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    基于等效電路法復(fù)合變幅桿的優(yōu)化設(shè)計(jì)

    2021-10-13 00:45:40鞏建輝喻剛強(qiáng)嚴(yán)碧歌
    機(jī)械與電子 2021年9期
    關(guān)鍵詞:設(shè)計(jì)

    鞏建輝,喻剛強(qiáng),姚 靜,嚴(yán)碧歌

    (1.商洛職業(yè)技術(shù)學(xué)院,陜西 商洛 726000;2.陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,陜西 西安 710062)

    0 引言

    變幅桿具有振幅放大作用,是超聲加工系統(tǒng)中的重要部件,隨著超聲系統(tǒng)應(yīng)用的日益廣泛,對(duì)變幅桿的放大倍數(shù)及性能指標(biāo)要求越來越高,單一變幅桿因?yàn)榉糯笙禂?shù)有限不能滿足實(shí)際生產(chǎn)的需要,所以從單一變幅桿發(fā)展到了復(fù)合變幅桿。為了獲得性能優(yōu)良的變幅桿,廣大學(xué)者對(duì)新型變幅桿的設(shè)計(jì)和研究從未停止,趙洪博等[1]利用替代法設(shè)計(jì)了寬端接圓柱桿的懸鏈形復(fù)合變幅桿;靳濤等[2]將圓柱和圓錐桿進(jìn)行組合,對(duì)圓錐復(fù)合變幅桿進(jìn)行了研究;崔曉娟等[3]將指數(shù)桿和圓錐桿進(jìn)行組合,對(duì)指數(shù)復(fù)合變幅桿進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì);孫濤等[4]設(shè)計(jì)了正弦圓柱形復(fù)合變幅桿,該變幅桿的放大倍數(shù)和形狀因數(shù)皆優(yōu)于階梯形變幅桿。本文采用等效電路法設(shè)計(jì)了一種半波長(zhǎng)復(fù)合變幅桿,即指數(shù)懸鏈線形復(fù)合變幅桿,得出了該變幅桿的頻率方程以及放大倍數(shù),并對(duì)變幅桿進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)和有限元分析。

    1 變幅桿的模型構(gòu)建

    該復(fù)合型變幅桿由指數(shù)桿Ⅰ和懸鏈線桿Ⅱ組合而成,如圖1所示。指數(shù)桿的長(zhǎng)度為l1,大小端面的面積分別為S1和S,大小端面的半徑分別為R1和R。懸鏈線桿的長(zhǎng)度為l2,大小端面的面積分別為S和S2,大小端面的半徑分別為R和R2。

    圖1 指數(shù)懸鏈線形復(fù)合變幅桿模型

    2 變幅桿的設(shè)計(jì)理論

    2.1 等效電路法

    變幅桿常用的設(shè)計(jì)方法有解析法、等效電路法、替代法、傳輸矩陣法、分段趨近法和表觀彈性法等[5],其中等效電路法設(shè)計(jì)思路清晰、物理意義明確,故采用等效電路法對(duì)指數(shù)懸鏈線形復(fù)合變幅桿進(jìn)行理論分析。所謂等效電路法就是對(duì)于任何一個(gè)單一形狀的變幅桿,通過力電類比都可以等效為一個(gè)四端網(wǎng)絡(luò)電路模型,如圖2所示[6]。圖2中,F(xiàn)1和F2是變幅桿兩端所受的力,相當(dāng)于電路中的電壓;v1和v2為變幅桿兩端的振速,相當(dāng)于電路中的電流;Z1、Z2和Z3為力阻抗,相當(dāng)于電路中電阻抗。

    圖2 等效四端網(wǎng)絡(luò)電路模型

    2.2 復(fù)合變幅桿的等效電路

    依據(jù)等效電路法理論,分別得出復(fù)合變幅桿左邊指數(shù)桿和右邊懸鏈線桿的等效四端網(wǎng)絡(luò)電路并連接在一起,可以得到復(fù)合變幅桿的等效電路如圖3所示。由于變幅桿振動(dòng)速度連續(xù),所以有v12=v21。

    圖3 復(fù)合變幅桿等效電路模型

    左邊指數(shù)桿等效電路參數(shù)為:

    (1)

    (2)

    (3)

    右邊懸鏈線桿等效電路參數(shù)為:

