基于奇異值分解和均值聚類的單通道盲源分離算法研究

黃小青，肖 瑛，馬藝偉

(大連民族大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，遼寧 大連 116605)

盲源分離是一種在源信號(hào)和混合矩陣未知的情況下，僅根據(jù)觀測(cè)信號(hào)完成對(duì)源信號(hào)估計(jì)的一種技術(shù)，目前在地震信號(hào)處理、機(jī)械故障信號(hào)診斷、醫(yī)學(xué)信號(hào)處理、語(yǔ)音信號(hào)處理等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用[1-2]。根據(jù)源信號(hào)和觀測(cè)信號(hào)的數(shù)目，可將盲源分離問題分為：超定、正定和欠定盲源分離三類。當(dāng)接收傳感器小于源信號(hào)數(shù)目時(shí)，所得到的觀測(cè)信號(hào)數(shù)目小于源信號(hào)數(shù)目，則該類盲源分離稱為欠定盲源分離[3]，單通道信號(hào)盲源分離是欠定盲源分離的一個(gè)特例，也是盲源分離研究中的一個(gè)技術(shù)瓶頸問題。對(duì)于欠定盲源分離，目前主要的解決方法是結(jié)合數(shù)據(jù)分解技術(shù)的盲源分離和稀疏化盲源分離方法，結(jié)合數(shù)據(jù)分解技術(shù)如小波分解、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解等，通過維數(shù)擴(kuò)展補(bǔ)充觀測(cè)信號(hào)數(shù)目，使欠定盲源分離轉(zhuǎn)換為正定盲源分離，并在此基礎(chǔ)上利用獨(dú)立分量分析等傳統(tǒng)正定盲分離方法獲得分離結(jié)果[4]。結(jié)合數(shù)據(jù)分解的盲源分離方法缺點(diǎn)是在無法確知源信號(hào)數(shù)目的情況下，擴(kuò)展維數(shù)也無法確定，同時(shí)，不同的分解方法得到的在維數(shù)擴(kuò)展中的虛擬通道上的觀測(cè)信號(hào)質(zhì)量有時(shí)會(huì)制約傳統(tǒng)正定分離方法的性能。稀疏化盲源分離是利用觀測(cè)信號(hào)的稀疏特征或觀測(cè)信號(hào)在變換域中的稀疏特征，采用兩步法進(jìn)行源信號(hào)的估計(jì)[5]，即首先利用信號(hào)的稀疏特征對(duì)混合矩陣進(jìn)行估計(jì)，對(duì)于欠定盲源分離，估計(jì)的混合矩陣的維數(shù)由觀測(cè)信號(hào)數(shù)目和源信號(hào)的數(shù)目共同決定，無法直接求逆得到分離矩陣，此時(shí)在所估計(jì)的混合矩陣基礎(chǔ)上利用線性規(guī)劃方法來逐步進(jìn)行源信號(hào)的估計(jì)。稀疏化盲源分離結(jié)果受混合矩陣估計(jì)精度的影響，同時(shí)當(dāng)觀測(cè)信號(hào)受到噪聲污染時(shí)，分離性能不佳。

信號(hào)的傳輸過程中不可避免受到傳輸環(huán)境噪聲的影響，為提高噪聲干擾下單通道盲源分離性能，提出一種基于SVD分解均值聚類盲源分離算法。即對(duì)單通道觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行SVD分解，利用中值準(zhǔn)則對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪處理，對(duì)保留的特征值分別進(jìn)行分量恢復(fù)，將恢復(fù)的分量作為盲源分離觀測(cè)信號(hào)。為了估計(jì)單通道信號(hào)中所包含源信號(hào)數(shù)目，對(duì)SVD分解分量作STFT進(jìn)行稀疏化處理，在時(shí)頻域中，根據(jù)各分量的散點(diǎn)圖判別源信號(hào)的數(shù)目。對(duì)各分量時(shí)頻域進(jìn)行能量極小點(diǎn)剔除和單源點(diǎn)判定，利用K均值聚類方法估計(jì)混合矩陣，將估計(jì)的混合矩陣求逆即可得到對(duì)應(yīng)的分離矩陣。算法將降噪、源信號(hào)數(shù)目判別和源信號(hào)恢復(fù)一并處理，適用于大多實(shí)際工程應(yīng)用場(chǎng)合，計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果證明了算法的有效性。

