幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

王躍祖

幾何畫板軟件是一款優(yōu)秀的動態(tài)幾何軟件，用幾何畫板可以呈現(xiàn)傳統(tǒng)課堂教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，它功能強(qiáng)大，不言而喻。尤其是在“考改促課改”的今天，顯得尤其 ? 重要。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）指出：“要充分考慮信息技術(shù)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具，有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂意并有可能投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的教學(xué)活動中去?！?/p>

現(xiàn)我就對山西省中考試題和2021年山西省中考模擬試題中部分試題，利用幾何畫板突破學(xué)生思維難點(diǎn)簡單來說一下。

一：幾何畫板在綜合與探究中的應(yīng)用

1.（山西2021省適應(yīng)性23題）綜合與探究：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線W1：y=ax2+bx+3（a≠0）的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)B（3，0），C（﹣1，0）.P是W1上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（0

（1）求拋物線W1的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)A，D的坐標(biāo);

（2）如圖2，連接BD，直線l交直線BD于點(diǎn)M，連接OP交BD于點(diǎn)N，求PM的長（用含m的代數(shù)式表示）及 的最大值;

（3）在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，將拋物線W1沿直線l對稱得到拋物線W2，W2與y軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)為W2上一點(diǎn)，試探究是否存在點(diǎn)P，使△DEF是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出此時點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

此題的難點(diǎn)在于第三問，把等腰直角三角形的存在性問題以拋物線的翻折為載體，加大了學(xué)生思維的難度。利用幾何畫板繪制出拋物線W1沿直線l對稱得到拋物線W2函數(shù)圖象，拖動P點(diǎn)觀察，可以發(fā)現(xiàn)由于W1和W2關(guān)于直線l對稱，W1與W2開口大小不變，方向相反，對稱軸都是直線x=1，從而可設(shè)它的函數(shù)解析式為y=.由點(diǎn)E和點(diǎn)D關(guān)于直線l對稱，可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，-2m2+4m+3），把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入W2，得到W2的函數(shù)解析式。后續(xù)求點(diǎn)P的問題就轉(zhuǎn)化為常規(guī)的等腰直角三角形存在性的思路了。

從第三問來看，給我們的教學(xué)啟示就是要注意數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識的縱向整合?！翱鐚W(xué)科整合”這是山西省中考命題落實(shí)核心素養(yǎng)在考試評價中落地的“四大手段”之一。

2.（2014山西中考）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是平行四邊形，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0），（﹣2，3），拋物線W經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)，D是拋物線W的頂點(diǎn).

（1）求拋物線W的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

（2）將拋物線W和?OABC一起先向右平移4個單位后，再向下平移m（0

（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取最大值時，設(shè)此時拋物線W′的頂點(diǎn)為F，若點(diǎn)M是x軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)N時拋物線W′上的動點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以D、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

此題的第（2）問是由拋物線在平移的過程中產(chǎn)生的面積問題，是幾何與代數(shù)知識間的綜合題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的聯(lián)系。解決這一問題先要研究運(yùn)動過程中重疊部分的形狀，從而確定重疊部分面積的表達(dá)式，然后通過對表達(dá)式的研究，找到解決問題的突破口。利用幾何畫板繪制上述函數(shù)圖象的動畫，拖動點(diǎn)M，仔細(xì)觀察，很容易發(fā)現(xiàn)，在平移的過程中重疊部分的圖形始終是一個平行四邊形，這樣接下來就會思考：如何判斷這個四邊形是平行四邊形，學(xué)生就會調(diào)動自身的知識儲備，進(jìn)行分析、探究。在后續(xù)的練習(xí)中，學(xué)生就會把握好解決這一類問題的方向，解答起來不會感到困難。

3.（2021山西中考模擬百校聯(lián)考三23題改編）綜合與探究：如圖1，二次函數(shù)與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C。

（1）求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)。

（2）如圖2，點(diǎn)D為線段AC上的一個動點(diǎn)，連接BD，以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，BD為直角邊，在x軸上方作等腰直角三角形BDE，若點(diǎn)E在y軸上時，求點(diǎn)D坐標(biāo)。

（3）若點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)D由A到C運(yùn)動的過程中，以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，BD為直角邊作等腰直角三角形BDE，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)C在等腰直角三角形BDE的邊上（包括等腰三角形的頂點(diǎn)）時，請直接寫出頂點(diǎn)E的坐標(biāo)。

