一類不確定廣義系統(tǒng)故障估計的有限時間魯棒觀測器設計

梁天添，劉 鑫，鄭 祥，李科信，王 茂

（1. 大連交通大學 自動化與電氣工程學院，大連 116028； 2. 哈爾濱工業(yè)大學 空間控制與慣性技術研究中心，哈爾濱 150001）

廣義系統(tǒng)，又稱奇異系統(tǒng)，因其不僅具有微分方程所描述的動態(tài)特性，而且具有代數(shù)方程所描述的靜態(tài)特性，故受到學者廣泛關注。其中，其故障診斷問題[1-3]是當前的研究熱點之一。在廣義系統(tǒng)的故障診斷領域內(nèi)，故障估計不僅能夠有效辨識故障的特性、大小，而且能夠為容錯控制提供基礎[4]，因此，針對廣義系統(tǒng)故障估計的研究尤為重要。當系統(tǒng)中存在不確定性、未知擾動等未知因素時，如何設計適當?shù)臍埐钌善?，以降低這些因素對故障估計精度的影響，尤其值得關注。

目前，針對不確定廣義系統(tǒng)故障估計的研究，較為常見的方法是設計故障估計濾波器/觀測器。在故障估計濾波器的設計領域，基于前期研究[5]，作者已針對具有狀態(tài)不確定性的非線性不確定廣義系統(tǒng)，提出了強跟蹤故障估計濾波算法；但引入的強跟蹤漸消因子具有次優(yōu)特性，在解決系統(tǒng)不確定性問題上具有一定的保守性。在故障估計觀測器的設計領域，文獻[6]針對具有未知輸入的不確定廣義切換系統(tǒng)設計了降階觀測器；文獻[7]基于不確定廣義系統(tǒng)模型，針對具有系統(tǒng)故障的高速列車牽引系統(tǒng)三相逆變器的故障估計問題，設計了自適應觀測器，但是在求解過程中引入了未知變量，導致觀測器限制矩陣存在非凸問題；文獻[8]針對不確定線性時不變廣義系統(tǒng)，利用狀態(tài)變量參數(shù)化的方法設計了故障估計觀測器。

上述文獻針對廣義系統(tǒng)故障估計問題的研究，均只考慮了系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性，而對于如飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)[9,10]、電力系統(tǒng)暫態(tài)分析[11]等實際控制系統(tǒng)，需更多關注特定時間內(nèi)系統(tǒng)的行為。此外，對于短時間內(nèi)發(fā)生的微小故障，需要在特定時間范圍內(nèi)進行估計，以保證實際系統(tǒng)安全地運行。因此，在有限時間范圍內(nèi)研究廣義系統(tǒng)的故障估計問題，更具現(xiàn)實意義。目前針對狀態(tài)空間系統(tǒng)有限時間故障估計問題的研究，已經(jīng)取得了一定的進展[12-14]，但在廣義系統(tǒng)領域仍然有限。盡管已經(jīng)有一些學者針對廣義系統(tǒng)的有限時間故障估計問題，提出了觀測器的設計方法[15-17]，但這些觀測器結構均是奇異的，具有計算量大、實現(xiàn)困難等不足。

針對上述文獻中存在的不足，基于前期研究[18]，本文基于一類滿足Lipschitz 條件的不確定非線性廣義系統(tǒng)，即衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)(Attitude Control Systems, ACSs)，提出了一種故障估計觀測器設計方案。該觀測器的優(yōu)點如下：首先，考慮了系統(tǒng)不確定性對于系統(tǒng)建模的影響，拓展了廣義系統(tǒng)有限時間故障估計理論；其次，設計的觀測器具有非奇異結構，結構簡單、便于計算及實現(xiàn)。最后，設計的觀測器不僅保證增廣誤差系統(tǒng)動態(tài)方程滿足有限時間有界(Finite Time Boundness, FTB)條件，而且保證故障估計誤差對于擾動滿足有限時間魯棒H∞條件。

