基于形態(tài)學(xué)探針重建算法的光柵常數(shù)評(píng)定

舒瀚，王生懷，陳建瑜，鄒春龍

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院 精密測(cè)量技術(shù)研究所，湖北 十堰442002）

原子力顯微鏡（atomic force microscopy，AFM）根據(jù)原子之間的相互作用力對(duì)樣品進(jìn)行成像，憑借納米級(jí)的分辨率和寬松的使用環(huán)境，廣泛應(yīng)用于多種領(lǐng)域［1］。在測(cè)量過程中，由于AFM探針針尖不可能無限尖銳，導(dǎo)致得到的表面形貌圖實(shí)際為探針針尖與表面形貌卷積的結(jié)果［2］。AFM圖像會(huì)因?yàn)樘结樀挠绊懏a(chǎn)生畸變［3］，而且畸變程度會(huì)隨著探針半徑與樣品寬度的比例增大而增大，對(duì)評(píng)定光柵常數(shù)造成很大的影響。常用的AFM圖像畸變消除方法如下：1）電子顯微鏡成像技術(shù)，比如掃描電子顯微鏡（scanning electron microscope，SEM）和透射電子顯微鏡（transmission electron microscope，TEM）等［4］；2）利用探針盲重建算法進(jìn)行重建探針形貌［5］；3）研制比探針針尖更小的納米結(jié)構(gòu)的探針校準(zhǔn)器進(jìn)行探針信息提?。?］。3種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，使用SEM或者TEM可以對(duì)探針進(jìn)行高分辨率的表征，通過獲得探針尺寸來消除畸變，但只能得到探針的輪廓信息，而且測(cè)量過程會(huì)損傷探針，給評(píng)定帶入新的失真；同時(shí)探針的拆卸也較為困難。探針盲重建算法通過對(duì)AFM掃描圖像邊緣信息提取出探針形貌信息，再通過探針形貌信息重建出探針尺寸來消除畸變。該方法不會(huì)對(duì)探針造成損傷，容易實(shí)現(xiàn)，然而因?yàn)闆]有進(jìn)行標(biāo)定，無法準(zhǔn)確判斷重建后的探針形貌是否為真實(shí)探針形貌，容易受到模型準(zhǔn)確性和噪聲影響［7］。通過研制探針校準(zhǔn)器可以準(zhǔn)確獲得探針針尖圓弧半徑和探針錐角信息，并且整個(gè)表征過程簡(jiǎn)單、數(shù)據(jù)易處理，但該校準(zhǔn)器制造成本較高，研制困難。為了滿足穩(wěn)定并精確評(píng)定光柵常數(shù)的要求，提出一種基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)探針重建算法評(píng)定光柵常數(shù)，在Garcia模型的基礎(chǔ)上采用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)思想和標(biāo)定值校正方法來提高光柵常數(shù)評(píng)定結(jié)果的穩(wěn)定性和精確度。

1 AFM測(cè)量光柵常數(shù)

AFM測(cè)量?jī)x器的原理如圖1所示。在納米尺度測(cè)量范圍內(nèi)，2個(gè)原子之間的作用力形式會(huì)隨著距離的變化而改變，當(dāng)距離較遠(yuǎn)時(shí)吸引力起主要作用，此時(shí)2個(gè)原子處于相互吸引的狀態(tài)。隨著兩原子間距離的減小，吸引力會(huì)逐漸減弱，當(dāng)該距離減小到某個(gè)值時(shí)，原子之間的作用力減小至零，隨著原子之間的距離繼續(xù)減小，2個(gè)原子之間的作用力將表現(xiàn)為排斥力。AFM利用1根對(duì)微小力極敏感的彈性微懸臂來感受探針尖端原子與樣品表面原子間的作用力。系統(tǒng)中微懸臂的一端固定，另一端帶有納米級(jí)針尖，微懸臂受力時(shí)會(huì)發(fā)生偏折，通過檢測(cè)微懸臂的偏折情況可測(cè)量出樣品表面微觀形貌［8］。作為納米尺寸標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的一維納米基準(zhǔn)光柵，常用來對(duì)AFM的掃描圖像進(jìn)行非線性校準(zhǔn)［9］。

圖1 AFM工作原理圖

2 改進(jìn)的Garcia模型

Garcia模型用來表征樣品尺寸大于針尖圓弧半徑［10］，如圖2所示，AFM掃描樣品臺(tái)階時(shí)，探針圓弧在靠近樣品球頂端位置參與相互作用，探針錐角在遠(yuǎn)離臺(tái)階頂部位置時(shí)與臺(tái)階發(fā)生接觸。此時(shí)針尖2個(gè)錐角引起的樣品臺(tái)階展寬W和針尖圓弧半徑RT以及樣品臺(tái)階擬合的球半徑RS存在以下關(guān)系：

