 kPa，其余參數(shù)詳見(jiàn)表1。

圖6 參數(shù)對(duì)土體破裂面形狀的影響分析Fig.6 Analysis of effect of parameters on the shape of soil fracture surface

表1 參數(shù)取值Table 1 Values of parameters

由圖6可知，考慮剪脹效應(yīng)的非線(xiàn)性剪脹系數(shù)η，非線(xiàn)性系數(shù)m，土體初始黏聚力和抗拉強(qiáng)度對(duì)錨板上覆土體的破壞范圍均存在較為顯著的影響。在非線(xiàn)性準(zhǔn)則條件下，隨著非線(xiàn)性剪脹系數(shù)η的增大，地表破壞寬度逐漸增大，如圖6(a)所示。隨著非線(xiàn)性系數(shù)m的增大，土體破裂面由直線(xiàn)逐漸變化為曲線(xiàn)，破壞范圍逐漸減小，且只在線(xiàn)性準(zhǔn)則條件下破裂面呈直線(xiàn)，在非線(xiàn)性條件下破裂面呈曲線(xiàn)，如圖6(b)所示。當(dāng)土體初始黏聚力增大、或土體抗拉強(qiáng)度減小時(shí)，其地表破壞寬度逐漸增大。在線(xiàn)性準(zhǔn)則條件下，土體初始黏聚力增大、或土體抗拉強(qiáng)度減小均表現(xiàn)為土體強(qiáng)度參數(shù)的增大，因此，土體破壞范圍增大。

5 結(jié)論

1)錨板破裂面上正應(yīng)力與土體重度和地表超載有關(guān)，在均質(zhì)條件下，破裂面上正應(yīng)力與深度呈正比關(guān)系，比例系數(shù)即為土體重度。

2)土體的剪脹效應(yīng)對(duì)錨板的極限抗拔力和破裂面均存在顯著的影響；隨著非線(xiàn)性剪脹系數(shù)的增大，錨板的極限抗拔力逐漸增大，且土體破裂范圍逐漸增大。因此，在非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則條件下，錨板的極限抗拔力小于關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則條件下的錨板極限抗拔力。

3)在非線(xiàn)性準(zhǔn)則條件下，巖土體材料的非線(xiàn)性系數(shù)、初始黏聚力和抗拉強(qiáng)度對(duì)錨板的極限抗拔力存在顯著的影響。隨著非線(xiàn)性系數(shù)的增大，錨板極限抗拔力逐漸減小且趨勢(shì)趨于平緩。初始黏聚力的增大或抗拉強(qiáng)度的減小均會(huì)導(dǎo)致錨板極限抗拔力增大。