本文內(nèi)容安排如下：首先，針對不確定廣義系統(tǒng)故障模型，視故障為部分系統(tǒng)狀態(tài)變量，不確定性為系統(tǒng)的增廣擾動，建立增廣系統(tǒng)模型。其次，設計有限時間故障估計觀測器，該觀測器具有非奇異結構；進而，建立增廣誤差系統(tǒng)模型。然后，分析誤差系統(tǒng)的FTB 性能，討論故障估計誤差對于擾動的魯棒性。再次，給出觀測器增益限制矩陣存在的充分條件及該限制矩陣的線性矩陣不等式（Linear Matrix Inequality, LMI）形式。最后，給出一個衛(wèi)星ACSs 模型，考慮系統(tǒng)執(zhí)行器發(fā)生緩變故障（飛輪漂移故障），傳感器（陀螺）發(fā)生突變故障，利用設計的有限時間魯棒觀測器（Finite Time Robust Observer, FTRO）仿真，并與以往文獻中基于漸進穩(wěn)定的故障估計方法進行對比分析，以驗證所提出方法的有效性。

1 增廣系統(tǒng)建模

考慮如式(1)所示的不確定廣義系統(tǒng)：

其中， x ( t )∈Rn為狀態(tài)向量， u ( t )∈RP為系統(tǒng)輸入，fx(t)∈Rq為系統(tǒng)故障，w (t )∈Rw表示外部擾動，Φ ( x)為系統(tǒng)的非線性項， y ( t )∈Rm為系統(tǒng)輸出，ΔA、ΔB分別為系統(tǒng)的不確定性，A、B、C、D 和Fx為具有適當維數(shù)的已知系數(shù)矩陣。

為保證廣義系統(tǒng)(1)的可觀性，提出如下假設： 假設1 系統(tǒng)(1)滿足如下條件：

假設2 不確定性ΔA，ΔB 滿足：

其中，Mi，Ni均為具有適當維數(shù)的已知系數(shù)矩陣，未知矩陣Fi(t)滿足( t ) Fi( t) ≤I, i=1,2。

假設3廣義系統(tǒng)(1)中的非線性項 Φ ( x)滿足Lipschitz條件，即存在κ ＞ 0，使得式(6)成立：

注釋1本文中，增廣廣義系統(tǒng)(7)中的狀態(tài)變量控制輸入 u (t)，干擾w(t)以及執(zhí)行器故障的導數(shù)滿足：為給定的正標量，T 為有限時間窗的終止時刻。

2 故障觀測器設計

針對廣義系統(tǒng)(7)，設計如式(8)所示的FTRO：

其中，ζ (t)∈Rn+q表示觀測器的中間變量，表示狀態(tài)估計向量，G、N 和L 為待設計的系數(shù)矩陣。

首先給出與推導及證明相關的定義及引理。 定義1[19]給定標量 c1＞ 0，T ＞ 0，矩陣R ＞ 0，系統(tǒng)(10)關于(c1，c2，T，R，d)是FTB 的，如果：

其中，t∈[0, T]為有限時間窗，T 為有限時間窗的終止 時刻，w(t)滿足：為一個正實數(shù)。

引理1[20]若式(2)和(3)成立，則存在一個非奇異矩陣G和矩陣N 滿足：

引理2[20]對于滿足引理1 的非奇異矩陣G 和矩陣N，其通解為：

其中，Y 為任意矩陣，代表設計自由度，?表示偽逆。

引理3[14]給定正標量ε，矢量x 和y，對于適當維數(shù)的任意實矩陣B1、C1和D1，若有則有：

本文的設計目標為：設計FTRO，使得增廣誤差系統(tǒng)(9)滿足如下條件：

1） e(t )關于( c1, c2, T , R , xa, ua, d , fa)是FTB 的；

2）故障估計誤差 ex( t )對于外部干擾、執(zhí)行器故障導數(shù)及系統(tǒng)不確定性具有魯棒性，即：

定理1 用于保證條件1）成立。

定理1給定標量κ ＞ 0，c1＞ 0，γa＞ 0，γu＞ 0，γw＞ 0，γx＞ 0，α＞ 0，若存在正定對稱矩陣P∈R(n+q)×(n+q)，矩陣W∈R(n+q)×n，使得：

