近地小行星(10302) 1989 ML和(4660)Nereus的軌道特征及演化分析?

陳媛媛 馬月華

(1 中國科學(xué)院紫金山天文臺南京 210023)

(2 中國科學(xué)院行星科學(xué)重點實驗室南京 210023)

1 引言

近地小天體(Near-Earth Object,NEO)作為一種特殊的小行星群,是指其軌道近日點小于1.3 au的小行星及彗星.近地小天體是離地球最近的一類天體,這種距離優(yōu)勢使其成為進一步了解太陽系、發(fā)展優(yōu)化深空探測項目以及開發(fā)太空資源的首選目標.同時它們潛在的碰撞威脅也讓我們不得不對其進行更加嚴密的追蹤和觀測.一般認為近地小天體是“離群”或碰碎的主帶小行星和“熄火”彗星的組合群[1],如此多樣性的來源使其可以與太陽系不同區(qū)域的天體相互對接尋找演化線索.同時,近地小天體還是隕石的最主要來源地之一,從而也能與行星化學(xué)中的隕石分析和統(tǒng)計進行間接對比和佐證.對近地小天體軌道的動力學(xué)研究是其中的重要組成部分,為地面觀測及探測項目提供了必不可少的理論支撐,也為小行星撞擊事件的預(yù)警提供關(guān)鍵的預(yù)報和篩查.

近地小天體的動力學(xué)研究本身存在不確定性,但在實際應(yīng)用中又需要高精度的定量結(jié)果,從而使其成為一個相對困難的研究方向[2].這一動力學(xué)研究方向的不確定性是多方面的.首先,大多數(shù)小行星身處混沌的相空間之中,任何方面的細微不同都會導(dǎo)致生成的模擬軌道與其實際軌跡大相徑庭.其次,大多數(shù)小行星的觀測數(shù)據(jù)本身存在誤差,同時即使觀測誤差足夠小,由于觀測弧段太短導(dǎo)致的定軌誤差也不容忽視.再次,力模型的選擇非常重要,在盡可能精細的力模型與盡量減少計算機的截斷誤差之間需要謹慎權(quán)衡.

近地小天體作為一個族群,其整體的動力學(xué)起源至今仍沒有定論.通過穩(wěn)定性分析及數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),這些小天體的平均年齡只有百萬年量級,所以需要一種機制持續(xù)不斷地對這個小行星群進行補充,使其在當(dāng)前太陽系整體穩(wěn)定的狀態(tài)下保留至今.普遍認為,近地小天體的起源地有兩個:主帶小行星和彗星[3–5].主帶小行星在μ6長期共振、木星的3:1、5:2、2:1等主要平運動共振以及其他共振的攝動作用下增加偏心率,引發(fā)與火星的密近交匯,從而散射到近地球的區(qū)域,這一過程僅需要幾十萬年.不過這些作為“供應(yīng)源”的共振區(qū)也需要有后續(xù)材料的補充,Yarkovsky效應(yīng)引起的半長軸長期變化可能在其中起了決定性作用,但相關(guān)研究還處于假設(shè)和理論推理階段,并沒有觀測方面的驗證.而對于彗星起源,由于其起源地的小行星大小分布不明以及軌道演化中受到不確定的非引力作用,導(dǎo)致數(shù)值模擬從彗星演變成NEO比較困難.在文獻[3]中,作者將NEO的源區(qū)域分成5個部分:μ6共振區(qū)、與火星交匯的中轉(zhuǎn)區(qū)、木星的3:1共振區(qū)、外主帶小行星以及越海王星盤(Transneptunian disk),給出了絕對星等H <22的小行星來自不同源區(qū)域的比例,指出其中大約6%來自木星族彗星,遠小于來自主帶小行星的比例.他們同時估計了Amors、Apollos和Atens 3類近地小行星在整體NEO中的占比.