圖2 Garcia模型

式中：α和β為探針錐角。當(dāng)探針垂直接觸樣品時(shí)，忽略探針針尖兩側(cè)引入展寬的影響，即α與β相等。則Garcia模型改進(jìn)為

AFM掃描圖像除了受到探針的影響之外，也受到掃描過程中的樣品上的噪聲、來自外界的隨機(jī)噪聲、反饋控制電路中放大器和積分器等引起的噪聲、由光和電的基本性質(zhì)引起的噪聲等影響［11］。但AFM屬于納米級(jí)測(cè)量設(shè)備，制造時(shí)考慮了環(huán)境因素的影響，所以可以把AFM掃描圖像的大部分噪音看作是滿足高斯分布的隨機(jī)噪聲［12］。高斯噪音的概率密度函數(shù)為

式中：z為圖像的灰度值；μ為z的平均值；σ為z的標(biāo)準(zhǔn)差；σ2為z的方差。

3 基于形態(tài)學(xué)探針重建算法

AFM探針不是絕對(duì)的針尖結(jié)構(gòu)，是隨著磨損變化的復(fù)雜圓錐結(jié)構(gòu)。在探針測(cè)量高低不平的樣品形貌時(shí)，探針的錐角邊緣部分會(huì)與樣品表面形貌發(fā)生接觸，導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)誤差。AFM掃描圖像實(shí)際上是針尖輪廓與樣品真實(shí)表面形貌卷積的結(jié)果，如圖3所示。

考慮探針與樣品接觸沒有彈塑性變形和系統(tǒng)響應(yīng)誤差的情況下，用改進(jìn)Garcia模型表示掃描圖像與真實(shí)表面形貌、探針形貌之間存在的關(guān)系：

式中：h為真實(shí)臺(tái)階高度；W1為真實(shí)臺(tái)階寬度；W2為掃描臺(tái)階寬度。采用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)來描述改進(jìn)的Garcia模型，可將探針形貌簡(jiǎn)化為

式中：Ireal為形態(tài)學(xué)結(jié)構(gòu)元；RT為探針圓弧半徑。則W2可用形態(tài)學(xué)的膨脹運(yùn)算表示為

式中：x和y分別為圖像像素點(diǎn)的坐標(biāo)。

利用探針盲重建算法評(píng)定光柵常數(shù)原理如下：通過AFM得到探針形貌Iblind，將Iblind作為形態(tài)學(xué)結(jié)構(gòu)元進(jìn)行形態(tài)學(xué)的腐蝕運(yùn)算，重建樣品形貌來消除探針形貌的影響。腐蝕后圖像的臺(tái)階寬度W3用腐蝕運(yùn)算表示為

采用邊緣檢測(cè)算子來提取掃描圖像中的光柵邊緣信息，由最小二乘法構(gòu)建出對(duì)應(yīng)的線性函數(shù)模型來評(píng)定光柵常數(shù)值：

腐蝕后的掃描圖像如圖4所示。但是該算法完全依賴圖像中樣品和探針卷積結(jié)果來重建探針形貌，圖像中高斯噪音等其他因素會(huì)對(duì)提取探針形貌造成影響，導(dǎo)致得到的探針形貌與真實(shí)探針形貌存在誤差，最后得到W3與W1的差值也有較大誤差。尤其在探針磨損嚴(yán)重的情況下，采用探針盲重建算法評(píng)定光柵常數(shù)的穩(wěn)定性和精確度不足。

圖4 腐蝕算法得到的圖像

為了提高評(píng)定光柵常數(shù)的穩(wěn)定性和精確度，通過控制探針形貌的特征值與真實(shí)探針形貌的特征值誤差，使重建后的Irecon與Ireal相等，再由式（10）得到重建后的W3。該算法根據(jù)已知的標(biāo)定值和相應(yīng)的卷積結(jié)果推導(dǎo)出探針形貌的數(shù)學(xué)模型，通過該數(shù)學(xué)模型提高評(píng)定光柵常數(shù)的精確度。

根據(jù)W1、RT0和α0，構(gòu)建出初始探針形貌I0，利用式（10）得到腐蝕后的初始臺(tái)階寬度W30。對(duì)RT和α進(jìn)行遍歷運(yùn)算，直到ΔW滿足設(shè)定的范圍為止，即可保證得到的Irecon接近Ireal。利用式（10）～（11）得到相應(yīng)的光柵常數(shù)值。設(shè)定第i次腐蝕得到的臺(tái)階寬度W3i與標(biāo)定值W1的差值為ΔW。則其計(jì)算公式為

ΔW=W3i-W1,i=1,2,3,… （12）

為了避免該算法受到掃描圖像中異常值的影響而導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)畸變，在基于形態(tài)學(xué)探針重建算法中采用拉依達(dá)準(zhǔn)則來剔除異常值。將邊緣檢測(cè)得到的邊緣數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計(jì)算出偏差Δd和標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，對(duì)比最大偏差Δdmax和3σ的值，如果Δdmax大于3σ，則將其作為異常值剔除。對(duì)剩下的邊緣數(shù)據(jù)進(jìn)行重新計(jì)算，求出Δd和σ，直到所有Δd都小于相應(yīng)的3σ為止。