    (4)

    (5)

    (6)

    2.3 復(fù)合變幅桿的參數(shù)求解

    當(dāng)變幅桿兩端自由時(shí),復(fù)合變幅桿等效電路圖3中F1=F2=0,輸入端AB和輸出端CD可視為短路,依據(jù)基爾霍夫回路電壓定律(KVL)可得以下表達(dá)式。

    回路Ⅰ:

    v11(Z11+Z13)-v12Z13=0

    (7)

    回路Ⅱ:

    -v11Z13+v12(Z13+Z12+Z21+Z23)-

    v22Z23=0

    (8)

    回路Ⅲ:

    -v12Z23+v22(Z23+Z22)=0

    (9)

    將式(7)的v11和式(9)的v22代入式(8)可得到復(fù)合變幅桿的頻率方程為

    (10)

    由式(7)和式(9)消去v12,并代入相應(yīng)的力阻抗可以得出復(fù)合變幅桿的放大系數(shù)為

    (11)

    3 復(fù)合變幅桿的優(yōu)化設(shè)計(jì)

    3.1 設(shè)計(jì)實(shí)例

    該復(fù)合形變幅桿選用45號(hào)鋼,材料密度ρ=7.81×103kg/m3,楊氏模量E=20.92×1010N/m2,泊松比μ=0.28,聲速c=5 169 m/s,設(shè)計(jì)頻率f=20 kHz,指數(shù)桿Ⅰ左側(cè)端面的半徑R1=26 mm,指數(shù)桿Ⅰ和懸鏈線桿Ⅱ交界面的半徑R=16 mm,懸鏈線桿Ⅱ右側(cè)端面的半徑R2=8 mm,假設(shè)指數(shù)桿Ⅰ的長(zhǎng)度為l1=78 mm,則可以利用MATLAB對(duì)頻率方程(10)求數(shù)值解,算出懸鏈線桿Ⅱ的長(zhǎng)度l2=71 mm,再由式(11)求出復(fù)合形變幅桿的放大系數(shù)MP=3.7。

    3.2 優(yōu)化分析

    為了尋找放大系數(shù)更大的變幅桿,將對(duì)變幅桿進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),優(yōu)化的思路是通過改變指數(shù)桿的長(zhǎng)度l1和交界面的半徑R,從而改變懸鏈線桿和復(fù)合變幅桿的諧振長(zhǎng)度以及放大系數(shù)。

    在保持指數(shù)桿Ⅰ左側(cè)端面半徑R1和懸鏈線桿Ⅱ右側(cè)端面半徑R2不變的情況下,復(fù)合變幅桿的諧振長(zhǎng)度l1+l2和放大系數(shù)MP隨交界面的半徑R和指數(shù)桿的長(zhǎng)度l1的變化關(guān)系分別如圖4和圖5所示。

    圖4 復(fù)合變幅桿的長(zhǎng)度變化規(guī)律

    圖5 復(fù)合變幅桿的放大系數(shù)變化規(guī)律

    從圖4可知,復(fù)合變幅桿的諧振長(zhǎng)度l1+l2隨著指數(shù)桿的長(zhǎng)度l1的增大而增大,懸鏈線桿的長(zhǎng)度l2隨著指數(shù)桿的長(zhǎng)度l1的增大而減小,在45 mm

    從圖5可知,復(fù)合變幅桿的放大系數(shù)MP隨著指數(shù)桿長(zhǎng)度l1的增大先增大后減小,在l1<68 mm的區(qū)域放大系數(shù)MP隨著交界面的半徑R的增大而增大,在放大系數(shù)MP達(dá)到最大值后對(duì)應(yīng)的指數(shù)桿長(zhǎng)度隨交界面的半徑R的增大而減小。當(dāng)R=16 mm時(shí)放大系數(shù)MP達(dá)到最大值對(duì)應(yīng)的指數(shù)桿長(zhǎng)度為l1=53 mm,懸鏈線桿的長(zhǎng)度為l2=84 mm,將參數(shù)代入式(11)可以求出優(yōu)化后變幅桿的放大系數(shù)為4.2,比優(yōu)化前提高了13.5%。