1989 ML的軌道半長徑為1.27 au,具有中等偏心率～0.136,較小軌道傾角～4.4°.作為近地小天體,由于空間探測所需能量很少,所以一直是交匯類探測任務(wù)(rendezvous mission)的首選目標[6].Binzel等人于1999年3月和5月利用帕洛瑪天文臺的5 m Hale望遠鏡對1989 ML進行了0.3–0.9μm的光譜觀測,并推測其光譜特征與黑色球粒隕石最接近,即一種在碰撞沖擊作用下變暗的普通球粒隕石[7].Mueller等人同時利用Spitzer望遠鏡的紅外成像攝像機(IRAC)和2.0 m Faulkes望遠鏡(北)對1989 ML進行了紅外、近紅外及光學(xué)波段的測光觀測.通過對觀測數(shù)據(jù)的分析及模型處理,得出1989 ML的有效直徑為(0.28±0.05)km,幾何反照率為0.37±0.15[8].

(4660) Nereus (1982 DB)小行星軌道半長徑～1.49 au、偏心率～0.36、軌道傾角更小～1.43°.同樣地,由于其軌道傾角很小,從而對交匯類任務(wù)而言所需能量較其他大多數(shù)小行星更少.Nereus在2002年1月曾與地球有一次密近交匯,最近距離達到0.029 au.在這次回歸期間,美國宇航局3 m口徑紅外望遠鏡(IRTF,位于夏威夷)、美國帕洛瑪天文臺的5 m Hale望遠鏡、亞利桑那州基特峰國家天文臺的4.0 m Mayall望遠鏡、夏威夷10 m Keck-I望遠鏡、歐洲南方天文臺3.5 m新技術(shù)望遠鏡(NTT,位于智利)以及兩個著名的雷達設(shè)備Arecibo、Goldstone都對其進行了專門的觀測.Delb′o等人利用夏威夷10 m Keck-I望遠鏡測量了Nereus在8–18μm波段的紅外熱流量,并利用標準熱模型(STM)、快速自轉(zhuǎn)模型(FRM)以及近地小行星熱模型(NEATM)對觀測數(shù)據(jù)進行模擬對比,得出Nereus的直徑～0.33 km,反照率較高為0.55±0.17[9].Binzel等人結(jié)合IRTF、Hale和Mayall 3個望遠鏡的數(shù)據(jù),給出了0.3–2.5μm波段Nereus的光譜,并將其光譜斜率及其吸收特征與其他小行星相對比,將其歸為Tholen分類系統(tǒng)中的E型小行星.同時根據(jù)0.49μm處的光譜特征推測其與頑火輝石隕石(enstatite achondrite meteorites/aubrite)有關(guān),起源于位于內(nèi)主帶有較高整體傾角的Hungaria群[10].但不像另一顆E型小行星(3103) Eger,其軌道傾角與Hungaria群的平均水平相當(dāng),Nereus的超低傾角似乎很難從Hungaria群的小行星演化而來.這個差異使Nereus的真正起源變得模棱兩可.Lazzarin等人利用NTT得到0.4–1.65μm范圍的光譜數(shù)據(jù),并將其與頑火輝石隕石光譜相對照,結(jié)果相當(dāng)吻合.他們還斷言,Nereus可能是很久之前從Hungaria群演化而來,其軌道傾角的差異源于ν16共振(可以看成是小行星的升交點經(jīng)度與土星的升交點經(jīng)度之間的耦合)[11].Brozovic等人分析了Arecibo、Goldstone兩個雷達設(shè)備根據(jù)2002年Nereus最接近態(tài)的觀測影像,給出了較精確的形狀輪廓(3軸方向分別為(510±20)m、(330±20)m、)以及自轉(zhuǎn)軸在黃道極坐標系的指向(黃經(jīng)λ=+25°±10°、黃緯β=+80°±10°)[12].Nereus將于2021年12月再次接近地球,并且其最近距離較2002年更近,可達0.026 au.