解第三小題的關(guān)鍵是分類討論，一是等腰直角三角形BDE的頂點(diǎn)E有兩種情況，需要分類討論;二是拋物線的頂點(diǎn)C 在等腰直角三角形BDE的邊上（包括等腰三角形的頂點(diǎn)）時，需要分類討論。由于上一問點(diǎn)E是在直角邊BD的上方，學(xué)生很容易受思維定勢的影響，畫等腰直角三角形BDE時，點(diǎn)E畫在BD的上方。當(dāng)題中條件“若點(diǎn)D在線段AC上”改為“若點(diǎn)D在射線AC上”時，就會造成丟解。通過幾何畫板的動態(tài)演示，學(xué)生很容易看到“點(diǎn)D在線段AC上”和“點(diǎn)D在射線AC上”圖形的區(qū)別，通過對比強(qiáng)化了學(xué)生的直觀感知，培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力。

二：幾何畫板在綜合與實(shí)踐中的應(yīng)用

1. （2014山西中考）課程學(xué)習(xí)：正方形折紙中的數(shù)學(xué).

動手操作：如圖1，四邊形ABCD是一張正方形紙片，先將正方形ABCD對折，使BC與AD重合，折痕為EF，把這個正方形展平，然后沿直線CG折疊，使B點(diǎn)落在EF上，對應(yīng)點(diǎn)為B′.

數(shù)學(xué)思考：（1）求∠CB′F的度數(shù);

（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，連接AB′，試判斷∠B′AE與∠GCB′的大小關(guān)系，并說明理由;

解決問題：

（3）如圖3，按以下步驟進(jìn)行操作：

第一步：先將正方形ABCD對折，使BC與AD重合，折痕為EF，把這個正方形展平，然后繼續(xù)對折，使AB與DC重合，折痕為MN，再把這個正方形展平，設(shè)EF和MN相交于點(diǎn)O;

第二步：沿直線CG折疊，使B點(diǎn)落在EF上，對應(yīng)點(diǎn)為B′，再沿直線AH折疊，使D點(diǎn)落在EF上，對應(yīng)點(diǎn)為D′;

第三步：設(shè)CG、AH分別與MN相交于點(diǎn)P、Q，連接B′P、PD′、D′Q、QB′，試判斷四邊形B′PD′Q的形狀，并證明你的結(jié)論.

“折疊”問題主要是考查軸對稱，解決此類問題需要分析出在折疊過程中軸對稱的性質(zhì)。此題以課堂的折紙活動為

背景，探究正方形紙片經(jīng)過四次折疊后，判斷所得四邊形B′PD′Q的形狀。這個問題對學(xué)生來說是有一定的難度的。要想解決這個問題，必須探究出前面兩個問題在每一次折疊的過程中產(chǎn)生的圖形性質(zhì)，需要從眾多繁雜的信息中加工提煉獲得解決問題的條件。課堂教學(xué)中一方面加強(qiáng)學(xué)生的動手操作能力，另一方面利用幾何畫板繪制正方形的折疊動畫，通過幾何畫板的動態(tài)演示，強(qiáng)化學(xué)生的直觀感知。把這兩方面結(jié)合起來，就能夠突破折疊類問題的難點(diǎn)。

2.（2016山西中考22題）綜合與實(shí)踐

問題情境

在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動，如圖1，將一張菱形紙片ABCD（）沿對角線AC剪開，得到△ABC和△ACD.

操作發(fā)現(xiàn)

（1）將圖1中的△ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心， 逆時針方向旋角，使 ?， 得到如圖2所示的，分別延長BC ? 和交于點(diǎn)E，則四邊形的狀是

（2）創(chuàng)新小組將圖1中的△ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，使，得到如圖3所示的，連接DB，，得到四邊形，發(fā)現(xiàn)它是矩形.請你證明這個論;

實(shí)踐探究

（3）縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，量得圖3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一個問題：將沿著射線DB方向平移acm，得到，連接，，使四邊形恰好為正方形，求a的值.請你解答此問題;

（4）請你參照以上操作，將圖1中的在同一平面內(nèi)進(jìn)行一次平移，得到，在圖4中畫出平移后構(gòu)造出的新圖形，標(biāo)明字母，說明平移及構(gòu)圖方法，寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，不必證明.

本題以真實(shí)的課堂教學(xué)情境為載體，以“菱形紙片的剪拼”為數(shù)學(xué)活動任務(wù)，通過圖形的變化，讓學(xué)生探究圖形在旋轉(zhuǎn)或平移過程中的特殊位置，分析在特殊位置下的圖形性質(zhì)，體驗(yàn)研究問題的思想和方法。解決這個問題關(guān)鍵是要讓學(xué)生經(jīng)歷圖形的運(yùn)動過程，圖形的旋轉(zhuǎn)對于學(xué)生來說是有一定的困難的。打開幾何畫板，制作菱形的旋轉(zhuǎn)動畫。操作演示菱形的旋轉(zhuǎn)過程，學(xué)生容易直觀感知圖形在運(yùn)動變化過程中，圖形的位置變化、圖形中形成的新的關(guān)系，加深了對旋轉(zhuǎn)、平移等這些幾何知識的理解，從而進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生放手操作，提高學(xué)生的觀察能力，動手能力，解決問題的能力。并且讓課堂學(xué)習(xí)充滿了動感，大大激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

3.（山西省2021年考前適應(yīng)性檢測卷二22題）綜合與實(shí)踐

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，直線BD，CE交于點(diǎn)F，線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是___________，位置關(guān)系是____________.