1 欠定盲源分離

盲源分離的簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型可以表示為

X(t)=AS(t)。

(1)

1.1 SVD分解

考慮實(shí)際工程中傳感器采集的觀測(cè)信號(hào)一般會(huì)受噪聲干擾，在正定盲源分離的約束條件中，噪聲可以被看作為一路源信號(hào)，并且在多路源信號(hào)中，最多只能有一路滿足高斯分布的噪聲，否則會(huì)降低源信號(hào)的分離性能，甚至導(dǎo)致分離方法失效。對(duì)于含有噪聲的單通道觀測(cè)信號(hào)，降噪是實(shí)現(xiàn)盲源分離的重要預(yù)處理工作。SVD降噪是利用信號(hào)與噪聲的奇異值不同[6]，在奇異值分解后，可采用中值或者均值準(zhǔn)則使對(duì)應(yīng)于噪聲分量的奇異值為零，然后重構(gòu)原信號(hào)達(dá)到降噪的目的。對(duì)于給定的階數(shù)為M×N的矩陣C，設(shè)有兩個(gè)酉矩陣U∈RM×M和V∈RN×N，并且酉矩陣U和V同時(shí)滿足UUT=I，VVT=I，并設(shè)

Λ=[diag{λ1,λ2,…,λp}]，

(2)

其中p=min(N,M)，使得式(3)成立，

A=UΛVT。

(3)

那么U和V則分別是M×M和N×N的正交矩陣，式(2)中Λ的對(duì)角元素稱為奇異值，并且按照降序排列。因?yàn)棣珵閷?duì)角矩陣，因此SVD可以將一個(gè)秩為K的M×N階矩陣C表示成為K個(gè)秩為1的M×N階子矩陣的和，每個(gè)子矩陣由兩個(gè)特征向量和一個(gè)權(quán)值相乘得到，

(4)

式中：矢量ui和vi分別為矩陣U和V的第i列向量；λi是矩陣C的按降序排列的第i個(gè)奇異值。因此一個(gè)矩陣經(jīng)過SVD分解，就成為一系列子矩陣Ci和相應(yīng)的奇異值λi的乘積。SVD分解的實(shí)質(zhì)是將矩陣投影到一系列不相關(guān)的子空間中，如果存在噪聲，那么矩陣C經(jīng)SVD分解得到的奇異值都不為零，即Λ為一個(gè)滿秩的對(duì)角矩陣。對(duì)于單通道信號(hào)利用SVD分解，首先要對(duì)單通道信號(hào)進(jìn)行相空間重構(gòu)，即利用滑動(dòng)窗對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行截?cái)?，?gòu)建Hankel矩陣，假設(shè)離散單通道觀測(cè)信號(hào)為X(n)=[x(1),x(2),…,x(n)]，那么該離散信號(hào)的Hankel矩陣可以表示為

(5)

如果觀測(cè)信號(hào)中存在噪聲或者突發(fā)的干擾信息，那么Hankel矩陣可以寫為

C=Cm+W。

(6)

