含對(duì)數(shù)的積分之求解方法研究

李慶娟

(大連財(cái)經(jīng)學(xué)院 管理學(xué)院，遼寧 大連 116622)

在一元微積分中,含對(duì)數(shù)的積分是一類常見的積分求解問(wèn)題,有些題目甚至較難,求解方法往往具有較強(qiáng)的靈活性和技巧性,一般地,我們要根據(jù)題目中被積函數(shù)的特點(diǎn)采用不同的求解方法和技巧,典型的計(jì)算方法可總結(jié)為換元法、分部積分法、累次積分法、特定結(jié)論法。

1 換元法

1.1 湊微分換元法

湊微分法是計(jì)算積分的主要方法之一,又稱第一類換元法,主要是根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行相應(yīng)的湊微分,進(jìn)而換元求解,如果熟練的話,可省略中間的換元過(guò)程直接求出積分。

解 先觀察被積函數(shù)特點(diǎn),注意到分子lnx+1=(xlnx)′,將整個(gè)分子湊微分再求解,

解 此題不具備直接可湊微分的項(xiàng),但可以利用添項(xiàng)法,將分子分母同乘以lnx,這時(shí)會(huì)有(xln2x)′=ln2x+2lnx,故將分子湊微分即可

=ln|xln2x|-ln|1+xln2x|+C。

1.2 第二類換元法

第二類換元法與湊微分換元法思路不同,前者是直接采用變?cè)M(jìn)行換元,后者是先湊分再進(jìn)行換元,第二類換元法中常用的換元方法主要有直接代換法、根式代換法、倒代換法、三角代換法等,它是求解積分非常重要的方法。

1.2.1 直接換元法

解 令t=lnx,則x=et,dx=etdt

即將不定積分分成兩個(gè)積分,選擇第一項(xiàng)用分部積分法求解

1.2.2 根式代換法

=2tln(1+t2)-4t+4arctant+C

1.2.3 三角代換法

解 令x=tant,則dx=sec2tdt,

=-costln(tant)+ln|csct-cott|+C

1.2.4 倒代換法

1.2.5 靈活代換法

對(duì)于含有對(duì)數(shù)和三角函數(shù)的定積分求解時(shí),可根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)間所給形式靈活采用相應(yīng)的代換形式。

2 分部積分法

解 根據(jù)選擇標(biāo)準(zhǔn)選冪函數(shù)湊進(jìn)去作為v

=xsin(lnx)-xcos(lnx)-I

3 累次積分法

所謂累次積分法就是根據(jù)所求的定積分的形式先將其先轉(zhuǎn)化為一個(gè)二重積分,再通過(guò)改變積分次序求解對(duì)應(yīng)的累次積分。

4 特定結(jié)論法

5 結(jié)束語(yǔ)

綜上,我們通過(guò)實(shí)例分析給出了含對(duì)數(shù)積分的幾種重要求解方法,一般地,被積函數(shù)形式不同采用的方法就有所不同,在學(xué)習(xí)積分的過(guò)程中,我們要善于思考、研究、總結(jié)和歸納,這樣再遇到此類積分時(shí),思路將更開闊,問(wèn)題會(huì)輕松解決。