針對近地小行星的軌道動力學(xué)演化已有的研究工作列舉如下:文獻[13]對這兩個小行星前后幾千年的軌道演化進行了數(shù)值模擬,并得出結(jié)論:1989 ML的軌道是混沌的,因此只能得到大約1000 yr以內(nèi)的精確軌道,而Nereus的軌道更混沌,只能得到200 yr內(nèi)的軌道;文獻[14]討論了研究近地小行星所需要的動力學(xué)模型選擇問題,并給出了2000–2100年內(nèi)6個近地小行星與地球的密近交匯信息,其中包括Nereus;文獻[15]和[16]提出近地小行星可以短暫地進入木星的3:1和1:1平運動共振,這可使其軌道暫時地避開密近交匯而保持穩(wěn)定.同時列舉了與大行星發(fā)生長期共振或Kozai共振的情況;文獻[17]列出了24個近地小行星在2000–2100年內(nèi)與地球的密近交匯信息,并給出了13個近地小行星1萬年內(nèi)軌道各根數(shù)的變化范圍,其中均包含小行星Nereus;文獻[18]數(shù)值模擬了(433)Eros和(4660) Nereus兩個近地小行星向后2 Myr內(nèi)的軌道運動,并針對5個Nereus的克隆軌道詳細討論了其與各大行星密近交匯及發(fā)生各種共振的情況.他們指出,Nereus的軌道演化主要由與地球的密近交匯所主導(dǎo).

本文利用最新的軌道初值,在其觀測誤差范圍內(nèi)各取了1000個克隆粒子,更加系統(tǒng)地研究了1989 ML和Nereus這兩個近地小天體的軌道穩(wěn)定性及相關(guān)動力學(xué)特征.內(nèi)容安排如下:第2部分對本文使用的數(shù)值模擬方法及初值選取做了詳細的說明,第3部分從穩(wěn)定時標、可能的運動范圍、密近交匯及各共振對軌道的影響等方面做了詳細的討論,并將兩個小行星的結(jié)果作比較.第4部分給出主要結(jié)論.

2 方法及初值設(shè)置依據(jù)

2.1 力模型及積分器

本文利用N體運動來研究在太陽系主要引力作用下兩個小行星1989 ML和Nereus的軌道運動.本文考慮的N體動力學(xué)模型包括八大行星、冥王星系統(tǒng)(系統(tǒng)質(zhì)心運動)、月球以及4個最大的小行星(Ceres、Vesta、Pallas和Hygiea).以上包括太陽在內(nèi)的15個天體均是考慮質(zhì)量的大天體,而兩個小行星則忽略其質(zhì)量,為測試粒子.天體的相對論效應(yīng)、非球形效應(yīng)以及其他非引力效應(yīng)(太陽光壓及Yarkovsky效應(yīng)等)均被忽略.

模擬程序主要使用Mercury程序包中的BS(Bulirsch-Stoer)算法[19],同時用RKF7(8)(Runge-Kutta-Fehlberg)積分器進行對比和精度驗證.積分中設(shè)置精度為10?15,對比計算前后系統(tǒng)的總能量之差?E與總角動量之差?L,計算10萬年后兩種算法的截斷誤差比例分別為?E≈10?11,?L≈10?11(Mercury中BS算法)和?E≈10?13,?L≈10?13(RKF7(8)積分器).

2.2 初值設(shè)置

本文中的初值使用的是JPL(Jet Propulsion Laboratory)中Horizons給出的根數(shù),所有大天體取簡化儒略日MJD59000.0 (Modified Julian Day)時刻的瞬時根數(shù),具體數(shù)值見表1.表中G為引力常數(shù)、MP表示天體質(zhì)量、a是軌道半長徑、e為軌道偏心率、i為軌道傾角(行星軌道面與黃道面夾角)、ω為近點角距、?為升交點經(jīng)度、M為平近點角.各大天體在各個時刻的位置均由初始瞬時根數(shù)和N體模擬計算得出,并沒有利用更多的即時觀測數(shù)據(jù),因此大行星在程序計算里的位置與實際歷表位置的差值也可能導(dǎo)致小行星軌道的誤差,比如水星在相對論作用下的近心點進動.由于本文著重點在于小行星1989 ML和Nereus的軌道特征及演化的定性研究,而并非得出針對工程的精確歷表的定量結(jié)果,所以上述力模型和初值可視為相對的合理設(shè)置.