式中：m=N-n+1；矩陣W可以看作是對(duì)矩陣C的一個(gè)擾動(dòng)，對(duì)應(yīng)了信號(hào)中的噪聲部分；相對(duì)的Cm是信號(hào)的平滑部分在重構(gòu)相空間的中的軌跡矩陣。根據(jù)奇異值對(duì)應(yīng)信號(hào)和噪聲的特點(diǎn)，利用SVD分解可以近似的獲得Cm，即保留平滑信息對(duì)應(yīng)的奇異值，將其他奇異值置零并利用式(4)重構(gòu)原信號(hào)的方法實(shí)現(xiàn)降噪。如果在降噪的基礎(chǔ)上，僅根據(jù)指定的奇異值利用SVD逆過程重構(gòu)就可以得到SVD分解對(duì)應(yīng)的不同分量，這些分量累加得到的信號(hào)就是降噪后的信號(hào)。利用SVD分解對(duì)應(yīng)的分量作為觀測(cè)信號(hào)，可以進(jìn)行進(jìn)一步的盲源分離工作。

1.2 混合矩陣估計(jì)

利用SVD分解得到的分量作為多路觀測(cè)信號(hào)，實(shí)現(xiàn)了維數(shù)擴(kuò)展，但是在未知源信號(hào)數(shù)目的情況下，仍然無法利用傳統(tǒng)的獨(dú)立分量分析(Independent Component Analysis，ICA)方法進(jìn)行盲源分離?？紤]式(1)模型中，如果源信號(hào)具有稀疏特征，即在大多數(shù)特定采樣時(shí)刻，僅有一個(gè)源信號(hào)占優(yōu)，而其他源信號(hào)在當(dāng)前時(shí)刻可以近似為0。假設(shè)在采樣時(shí)刻t占優(yōu)的為第j個(gè)源信號(hào)sj(t)，那么滿足系數(shù)特征的采樣時(shí)刻式(1)可以寫為

(7)

(8)

式(8)為一直線方程，該直線的方向與混合矩陣第j列向量方向相同，由此可知，如果源信號(hào)具有稀疏特征，那么觀測(cè)信號(hào)則具有線性聚類特征[7]。

如果時(shí)域中源信號(hào)不滿足稀疏特征，可以將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換到變換域獲得滿足稀疏特征后進(jìn)行處理，常用的變換方法包括小波變換、傅立葉變換和時(shí)頻變換。三個(gè)中心頻率不同的正弦信號(hào)混合后選取其中兩個(gè)觀測(cè)信號(hào)的散點(diǎn)圖如圖1?？梢钥闯鲈跁r(shí)域中散點(diǎn)圖并不具有直線特征。文中采用STFT增強(qiáng)觀測(cè)信號(hào)的稀疏性，根據(jù)式(1)得到對(duì)應(yīng)的時(shí)頻域盲源分離模型表示為

X(τ,f)=AS(τ,f)。

(9)

其中X(τ,f)和S(τ,f)分別對(duì)應(yīng)時(shí)域觀測(cè)信號(hào)X(t)和源信號(hào)S(t)的時(shí)頻域表示。在時(shí)頻域得到的觀測(cè)信號(hào)的散點(diǎn)圖如圖2?？梢钥闯鰰r(shí)頻域中源信號(hào)呈現(xiàn)典型的直線聚類特征。此外，根據(jù)時(shí)頻域中的直線方向角數(shù)目可以判別出源信號(hào)的數(shù)目為3。

圖1 時(shí)域觀測(cè)信號(hào)散點(diǎn)圖

圖2 時(shí)頻域中觀測(cè)信號(hào)散點(diǎn)圖

1.3 單通道盲源分離算法

由SVD和K-means均值聚類方法，這里給出一種單通道盲源分離算法。首先將單通道觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行相空間重構(gòu)，利用SVD分解，根據(jù)均值準(zhǔn)則進(jìn)行降噪處理，即

(10)

對(duì)于保留的奇異值λi分別根據(jù)SVD逆過程重構(gòu)對(duì)應(yīng)的分量，即

(11)

(12)

利用M1剔除能量極小值，

(13)

(14)