（2）類比探究：如圖2，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=，

∠ACB=∠AED=，直線BD，CE交于點(diǎn)F。若AB=kAC，試判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系以及直線BD和CE相交所成的較小角的度數(shù)，并說明理由。

（3）拓展延伸

如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），N為y軸上一動點(diǎn)，連接MN.將線段MN繞點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MP，連接NP，OP.請直接寫出線段OP長度的最小值及此時點(diǎn)N的坐標(biāo).

本題的第三問是此題的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，考查點(diǎn)在運(yùn)動的過程中產(chǎn)生的線段最值問題。對于多數(shù)學(xué)生來說是有一定的難度的。解決這個問題的關(guān)鍵是分析動點(diǎn)、定點(diǎn)，明確動點(diǎn)運(yùn)動的軌跡，找出不變特征。教學(xué)中一方面加強(qiáng)學(xué)生的動手操作能力，另一方面利用幾何畫板制作圖3的動態(tài)圖形，拖動N點(diǎn)，追蹤點(diǎn)P的 運(yùn)動軌跡，很容易發(fā)現(xiàn)圖形在運(yùn)動的過程中的不變特征，強(qiáng)化了學(xué)生的直觀感知，進(jìn)一步提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

三：幾何畫板在日常教學(xué)中的應(yīng)用

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考……”。幾何畫板引入課堂教學(xué)，打破了傳統(tǒng)教學(xué)中學(xué)生是被動接受知識的局限，學(xué)生學(xué)習(xí)積極參與其中，“是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程”。

1.﹣a是負(fù)數(shù)嗎？

剛升初一的學(xué)生雖然在小學(xué)里認(rèn)識了負(fù)數(shù)，但這個認(rèn)識還停留在感性的基礎(chǔ)上，對負(fù)數(shù)的認(rèn)識并不深刻。上了初中以后，讓學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步加深對負(fù)數(shù)的理解，真正實(shí)現(xiàn)思想的第一次飛躍。打開幾何畫板，在數(shù)軸上取一點(diǎn)，命名為﹣a，度量這個點(diǎn)在數(shù)軸上的坐標(biāo)，拖動這個點(diǎn)，學(xué)生通過觀察點(diǎn)在運(yùn)動過程中﹣a表示數(shù)的變化，加深理解負(fù)數(shù)的意義。

2.探究三角形的內(nèi)角和定理

在三角形內(nèi)角和的教學(xué)中，用幾何畫板畫一個任意三角形，度量這個三角形中每一個內(nèi)角的度數(shù)，利用幾何畫板的計算功能，算出這三個角的和。然后拖動三角形的任意一個頂點(diǎn)——改變它的形狀和大小，發(fā)現(xiàn)這個三角形的形狀大小發(fā)生了變化，但這三個內(nèi)角的和始終是180°，讓學(xué)生寫出自己觀察到的結(jié)論，最后引導(dǎo)學(xué)生完成證明。其實(shí)在小學(xué)里學(xué)生已經(jīng)知道了三角形的內(nèi)角和為180°，為什么還要這樣不厭其煩的做呢？這樣做的目的有兩個：一是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力;二是滲透了數(shù)學(xué)中變與不變的數(shù)學(xué)思想。

3.探究二次函數(shù)圖像和性質(zhì)

繪制二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，拖動參數(shù)a，學(xué)生觀察a值變化對二次函數(shù)的圖象的影響，深刻理解教材中“ ?”這句話的含義。繪制二次函數(shù)的折疊動畫，讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：二次函數(shù)的圖象是一個軸對稱圖形。在二次函數(shù)的圖象上任意取一點(diǎn)，度量這個點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)。拖動這個點(diǎn)，觀察這個點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的變化情況，寫出二次函數(shù)的增減性和最值。

在信息技術(shù)高速發(fā)展的今天，利用幾何畫板的強(qiáng)大功能，用于我們的日常教學(xué)，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能夠突破教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)，由學(xué)生被動的學(xué)習(xí)，變?yōu)榉e極主動的觀察、探究性學(xué)習(xí)，加強(qiáng)了學(xué)生對知識的深刻理解。真正讓學(xué)生把所學(xué)的知識轉(zhuǎn)化為自身的能力，由能力促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)的提高。