復(fù)雜曲線輪廓度全域評定方法研究

陳宇航，鄒春龍，王生懷，王金剛，張偉

（1.湖北汽車工業(yè)學(xué)院，湖北 十堰442002；2.東風(fēng)活塞軸瓦有限公司，湖北 十堰442002）

在先進(jìn)精密制造領(lǐng)域中，能否對零件三維型線和復(fù)雜空間曲面進(jìn)行高效率、高精度的檢測和誤差評定是影響產(chǎn)品質(zhì)量和壽命［1-2］的因素。針對曲線輪廓度的評定，學(xué)者側(cè)重于平面曲線領(lǐng)域的研究。文獻(xiàn)［3］基于最小條件法，采用模擬實(shí)際量具測量過程的方法來評定平面線輪廓度誤差；文獻(xiàn)［4］采用最小二乘法，結(jié)合樣條插值函數(shù)與優(yōu)化技術(shù)來處理數(shù)據(jù)，從而實(shí)現(xiàn)空間平面曲線輪廓度誤差的評定；文獻(xiàn)［5］采用了特定的一維搜索法，實(shí)現(xiàn)自由曲線輪廓度誤差評定中的坐標(biāo)系自適應(yīng)調(diào)整；文獻(xiàn)［6］提出用逐次逼近思想來評定平面自由曲線的輪廓度誤差的方法。文獻(xiàn)［7］提出的正交最小二乘法將曲線輪廓度誤差的最小二乘評定從基于代數(shù)距離轉(zhuǎn)變?yōu)榛诜ㄏ蚓嚯x，提高了誤差評定的準(zhǔn)確性；文獻(xiàn)［8］采用非均勻有理B樣條（NURBS）插值與遺傳算法相結(jié)合的方法來評定復(fù)雜平面曲線輪廓度。曲線輪廓度誤差評定的核心是確定測量點(diǎn)到理想曲線的最短距離，如何快速準(zhǔn)確的求解測量點(diǎn)到理想曲線的最短距離成為研究重點(diǎn)。文獻(xiàn)［9］提出了計(jì)算點(diǎn)到空間參數(shù)曲線最小距離的3種算法。文獻(xiàn)［10］提出用非均勻有理B樣條表示自由曲線，應(yīng)用改進(jìn)遺傳算法重建自由曲線，基于擬隨機(jī)Halton序列產(chǎn)生均勻數(shù)據(jù)參數(shù)值計(jì)算點(diǎn)到重建自由曲線最短距離。針對復(fù)雜曲線輪廓度誤差的評定，在空間曲線函數(shù)關(guān)系式無法表達(dá)的情況下，學(xué)者一般根據(jù)實(shí)測離散點(diǎn)擬合曲線函數(shù)，測量實(shí)測點(diǎn)到擬合曲線函數(shù)的距離來評定線輪廓度。

由于復(fù)雜空間三維曲線的特殊性，曲線的輪廓難以用函數(shù)關(guān)系式表征。文中針對復(fù)雜三維空間曲線輪廓度評定，提出一種構(gòu)建包絡(luò)圓方程來評定復(fù)雜全域線輪廓度的方法。首先針對于三維空間曲線輪廓的復(fù)雜性，提取理論輪廓曲線與實(shí)際輪廓曲線，根據(jù)被測輪廓線的特點(diǎn)，分別將理論輪廓曲線與實(shí)際輪廓曲線轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)，并以理論輪廓點(diǎn)坐標(biāo)建立包絡(luò)區(qū)域函數(shù)，最后通過包絡(luò)組圓函數(shù)來確定線輪廓誤差。

1 三維輪廓評定復(fù)雜度

線輪廓度公差帶是指包絡(luò)一系列直徑為公差值d的圓的兩包絡(luò)線之間的區(qū)域。諸圓的圓心位于具有理論正確幾何形狀線上，圖1為線輪廓度公差定義示意圖。