表1 本表列出了數(shù)值模擬中用到的所有大天體的初始值, 為MJD59000.0時刻的瞬時根數(shù).數(shù)據(jù)來源: https://ssd.jpl.nasa.gov/Table 1 This table lists the initial values of all major objects used in the numerical simulations, which are the instantaneous elements at M JD59000.0.Data sources: https://ssd.jpl.nasa.gov/

表1 續(xù)表Table1 Continued

小天體的標稱軌道選在其各自已知觀測時段中間時刻對應(yīng)的瞬時軌道(來自近地天體動態(tài)網(wǎng)站(Near Earth Objects Dynamic Site,NEODyS)),因為此刻的軌道是相對而言限制條件最優(yōu)的[20],分別對應(yīng)儒略日JD=2455061.9 (1989 ML)和JD=2457165.8(Nereus).各軌道根數(shù)的具體值見表2和表3.在Mercury程序計算中,首先把它們積分到跟大天體一致的時刻再一起計算.

2.3 克隆粒子的選取

為了對觀測誤差范圍內(nèi)兩個小行星可能的動力學(xué)特征做進一步的研究,我們利用NEODyS中給出的小天體軌道根數(shù)和對應(yīng)協(xié)方差矩陣[21]1NEODyS中給出的小天體軌道根數(shù)有效數(shù)字太少,而Horizon中最小步長被限制為1 d.為了提高精度,對a、e、i、ω、? 5個根數(shù)實行Horizon中相鄰兩個瞬時根數(shù)的線性插值.平近點角M還是取的NEODyS給出的原值.,根據(jù)多元正態(tài)分布分別為兩個小行星選取了1000組鄰近的軌道根數(shù)作為其克隆粒子.

3 主要結(jié)果

本節(jié)首先從小行星的穩(wěn)定性討論出發(fā),利用最大Lyapunov指數(shù)(MLE)與MEGNO指數(shù)(Mean Exponential Growth factor of Nearby Orbit)給出小行星目前軌道的Lyapunov時間.其次,通過對克隆粒子的統(tǒng)計,給出10萬年內(nèi)小行星的可能運動范圍以及在此時間段內(nèi)與大行星的密近交匯及碰撞情況.最后,針對其標稱軌道,分析了對軌道有重要影響的各種共振.

3.1 最大Lyapunov指數(shù)與MEGNO指數(shù)

這兩個指數(shù)都是需要在N體演化的過程中計算的.MEGNO指數(shù)在Lyapunov指數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來,平均MEGNO指數(shù)隨時間變化的斜率即對應(yīng)最大Lyapunov指數(shù).在大多數(shù)情況下相比Lyapunov指數(shù),MEGNO指數(shù)可以更快地收斂到極限值[22],計算效率較高,因此常用于相空間的掃描.計算用到的微分方程表達式見附錄.

模擬過程中對初始軌道距離d0和正規(guī)化時間間隔δT兩個參數(shù)的說明如下:

?由于MLE和MEGNO的大小衡量了某軌道附近軌道隨時間推移的偏離程度,在計算的初始設(shè)置中需要首先設(shè)定一個軌道距離d0.本文中d0的具體設(shè)置如下:分別以小行星的標稱軌道和6個軌道根數(shù)1?σ誤差處(均取加號)對應(yīng)的軌道求其相對于太陽的位矢,兩個位矢之差取模作為d0.同時計算了軌道根數(shù)最大誤差取減號時與標稱軌道之間的位矢差作d0的情況,發(fā)現(xiàn)d0的變化并沒有對指數(shù)的演化結(jié)果產(chǎn)生本質(zhì)影響.

?為了避免軌道演化過程中軌道距離向量δ隨時間快速增長以致溢出,需要在固定的時間間隔δT內(nèi)對其進行正規(guī)化.δT越小,上述指標在時間演化過程中的穩(wěn)定性越好[23].基于穩(wěn)定性以及計算效率的考慮,本文計算中設(shè)置了δT=3 yr.

圖1給出了在太陽系主要動力系統(tǒng)背景下1989 ML小行星的MLE、Y及〈Y〉隨時間的演化.由圖可知,1989 ML的MLE～10?2.4,對應(yīng)Lyapunov時間TL～251 yr,與文獻[24]中給出的TL=226.2 yr相當(dāng).圖1(c)中〈Y〉的斜率即對應(yīng)最大Lyapunov指數(shù)值,與圖(a)中的MLE值一致.