式(14)可以直接由式(8)推導(dǎo)得到，可見如果時(shí)頻點(diǎn)(τi,fi)為單源點(diǎn)，那么對(duì)應(yīng)在該時(shí)頻點(diǎn)上的任意兩個(gè)不同觀測(cè)信號(hào)的比值為實(shí)數(shù)。但是實(shí)際中由于STFT變換中加窗的能量泄露以及噪聲干擾等因素，這一比值嚴(yán)格為實(shí)數(shù)的概率很小，僅需要其虛部足夠小即可，設(shè)

(15)

(16)

其中ξ為設(shè)定的較小的判決閾值，則單源點(diǎn)則可以根據(jù)M2與相應(yīng)觀測(cè)信號(hào)的時(shí)頻表示點(diǎn)乘來獲得。

(17)

完成能量極小點(diǎn)剔除和單源點(diǎn)檢測(cè)可以在時(shí)頻平面內(nèi)去除影響聚類精度的大量無用樣本數(shù)據(jù)，使得觀測(cè)信號(hào)的線性聚類特征更為明顯。

對(duì)完成預(yù)處理后的觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行K-Means聚類，得到估計(jì)混合矩陣，并利用矩陣求逆獲得分離矩陣，以觀測(cè)信號(hào)和分離矩陣相乘獲得源信號(hào)的估計(jì)。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真中利用正弦信號(hào)與方波信號(hào)和一路高斯噪聲信號(hào)模擬源信號(hào)，其中采樣頻率為1024 Hz，正弦信號(hào)和方波信號(hào)的中心頻率分別為15 Hz和5 Hz，混合矩陣為

(18)

觀測(cè)信號(hào)的波形如圖3。

a)觀測(cè)信號(hào)1

b)觀測(cè)信號(hào)2

c)觀測(cè)信號(hào)3

以第一路觀測(cè)信號(hào)模擬單通道混合信號(hào)，并對(duì)其進(jìn)行SVD分解，在SVD分解結(jié)果中利用均值準(zhǔn)則去除噪聲分量，并保留前兩個(gè)奇異值分別重構(gòu)分解分量作為新的觀測(cè)信號(hào)。SVD分解得到的奇異值如圖4，采用均值準(zhǔn)則進(jìn)行降噪處理則只保留前兩個(gè)奇異值，分別以前兩個(gè)奇異值進(jìn)行分量重構(gòu)，對(duì)兩個(gè)分量進(jìn)行STFT變換，并進(jìn)行能量極小值剔除和單源點(diǎn)檢測(cè)后繪制的散點(diǎn)圖如圖5，由圖5可確定源的數(shù)目為2。進(jìn)行K-Means均值聚類估計(jì)混合矩陣，并以混合矩陣的逆求得分

離矩陣，利用SVD重構(gòu)的兩個(gè)分量乘以分離矩陣得到源信號(hào)的估計(jì)結(jié)果如圖6。從圖6中可以看出，方波信號(hào)和正弦信號(hào)得到了有效分離。

圖4 SVD分解奇異值 圖5 預(yù)處理后散點(diǎn)圖

a)分離信號(hào)1

b)分離信號(hào)2

3 結(jié) 語(yǔ)

文中提出了一種基于SVD分解和K-Means聚類的單通道盲源分離算法，將SVD降噪與K-Means聚類估計(jì)混合矩陣進(jìn)行了結(jié)合，在利用SVD降噪的同時(shí)，分別以保留的不同奇異值構(gòu)建分量作為觀測(cè)信號(hào)，實(shí)現(xiàn)了觀測(cè)信號(hào)的維度擴(kuò)展。利用STFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏化處理，在時(shí)頻域中通過能量極小值剔除和單源點(diǎn)檢測(cè)后的觀測(cè)分量散點(diǎn)圖估計(jì)源信號(hào)數(shù)目。利用K-Means均值聚類在觀測(cè)信號(hào)時(shí)頻域基礎(chǔ)上獲得混合矩陣的估計(jì)，得到源信號(hào)的恢復(fù)。算法在對(duì)工程上具有噪聲干擾條件下的單通道信號(hào)處理中具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。