圖1 線輪廓度公差定義示意圖

國標(biāo)定義輪廓度曲線是在二維平面內(nèi)進(jìn)行評定的，未給出三維曲線輪廓度的評定方法?？臻g中三維曲線由空間點(diǎn)的位置決定，受x、y、z方向的影響，難以直接評定。根據(jù)被檢測零件的形狀與功能，分析影響空間曲線輪廓度誤差影響最大的方向，最終確定線輪廓度。圖2為被檢測零件模型及型線提取示意圖。線輪廓度誤差分為x、y、z軸3個方向，根據(jù)零件特性，分析得出y軸是影響線輪廓度的主要方向。

圖2 零件模型及被測型線提取示意圖

2 三維輪廓采樣與維度處理

2.1 三維輪廓提取

被檢測零件內(nèi)部的曲面光滑且連續(xù)。為準(zhǔn)確描述曲線輪廓，按照型線位置選取圓柱函數(shù)：

圖3為圓柱函數(shù)示意圖，獲取被測輪廓型線。空間點(diǎn)由直角坐標(biāo)系到柱坐標(biāo)變換如下：

圖3 圓柱函數(shù)示意圖

式中：ρ為截面圓柱的半徑；θ為oP1與z軸的夾角，oP1為曲線輪廓線上點(diǎn)P在xz平面的投影P1與o點(diǎn)的連線。當(dāng)ρ取某定值時(shí)，被測空間輪廓線函數(shù)：

式中：u為型線上的點(diǎn)在z軸方向的分量；v為型線上的點(diǎn)在x軸方向的分量；w為型線上的點(diǎn)在y軸方向的分量。

2.2 維度處理

空間曲線在2π范圍內(nèi)，經(jīng)過坐標(biāo)變換將空間點(diǎn)（u,v,w）轉(zhuǎn)換為二維曲線：

式中：θ∈(-π,π)。將二維曲線的x坐標(biāo)進(jìn)行n等分，得到點(diǎn)云數(shù)據(jù)，用矩陣Π表示：

式中：pi為型線上第i個離散點(diǎn)序號值，i∈［1,n］；yi為型線上第i個離散點(diǎn)的在y軸上的分量。

3 誤差評定方法

3.1 采樣點(diǎn)的歸一處理

受檢測環(huán)節(jié)限制和噪聲點(diǎn)混雜，采樣數(shù)據(jù)的坐標(biāo)與理論輪廓上對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)不完全匹配，造成評估過程中采樣數(shù)據(jù)位錯?？臻g采樣數(shù)據(jù)與理論輪廓點(diǎn)，經(jīng)過維度處理后，進(jìn)行歸一化處理，即保證評估點(diǎn)與檢測點(diǎn)之間相互對應(yīng)。空間實(shí)測點(diǎn)與理論輪廓的配對，按照維度處理原則，實(shí)測點(diǎn)矩陣Γ為

歸一化系數(shù)為

將ki并入Γ，獲得歸一化矩陣：

實(shí)測點(diǎn)云與理論點(diǎn)云配對，最小值偏離系數(shù)s的求解方法為

式中：t，j為正整數(shù)；d為被檢輪廓度公差值；當(dāng)s≤d/10，實(shí)際輪廓與理論輪廓完成坐標(biāo)點(diǎn)的配對，根據(jù)式（9）可以確定搜索次數(shù)n。

3.2 全域評定方法

根據(jù)線輪廓度公差定義，被測點(diǎn)相對于理論點(diǎn)的位置定義成測量點(diǎn)相對于誤差圓的相對位置。圖4為測量點(diǎn)在包絡(luò)組圓的分布情況，測量點(diǎn)在以理論點(diǎn)為圓心的4個象限內(nèi)。圖4a為點(diǎn)在圓內(nèi)分布均勻，圖4b在圓內(nèi)向圓心聚攏，圖4c為測量點(diǎn)聚攏于理論點(diǎn)圓心位置，圖4d為被測點(diǎn)未被包絡(luò)。