圖1 1989 ML標稱軌道的最大Lyapunov指數(shù)、MEGNO指數(shù)Y 及平均MEGNO指數(shù)〈Y〉隨時間t的演化Fig.1 Time evolution of the maximal Lyapunov exponent,the MEGNO Y and the average MEGNO 〈Y〉of the nominal orbit of 1989 ML

圖2 Nereus標稱軌道的最大Lyapunov指數(shù)、MEGNO指數(shù)Y 及平均MEGNO指數(shù)〈Y〉隨時間t的演化Fig.2 Time evolution of the maximal Lyapunov exponent,the MEGNO Y and the average MEGNO 〈Y〉of the nominal orbit of Nereus

用相同方法計算了Nereus的上述兩個穩(wěn)定性指標,發(fā)現(xiàn)在演化了10萬年之后,MLE仍沒有收斂.這是由于此小行星的軌道極其不穩(wěn)定,其半長徑相比初值已經(jīng)變化很多,從而導(dǎo)致其軌道在相空間中的位置不斷變化.這也說明這兩種指標在衡量天體穩(wěn)定性方面對N體運動(N >3)中極其混沌的軌道并不適用[23].我們只能從前1萬年的演化中提取出一個MLE的近似值～10?1.25,對應(yīng)TL～18 yr.與其相比,文獻[24]中給出的TL=41.8 yr,文獻[25]中給出的TL=23 yr.這其中的差別一是由于Nereus的軌道極不穩(wěn)定,二是由于MLE這種穩(wěn)定性指標只能作量級上的參考,具體的精確值并無意義[26].

3.2 運動的可能范圍區(qū)間

本小節(jié)通過統(tǒng)計1000個克隆粒子的運動軌跡得到1989 ML與Nereus兩個小行星在10萬年內(nèi)的可能運動范圍.

固定輸出間隔100 yr,在每個輸出時刻取所有克隆粒子各軌道根數(shù)的最大和最小值,得出小行星可能的運動范圍,如圖3和圖4所示.從中可以看出,小行星1989 ML在前后10萬年內(nèi)a∈[1.25,1.3]au附近,e∈[0.1,0.21],i∈[0°,8°],軌道可能區(qū)間在其標稱軌道附近.而小行星Nereus在前后10萬年a∈[1,2.2]au范圍,已超出火星軌道到達主帶小行星區(qū)域;e∈[0.1,0.6],i∈[0°,10°],如此大的范圍也反映了其軌道極端混沌.

圖3 1989 ML在前后10萬年(左圖)及[?3000,2000]年內(nèi)(右圖)的可能運動范圍Fig.3 Possible moving ranges of 1989 ML within 0.1 Myr forward and backward (the left panel) and within the time interval [?3000,2000] yr (the right panel)

圖4 Nereus在前后10萬年(左圖)及500 yr內(nèi)(右圖)的可能運動范圍Fig.4 Possible moving ranges of Nereus within 0.1 Myr forward and backward (the left panel) and within 500 yr (the right panel)

圖5給出前后10萬年內(nèi)兩個小行星的各1000個克隆粒子在a-e相空間內(nèi)的出現(xiàn)概率分布圖.圖像是這樣得出的:先根據(jù)小行星半長徑和偏心率的可能范圍取固定的區(qū)間(對1989 ML,a∈[0.65,1.8]au,e∈[0.0,0.5];對Nereus,a∈[0.5,2.8]au,e∈[0.0,0.85]),將每個區(qū)間分成200等份,對所有200×200個2維區(qū)間,記錄落在每個區(qū)間輸出值的次數(shù).

由圖5(上)可以看出,1989 ML在a-e圖中的集中分布區(qū)域垂直于a軸,表明小行星1989 ML目前所處相空間起主導(dǎo)作用的為平運動共振.圖中用紅色虛線標出了小行星的標稱軌道與類地行星的主要平運動共振位置,分別為水星1:6、金星3:7、地球7:10和火星25:19.第3.4節(jié)還將對此做詳細的討論.與此相對應(yīng),圖5(下)中顯示的Nereus的a-e分布圖集中分布區(qū)域則沿著與地球軌道相交線的內(nèi)邊緣,這表明Nereus所處的相空間中,與地球的密近交匯及碰撞起到了主導(dǎo)作用[1],這與文獻[18]的結(jié)論是一致的.通過分布圖還可以看出近地小行星的克隆粒子在金星、地球和火星的特洛伊小行星、處于各平運動共振的小行星(圖中垂直于a軸的細長區(qū)域)以及高偏心率的主帶小行星在這些區(qū)域均有出現(xiàn),說明這些區(qū)域與近地小行星當(dāng)前的相空間都是高度聯(lián)通的,這也喻示了這些不同族群的小行星之間相互遷移轉(zhuǎn)化的可能性.