其中，Q=R-1/2PR-1/2，則增廣誤差系統(tǒng)(9)中 e(t )關于( c1, c2, T , R , xa, ua, d , fa)是FTB 的。

證明：選取如下形式的Lyapunov 函數(shù)：

由式(9)中第一個等式及式(19)可得：

其中，He{* }= {* }+ {* }T。

由引理3 可知，式(20)中不確定性及非線性項滿足：

又ΔΦ 滿足Lipschitz 性質，即：

由不等式(21)-(24)可知：

其中：

令W =PL，根據(jù)舒爾補引理，由式(16)可知：

通過計算可得：

對式(29)從0 到T 積分，則有：

注意到：0＜e-αt＜ 1，則式(30)滿足如下關系：

λmax( Q)和 λmin( Q)分別表示矩陣Q 的最大和最小特征值，將式(31)-(33)代入式(30)可得：

由式(18)可知：

式(35)符合定義1，定理1 證畢。

為進一步分析增廣誤差系統(tǒng)(9)的有限時間魯棒H∞性能，給出定理2 中相關內(nèi)容。

定理2對于增廣誤差系統(tǒng)(9)，給定標量γa＞ 0，γu＞ 0，γw＞ 0，γx＞ 0，α ＞ 0，若存在正定對稱矩陣P∈R(n+q)×(n+q)，矩陣W∈R(n+q)×n，使得：

證明：定義如式(37)所示的指標函數(shù)：

易知當Ξ＜ 0時，有J ＜ 0。

進一步，由舒爾補引理可知，式(37)與式(36)具有等價關系。注意到：

則當Ξ＜ 0時，式(27)成立。由定理1 中推導可知，若式(36)(17)及(18)成立，則條件1）得到滿足。

對式(37)從0 到T 積分，通過計算可得：

注意到 V ( t ) ＞ 0，則有：

即，若式(36)(17)及(18)成立，則條件2）得到滿足。

經(jīng)上述推導可知，若有式(36)(17)及(18)成立，則條件1）和2）同時得到滿足，定理2 證畢。

結合上述內(nèi)容，給出如算法1 所示的不確定廣義系統(tǒng)執(zhí)行器故障估計FTRO 設計流程。

算法1FTRO 設計流程。

步驟1：選擇式(13)中的自由度Y，得到G 和N 值。

步驟2：給定c1，c2，T，R，xa， ua，d 和 fa。

步驟3：解下列約束問題：

步驟4：求解觀測器增益矩陣L =P-1W。

步驟5：得到故障估計值：

3 仿真算例

本節(jié)給出一個如式(41)所示的衛(wèi)星ACSs 模型：

其中，ωx，ωy和ωz分別表示偏航軸、俯仰軸和滾轉軸的轉動角速度，Ux、Uy和Uz分別表示不同軸的控制力矩，Tdx、Tdy和Tdz分別表示空間環(huán)境干擾力矩，Ix、Iy和Iz分別表示轉動慣量，取值如表1 所示。

表1 轉動慣量參數(shù)Tab.1 Parameters of moment of inertia

假設模型中同時存在執(zhí)行器故障(飛輪斜坡漂移)fx( t)(N · m)和傳感器(陀螺)突變故障 fy( t ) (rad/s)，其 分布矩陣分別為Fdx=［10 0］T，F(xiàn)dy=［ 01 0］T。

注釋2本節(jié)中，首先將傳感器故障視為系統(tǒng)狀態(tài)變量，建立廣義系統(tǒng)模型。進而，將執(zhí)行器故障視為增廣狀態(tài)變量，建立符合式(7)的增廣廣義系統(tǒng)模型?；谠摻７椒?，設計的觀測器不僅可以基于廣義模型(1)估計出系統(tǒng)的執(zhí)行器故障，還能同時估計出系統(tǒng)的傳感器故障。