圖4 測量點(diǎn)分布圖

被檢測零件型線輪廓屬于空間三維曲線，為了準(zhǔn)確評定該零件的線輪廓度，以已知理論輪廓點(diǎn)位置建立檢測包絡(luò)檢測區(qū)域函數(shù)，通過包絡(luò)組圓函數(shù)來評定全域內(nèi)測量點(diǎn)相對于理論輪廓的位置關(guān)系，從而確定線輪廓度誤差。線輪廓度全域評定原理如圖5所示。

圖5 被測輪廓度誤差評定原理圖

式中：α、β為分別誤差圓x、y方向上的自變量；λi為包絡(luò)圓的半徑；φi為型線上第i個理論輪廓點(diǎn)展開后的X軸方向的分量；ξ為尺寸系數(shù)比。

全域內(nèi)評估輪廓度值時(shí)，曲線形狀與誤差尺度量級不同，x偏小，不便于分辨和評估。對矩陣Γ、Π進(jìn)行偏離處理，消除長度參數(shù)的尺度。在輪廓曲線維度處理后測量點(diǎn)用矩陣Μ表示：

偏離值集合矩陣N2表示為

偏離值平方和用矩陣H表示為

式中：σr為三維曲線的線輪廓度；Nn1為矩陣N中的元素；hn1為矩陣H中的元素。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

被測零件為某雙離合變速器（DCT）換擋轂，選取直徑為107.8 mm的圓柱作為截圓，獲取理論輪廓和實(shí)測輪廓采樣點(diǎn)，經(jīng)緯度和離散化處理，得到其二維輪廓點(diǎn)云圖。經(jīng)式（9）歸一化處理完成輪廓理論點(diǎn)與實(shí)測點(diǎn)的配對，如圖6所示，型線展開后的配對情況如圖7所示。

圖6 輪廓采樣點(diǎn)提取圖

圖7 輪廓理論點(diǎn)與實(shí)測點(diǎn)配對圖

根據(jù)式（10）確定全域范圍內(nèi)包絡(luò)組圓及評定方法，如圖8所示。圖9參照圖4中點(diǎn)的分布情況，以點(diǎn)云中λ1最大值為半徑和對應(yīng)理論點(diǎn)為圓心，繪制被測輪廓全域評定誤差圖。在全域內(nèi)隨機(jī)選取局部位置點(diǎn)放大，可觀察到測量離散點(diǎn)均包絡(luò)于組圓內(nèi)。獲取理論點(diǎn)與實(shí)測點(diǎn)在敏感方向的差值，見圖9，進(jìn)一步顯示被測零件輪廓的偏差實(shí)際情況。

圖8 輪廓線區(qū)域離散點(diǎn)評定誤差圖

圖9 輪廓全域殘差圖

為了更直觀地顯示全域內(nèi)各個點(diǎn)的偏差，根據(jù)式（11）消去輪廓曲線長度元，對全域內(nèi)檢測點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記，方便檢測結(jié)果可溯源到曲線的對應(yīng)位置，如圖10所示。利用式（14）搜尋到可包絡(luò)全部采樣點(diǎn)的圓，σr為0.350。溯源到全域內(nèi)最大誤差位置點(diǎn)為60，如圖10b所示。

圖10 輪廓度全域誤差溯源圖

包絡(luò)圓內(nèi)顯示全域內(nèi)點(diǎn)相對于理論點(diǎn)的位置和偏離的趨勢，即輪廓度誤差，通過點(diǎn)的標(biāo)記號連續(xù)分布于包絡(luò)圓，所對應(yīng)的曲線相關(guān)區(qū)域測量點(diǎn)偏離理論輪廓幅度大。

5 結(jié)論

文中提出了三維曲線輪廓度全域評定方法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示誤差值為0.375 mm，符合誤差范圍要求，且檢測結(jié)果可溯源到曲線的對應(yīng)位置，同時(shí)構(gòu)建組圓包絡(luò)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)輪廓度全域評定，該方法具有全局性，符合輪廓度定義。