圖5 1989 ML (上圖)和Nereus (下圖)前后10萬年內(nèi)在半長徑-偏心率相空間中的分布圖.以100 yr為輸出時間間隔,圖中顏色表示lg(X +1),其中X為粒子落在某區(qū)域的次數(shù),+1是將次數(shù)為0的區(qū)域變?yōu)?,從而取對數(shù)時為0.圖中黑色實線劃出了與地球軌道相交的范圍,線上為可相交區(qū)域,黑色虛線為與火星軌道相交范圍.紅色實線為金星、地球、火星的軌道位置(從左向右),紅色虛線為行星的平運動共振位置,E 7:10為地球的外7:10共振,Ma 25:19為火星的內(nèi)25:19共振,V 3:7為金星的外3:7共振,Me 1:6為水星的外1:6共振,4個共振從上到下依次對應(yīng)從左向右的紅色虛線.紅色圓點代表小行星當(dāng)前位置.Fig.5 The distribution of 1989 ML (top) and Nereus (bottom) in the semi-major axis versus eccentricity phase space within 0.1 Myr forward and backward.Taking 100 years as the output time interval,the color in the figure represents lg(X +1),where X is the number of times a particle falls in a certain area,and+1 is to change the number of times 0 into 1,thus taking the logarithm as 0.In the figure,the black solid lines limit crossing areas with the orbit of Earth,above the line is the crossing area,and the black dotted line with the orbit of Mars.The red solid lines show locations of Venus,Earth and Mars (from left to right),and red dotted lines are mean motion resonance spots with planets,E 7:10 means outer 7:10 resonance of Earth,Ma 25:19 inner 25:19 of Mars,V 3:7 outer 3:7 of Venus,Me 1:6 outer 1:6 of Mercury,the four resonances from top to bottom correspond to the red dotted lines from left to right.The red dot represents current position of the Asteroids.

3.3 密近交匯與碰撞概率統(tǒng)計

本小節(jié)統(tǒng)計了1989 ML前后50萬年內(nèi)和Nereus前后10萬年內(nèi)與地球、月球、金星及火星的密近交匯及碰撞概率.

通過圖6可以看出,1989 ML在前后10萬年內(nèi)與地球發(fā)生密近交匯的概率很小(<0.1%),前后10萬年內(nèi)的密近交匯均是與火星發(fā)生的.而與地球的密近交匯在10萬年后發(fā)生,并且隨著時間呈遞增趨勢.在20萬年之后還會發(fā)生與月球和金星的密近交匯,次數(shù)也是隨時間遞增的.通過對交匯最小距離的統(tǒng)計得知,50萬年內(nèi)進入地球和火星0.1個Hill半徑的次數(shù)相當(dāng),同時隨著最小距離的增加,交匯次數(shù)呈遞增趨勢.

圖6 兩個小行星與4個類地行星的密近交匯次數(shù)統(tǒng)計圖.左圖為密近交匯時間落在等間距區(qū)間內(nèi)的次數(shù)統(tǒng)計,右圖為密近交匯時的最近距離落在若干倍行星Hill半徑內(nèi)的次數(shù)統(tǒng)計.Fig.6 The statistics of numbers of close encounters between the Asteroids and four terrestrial planets.The panels on the left show numbers of times of close encounters moment within equidistant interval,and the ones on the right show numbers of times for the nearest distances during close encounters locating in the range of several times of Hill radius of planets.

