論角動量的態(tài)空間

閆二斌

(西咸新區(qū)涇河新城第一中學(xué)，陜西 西安 713700)

微觀客體的角動量有兩種，即軌道角動量和自旋角動量.軌道角動量即為核外電子相對于原子核的運動所產(chǎn)生的角動量，而自旋角動量則被認(rèn)為是電子等基本粒子的內(nèi)稟屬性.不過不論是哪種角動量，其數(shù)學(xué)形式是一致的，即其二者所滿足的對易關(guān)系和本征方程是相同的.區(qū)別僅在于軌道角動量的量子數(shù)l僅可取整數(shù)，而自旋角動量的量子數(shù)s可取整數(shù)和半整數(shù).關(guān)于角動量的完備理論在眾多教材中都可找到詳盡的描述[1-7]，但是關(guān)于不同角動量量子數(shù)下角動量態(tài)空間的結(jié)構(gòu)，卻未能找到相關(guān)的文獻(xiàn)，所以接下來分別以角動量量子數(shù)取0.5和1為例，對角動量態(tài)空間的結(jié)構(gòu)、態(tài)疊加原理以及量子態(tài)的制備做一個較為粗淺的討論，錯誤之處懇請大家批評指正.

1 自旋為二分之一

其本征值和相應(yīng)的本征態(tài)為

其中的復(fù)數(shù)參量a、b滿足|a|2+|b|2=1. 自旋角動量z分量算符:

其本征值和相應(yīng)的本征態(tài)為

自旋角動量x分量算符：

其本征值和相應(yīng)的本征態(tài)為

(1)

(2)

(3)

接下來討論一下斯特恩—蓋拉赫實驗. 我們知道，斯特恩—蓋拉赫實驗中的實驗裝置具有方向性.對于二分之一自旋的粒子，易知如果此方向和粒子所處角動量狀態(tài)的態(tài)方向平行或反向平行，則測量將擁有確定的值，可稱這種測量為等向測量；而如果實驗裝置的方向和粒子的態(tài)方向不平行，那么測量的結(jié)果將是不確定的，可稱這種測量為變向測量. 因為在變向測量中，測量前粒子的態(tài)方向和測量后粒子的態(tài)方向是不平行的，變向測量改變了粒子的態(tài)方向.

也就是說，對于二分之一自旋的粒子，不論粒子處于自旋角動量態(tài)空間的哪一個態(tài)，它的態(tài)方向都是明確的,人們?nèi)魪娦杏盟固囟鳌w拉赫實驗裝置測量粒子的自旋在其它方向上的投影，就會改變粒子的態(tài)方向. 人們可能要用“坍縮”這個詞來形容這一狀況，實際上并不是這樣. 因為對于二分之一自旋粒子的角動量態(tài)空間，沒有那個狀態(tài)是特殊的，在某個表象下，所有的疊加態(tài)和本征態(tài)沒有誰比誰更好，它們地位平等，只是態(tài)方向不同罷了，所以此時用坍縮這個詞描述變向測量并不非常準(zhǔn)確.因為在變向測量中，只是粒子的態(tài)方向發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，而粒子的狀態(tài)既沒有“坍”也沒有“縮”.

2 自旋為一

同樣的，令

(4)

|a|+|c|=1 或 |a|=|c|

(5)

我們對s=1.5，s=2，… 也可以做完全類似的討論和計算，會得到和s=1時類似的結(jié)論.也就是說，在s=0.5時，態(tài)空間中的每個態(tài)都有態(tài)方向，而當(dāng)s≥1時，態(tài)空間中的態(tài)可以被分為兩類，即有態(tài)方向的和沒有態(tài)方向的.也可以說，當(dāng)s≥1時，純態(tài)被分為兩種，即有態(tài)方向的和沒有態(tài)方向的. 對于沒有態(tài)方向的態(tài)，存在一些疑問，將在第3節(jié)中將詳細(xì)論述.

3 一些疑問

(6)

那么根據(jù)量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理，由式(6)中的3個態(tài)線性疊加而成的態(tài)也應(yīng)該是系統(tǒng)可能的狀態(tài)，亦即D3中的每一個態(tài)都是系統(tǒng)的可能狀態(tài).現(xiàn)在的問題是如何制備D3中的狀態(tài)？即在s=1時，如何制備粒子角動量的一個純態(tài)？

如果觀點一是正確的，則意味著需要修改態(tài)疊加原理的適用范圍.如果觀點一是錯誤的，則需要實驗物理學(xué)家立即動手實驗，回答如何制備這些狀態(tài)的問題.如果觀點二是正確的，則需要我們從理論或?qū)嶒灥慕嵌热パ芯窟@些狀態(tài)有什么特性或真正的奇妙之處，是否有什么奇特的應(yīng)用價值.

如果觀點三是正確的，則需要我們首先提出高維空間的數(shù)學(xué)理論，例如給出其它維度上自旋角動量的分量算符(厄米矩陣)，然后便要給出這些態(tài)的態(tài)方向的數(shù)學(xué)描述.接下來我們會問：由于這些態(tài)是真實存在的，而且也有態(tài)方向(高于三維)，那么我們能否從實驗上觀察到這些態(tài)的態(tài)方向(高于三維)，以便證明空間是大于三維的，或者說發(fā)現(xiàn)那些以前不為人知、隱藏在在角動量態(tài)空間中的那些隱秘的空間維度？這是在用實驗證明空間大于三維嗎？

這些問題是非常有趣的，而且急需解答.

致謝：作者非常感謝作者的指導(dǎo)老師西北大學(xué)現(xiàn)代物理研究所王兆龍副教授、辛國國副教授對作者的指導(dǎo)；作者在西北大學(xué)物理學(xué)院賀慶麗教授、鄧治國副教授、張正軍教授、楊戰(zhàn)營教授、趙佩副教授、王曉輝副教授等教授的課堂上受益匪淺；作者非常感謝作者的大學(xué)同學(xué)白曉成、韓陳煦、周歷波、邢健崇等人與作者徹夜長談的討論.