給定κ=0.1，根據(jù)定理2，經(jīng)仿真計算可知，c2值隨著α 的增大而增大，而 γa、 γu、 γw和 γx的值隨著α 值的增大而減小，且在α＞ 4后 γa、γu、γw和 γx的值趨于定值。因此，折衷考慮觀測器的估計精度和系統(tǒng)魯棒性，給定 α =3.6，此時得到 γa、γu、γw和 γx的最小值為γa=0.12，γu=0.016，γw=0.13，γx=0.2。由定理2 計算得到的觀測器系數(shù)矩陣L 為：

為驗證設計方案的有效性，利用本文設計的FTRO 與文獻[20]中指數(shù)穩(wěn)定觀測器(Exponential Stability Observer，ESO)進行對比仿真。當系統(tǒng)發(fā)生故障時，狀態(tài)變量及故障估計結果如圖1及圖2所示。狀態(tài)估計及故障估計均方根誤差（Root Mean Square Error, RMSE）如表2 及表3 所示。

圖1 發(fā)生故障時狀態(tài)變量及其估計結果Fig.1 State variables and their estimations when faults occur

圖2 故障及其估計結果Fig.2 Faults and their estimation results

表2 狀態(tài)變量估計誤差（RMSE）Tab.2 RMSE of state variables estimation

由圖1 及圖2 可知，當系統(tǒng)存在不確定性及未知擾動時，本文設計的FTRO 相較于ESO，不僅能夠更好地估計出故障的真實值，而且能夠更精確地估計出發(fā)生故障時的系統(tǒng)狀態(tài)值，表2 及表3 進一步驗證了其精確性。從表中可知，相較于ESO，F(xiàn)TRO 對于狀態(tài)變量的估計誤差RMSE 分別降低了80.6%、25.3%和 47.5%；對于傳感器和執(zhí)行器故障的估計誤差RMSE 分別降低了53.4%和75.5%。仿真結果表明，基于廣義系統(tǒng)模型，利用提出的FTRO，不僅可以有效估計衛(wèi)星ACSs 發(fā)生的執(zhí)行器故障及傳感器并發(fā)故障，而且能有效地估計出耦合于故障的系統(tǒng)狀態(tài)值。即，基于廣義系統(tǒng)模型，在存在不確定性及未知擾動的情況下，設計的FTRO 仍能在有限時間內(nèi)實現(xiàn)有效的并發(fā)故障估計。仿真驗證了設計方案的有效性。

表3 故障估計誤差（RMSE）Tab.3 RMSE of faults estimation

盡管如此，本文研究方法仍有進一步改進空間，如真實衛(wèi)星ACSs 中通常存在一定的狀態(tài)時滯，該時滯環(huán)節(jié)對故障估計的實時性及準確性均有不可忽視的影響。眾所周知，自適應算法可以實現(xiàn)快速的狀態(tài)/故障估計。因此，基于不確定時變時滯廣義系統(tǒng)模型，研究衛(wèi)星ACSs 的自適應有限時間魯棒故障估計方法，以便在有限時間內(nèi)快速準確估計系統(tǒng)故障，具有理論和現(xiàn)實意義。

4 結 論

本文針對一類不確定非線性廣義系統(tǒng)的故障估計問題，提出了一種FTRO 設計方案。建立了增廣誤差動態(tài)系統(tǒng)，設計了非奇異結構的故障估計觀測器，給出了滿足FTB 條件及有限時間魯棒H∞條件觀測器增益限制矩陣的LMI 形式，并利用對比仿真驗證了設計方案的有效性。仿真結果表明，基于不確定廣義系統(tǒng)模型，針對衛(wèi)星ACSs 的并發(fā)執(zhí)行器、傳感器故障及耦合于故障的系統(tǒng)狀態(tài)變量，設計的FTRO 均能在有限時間內(nèi)精確估計其真實值。本文的研究方案可為后續(xù)不確定時變時滯廣義系統(tǒng)的自適應有限時間故障估計提供理論基礎。