4 評(píng)定方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過MATLAB構(gòu)建一維納米基準(zhǔn)光柵模型，見圖5。設(shè)定光柵常數(shù)d為105nm，柵距通常設(shè)為光柵常數(shù)的1/2，光柵矩陣大小為375nm×375nm。

圖5 一維納米基準(zhǔn)光柵

探針針尖圓弧半徑和探針錐角2個(gè)變量對(duì)評(píng)定光柵常數(shù)的影響結(jié)果如圖6所示。探針錐角對(duì)掃描圖像的光柵常數(shù)誤差會(huì)隨著角度的增大而增大，探針針尖圓弧半徑對(duì)掃描圖像的光柵常數(shù)誤差始終為定值。實(shí)驗(yàn)以探針錐角為主要自變量，檢測(cè)探針重建算法評(píng)定光柵常數(shù)的穩(wěn)定性和精確度。

圖6 不同參數(shù)對(duì)評(píng)定光柵常數(shù)的影響

將RT設(shè)置為10nm，采用邊緣檢測(cè)算子進(jìn)行邊緣提取并運(yùn)用最小二乘法擬合得到光柵常數(shù)值。在僅受探針影響無噪音的理想狀態(tài)下，探針盲重建算法與探針重建算法評(píng)定光柵常數(shù)值如圖7a～b所示，隨著α不斷增大，2種方法評(píng)定的d值與d標(biāo)定值的誤差都保持在較小范圍內(nèi)。在有噪音的情況下，采用高斯濾波器對(duì)圖像進(jìn)行濾波，采用MAT?LAB中的randn函數(shù)對(duì)AFM掃描圖像中添加均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為2的高斯噪音。運(yùn)用基于形態(tài)學(xué)探針重建算法和探針盲重建算法評(píng)定光柵常數(shù)，如圖7c～d所示，隨著探針的α不斷增大，探針盲重建算法得到的d值逐漸偏離光柵常數(shù)的標(biāo)定值，而基于形態(tài)學(xué)探針重建算法得到的d值與d標(biāo)定值誤差保持在較小范圍內(nèi)。

圖7 不同算法評(píng)定光柵常數(shù)結(jié)果圖

計(jì)算不同狀態(tài)下2種算法的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和方差，結(jié)果對(duì)比如表1所示。探針盲重建算法得到光柵常數(shù)的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和方差明顯大于基于形態(tài)學(xué)的探針重建算法得到的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和方差，而且探針盲重建算法在有噪音的情況下的標(biāo)準(zhǔn)差和方差值明顯大于其無噪音的情況下的標(biāo)準(zhǔn)差和方差值，而基于形態(tài)學(xué)探針重建算法在有無噪音情況下的標(biāo)準(zhǔn)差和方差值變化較小。實(shí)驗(yàn)表明，基于形態(tài)學(xué)探針重建算法評(píng)定光柵常數(shù)的穩(wěn)定性和精確度優(yōu)于探針盲重建算法。

表1 不同狀態(tài)下探針盲重建算法與探針重建算法誤差對(duì)比 nm

考慮該算法在其他光柵常數(shù)下的有效性，利用該算法對(duì)標(biāo)定的模擬光柵圖像進(jìn)行校正。采用同圖2中有噪音的同等條件，校正后得到的探針形貌如式（8）所示，對(duì)其他光柵常數(shù)的一維基準(zhǔn)光柵進(jìn)行掃描，結(jié)果如圖8所示，可以看出，該算法對(duì)光柵常數(shù)d的評(píng)定結(jié)果較接近于標(biāo)定值。

圖8 光柵常數(shù)測(cè)量值與標(biāo)定值對(duì)比圖

該算法在不同光柵常數(shù)下評(píng)定的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和方差值如表2所示。結(jié)果顯示，與表1中探針盲重建算法結(jié)果相比，該算法在不同的光柵常數(shù)下仍能提高光柵常數(shù)評(píng)定的穩(wěn)定性和精確度。

表2 不同光柵常數(shù)下重建算法誤差對(duì)比nm

5 結(jié)論

文中在Garcia模型基礎(chǔ)上改進(jìn)、簡(jiǎn)化探針的數(shù)學(xué)模型，分析模型中的影響因素，發(fā)現(xiàn)探針錐角是對(duì)光柵常數(shù)測(cè)量結(jié)果影響最大的因素。在此基礎(chǔ)上，提出基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)探針重建算法評(píng)定光柵常數(shù)。通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，在有無噪音的情況下和不同的探針錐角下，該算法評(píng)定光柵常數(shù)的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和方差值較探針盲重建算法更小，能夠提高光柵常數(shù)評(píng)定的穩(wěn)定性和精確度。