    4 有限元分析

    為了檢驗(yàn)理論設(shè)計(jì)和優(yōu)化分析的正確性,利用ANSYS軟件對(duì)復(fù)合形變幅桿進(jìn)行有限元分析。除指數(shù)桿Ⅰ長(zhǎng)度取l1=53 mm和懸鏈線桿Ⅱ的長(zhǎng)度l2=84 mm外,復(fù)合形變幅桿的材料參數(shù)、幾何尺寸和諧振頻率均和3.1節(jié)設(shè)計(jì)實(shí)例相同。

    4.1 模態(tài)分析

    首先建立復(fù)合變幅桿的幾何模型,依據(jù)設(shè)計(jì)尺寸計(jì)算出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)并生成關(guān)鍵點(diǎn),將關(guān)鍵點(diǎn)依次連接成線再生成面,以復(fù)合變幅桿中心線為軸旋轉(zhuǎn)360°成體,選用SOLID95實(shí)體單元,采用掃掠網(wǎng)格劃分,共得到7 861個(gè)節(jié)點(diǎn)和1 584個(gè)單元。運(yùn)用分塊蘭索法(block Lanczos)分析,模態(tài)提取頻率范圍為18~22 kHz,使用Solve求解并提取與設(shè)計(jì)頻率最接近的諧振模態(tài)如圖6所示。由圖6可以看出當(dāng)諧振頻率f′=19 839 Hz時(shí),變幅桿做縱向振動(dòng)狀態(tài)良好,與理論設(shè)計(jì)基本吻合。

    圖6 復(fù)合變幅桿的位移云圖

    4.2 諧響應(yīng)分析

    在模態(tài)分析的基礎(chǔ)上,采用完全法(full)進(jìn)行諧響應(yīng)分析,這種方法是運(yùn)用完整的系統(tǒng)矩陣來計(jì)算響應(yīng)的。在圓柱桿的左端面加載幅值為1.1 μm的正弦變化的周期位移載荷,在變幅桿的輸出端即懸鏈線桿的小端面輸出的諧響應(yīng)曲線如圖7所示,從響應(yīng)曲線可以看出,在諧振頻率為19 839 Hz附近出現(xiàn)了振幅最大值。變幅桿的軸向位移曲線如圖8所示,從圖8可以看出變幅桿大小端面位移分別為1.1 μm和4.6 μm,可得到放大倍數(shù)約為4.1,將有限元分析結(jié)果與理論計(jì)算值進(jìn)行比較,諧振頻率相差0.8 %,放大倍數(shù)相差2.3 %,有限元分析結(jié)果與理論設(shè)計(jì)基本一致,符合變幅桿設(shè)計(jì)要求。

    圖7 諧響應(yīng)曲線

    圖8 變幅桿的軸向位移曲線

    5 結(jié)束語

    利用等效電路法設(shè)計(jì)了一種新型的指數(shù)懸鏈線形復(fù)合變幅桿,并對(duì)變幅桿的設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化和有限元分析。結(jié)果表明:

    a.復(fù)合變幅桿的諧振長(zhǎng)度隨著指數(shù)桿長(zhǎng)度l1的增大而增大,但懸鏈線桿的長(zhǎng)度l2隨著指數(shù)桿長(zhǎng)度的增大而減?。粡?fù)合變幅桿的放大系數(shù)MP隨著指數(shù)桿長(zhǎng)度l1的增大先增大后減小,在l1<68 mm的區(qū)域放大系數(shù)MP隨著交界面的半徑R的增大而增大,在放大系數(shù)MP達(dá)到最大值后對(duì)應(yīng)的指數(shù)桿長(zhǎng)度隨交界面的半徑R的增大而減??;通過優(yōu)化設(shè)計(jì)使復(fù)合變幅桿的放大系數(shù)從3.7增加到4.2,提高了13.5 %,為找到性能更優(yōu)的變幅桿提供了思路。

    b.利用等效電路法設(shè)計(jì)復(fù)合形變幅桿思路清晰,物理意義明確,設(shè)計(jì)精度符合要求,采用該方法可以將其他任意形狀的變幅桿進(jìn)行組合得出新型變幅桿,為變幅桿的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了參考,有一定的實(shí)用價(jià)值。

    c.有限元分析結(jié)果與理論設(shè)計(jì)基本一致,進(jìn)一步證明了復(fù)合形變幅桿設(shè)計(jì)及優(yōu)化的可靠性。

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