洛倫茲變換的低速近似

魏益煥，齊曉華

(渤海大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，遼寧 錦州 121000)

洛倫茲變換的提出先于狹義相對論建立的時間.1892年，洛倫茲提出了長度收縮假說；1904年，洛倫茲在《運動物體小于光速的電磁現(xiàn)象》一文中提出了洛倫茲變換.在狹義相對論建立之前，洛倫茲變換的出現(xiàn)還只是為了解釋一些特定的物理現(xiàn)象，它否定的僅僅是伽利略變換的形式，并沒有完全突破牛頓時空觀的框架.在狹義相對論中，洛倫茲變換是兩個基本原理所導(dǎo)致的一個結(jié)果[1].

相對性原理的內(nèi)涵依賴所適配的時空坐標(biāo)變換的形式.時空坐標(biāo)變換的性質(zhì)反映時空的幾何結(jié)構(gòu).在牛頓時空中，慣性系之間的時空坐標(biāo)變換為伽利略變換.在狹義相對論時空(四維閔氏時空)中，時空的性質(zhì)由洛倫茲變換來反映.由洛倫茲變換能給出伽利略變換嗎？所需要的條件又是什么呢？文獻(xiàn)[2]認(rèn)為，僅僅要求低速條件是不充分的.本文將就這一問題進(jìn)行一些討論.

1 洛倫茲變換的低速近似

1.1 洛倫茲變換

狹義相對論的兩個基本原理是該理論的物理基礎(chǔ)和核心內(nèi)容.相對性原理自身是物理規(guī)律表述的一個要求.對于任何一個關(guān)于自然科學(xué)的理論，都有規(guī)律表示不變性的要求，否則就不能很好地描述自然.由狹義相對論中的兩個基本原理，可導(dǎo)出兩個慣性系之間的坐標(biāo)變換—洛倫茲變換.

圖1 相對運動的兩慣性系

假定兩個參考系S′和S的3個空間坐標(biāo)軸取向都相同，且S′系相對S以不變速度v沿x軸的正方向運動，則洛倫茲變換為[3]

(1)

在y和z兩個空間方向上，新坐標(biāo)取相同值或相差一個常數(shù).上式也可稱為1+1維閔氏時空的坐標(biāo)變換.

一般情況下，式 (1)中的空間坐標(biāo)x是時間t的函數(shù)，x=x(t)，對于這個函數(shù)形式?jīng)]有特殊要求.當(dāng)x=x(t)滿足線性關(guān)系時，變換(1)會線性地依賴時間t.該情況下，容易導(dǎo)出兩個慣性系間的速度變換式.

1.2 洛倫茲變換的低速近似

一般地認(rèn)為，在低速條件v<

(2)

忽略掉v/c的三級小量后，上式化為

(3)

我們稱式(3)為洛倫茲變換(1)的低速近似.

通常情況下，在對洛倫茲變換進(jìn)行近似處理的過程中，只考慮了涉及到速度比率v/c的因素.實際上，還有一個因素也需要考慮，就是x與vt的關(guān)系，它涉及到是否可以忽略掉式(3)下式中的vx/c項的問題.

在x<

顯然，存在第三種情況x?vt.該情況下，忽略v/c的二級小量后，式(3)可近一步化為

(4)

為了近似地給出伽利略變換，需要近一步給出關(guān)于空間坐標(biāo)的限制條件：

(5)

上式不同于文獻(xiàn)[2]給出的條件x<

2 討論

在低速情況下，一般可認(rèn)為洛倫茲變換近似化為伽利略變換.其實不然，伽利略變換丟掉了反映時空結(jié)構(gòu)性質(zhì)的重要信息，只能說伽利略變換近似適用于低速情況.作為反映物理時空性質(zhì)的變換，伽利略變換是經(jīng)驗性的.只有對伽利略變換進(jìn)行適當(dāng)修改，才可以作為低速條件下洛倫茲變換的近似形式.