與第3.2節(jié)得出的結(jié)論相統(tǒng)一,由于Nereus處在地球碰撞主導(dǎo)的范圍內(nèi),所以從一開始就與地球頻繁交匯,同時交匯次數(shù)隨時間呈遞減關(guān)系.向前10萬年內(nèi)與地球的交匯次數(shù)也是隨時間遞減的.由此可知,Nereus目前正處在與地球最“密切”的階段.相對而言,與月球和火星的交匯次數(shù)相當(dāng),與金星也有交匯,次數(shù)較少.同時,統(tǒng)計中向后10萬年內(nèi)

他們性格迥然，愛好有別，但對市場、生存、競爭天生敏感，絕不含糊。他們能夠忍受：高強度工作、長時間壓力、不確定風(fēng)險。

還有3次與Vesta交匯,向前10萬年內(nèi)與Vesta交匯4次,與Ceres交匯2次.

表4和表5給出了兩個小行星與各大行星在向后一段時間內(nèi)的碰撞次數(shù)及概率.可以看出,1989 ML一直到50萬年與各大行星的碰撞概率都很小;而Nereus在10萬年內(nèi)的碰撞均是與地球發(fā)生的,這也與圖5中它在a-e相空間中的輪廓分布相一致.

表4 1989 ML在10萬年及50萬年內(nèi)與各大行星的碰撞次數(shù)及概率統(tǒng)計Table 4 Number of times and probability statistics of collisions between 1989 ML and planets within 0.1 Myr and 0.5 Myr

表5 Nereus在10萬年內(nèi)與各大行星的碰撞次數(shù)及概率統(tǒng)計Table 5 Number of times and probability statistics of collisions between Nereus and planets within 0.1 Myr

3.4 共振分析

影響近地小行星的共振主要包括長期共振、Kozai共振及與類地行星的平運動共振.長期共振主要作用是激發(fā)小行星的軌道偏心率或軌道傾角,是軌道不穩(wěn)定的一個因素.而Kozai共振,即近點角距被鎖定在某個固定值時(低傾角時在0或180°,高傾角時在90°或270°[27],或者說,低傾角時軌道近心點一直在軌道升交點或降交點附近,而高傾角時軌道近心點一直在軌道升交點和降交點中間的兩點附近),小行星在近心點或遠心點時穿過黃道面(即近點角距為0或180°),而其近心點或遠心點離1 au較遠,所以可以很好地避開與地球的密近交匯,從而保持穩(wěn)定.相類似地,平運動共振也可使小行星避開密近交匯,從而增加某個軌道的穩(wěn)定時間.

圖7和圖8給出了1989 ML的標稱軌道在向前向后演化3 Myr的過程中受到各種共振的影響.由圖中看出,小行星1989 ML在所展示的時間段內(nèi)與地球、火星和土星均有長期共振的作用.同時在向后的演化中,小行星的密近交匯較向前演化明顯少了很多,主要歸因于平運動共振,包括火星25:19、地球7:10、金星3:7和水星1:6位置.其中與地球的7:10共振發(fā)生的時間持續(xù)最長,對于穩(wěn)定軌道起了主要作用.

圖7 1989 ML標稱軌道向前向后演化3 Myr過程中半長徑、偏心率、軌道傾角及與地球、火星、木星的長期共振角隨時間的演化.從上到下縱坐標依次為半長徑、偏心率、軌道傾角、與火星、地球、土星的ω長期共振以及與火星、地球的?長期共振,共振角表達式分別為?ωM= ω?ωM、?ωE= ω?ωE、?ωS= ω?ωS、??M=???M、??E=???E,其中ω、ωM、ωE、ωS分別為小行星、火星、地球和土星的近點角距,?、?M、?E分別為小行星、火星、地球的升交點經(jīng)度.圖中灰色豎線表示在對應(yīng)時刻發(fā)生的密近交匯,黑色豎線表示發(fā)生密近交匯時與主天體的最小距離小于0.001 au.Rad mod 2π表示對2π取模.Fig.7 The time evolution of semi-major axis,eccentricity,orbital inclination of the nominal orbit of 1989 ML and its secular resonance angles with Earth,Mars and Jupiter in the process of 3 Myr forward and backward.From top to bottom Y-axes are semi-major axis,eccentricity,orbital inclination,ω secular resonance with Mars,Earth,Saturn,as well as ? secular resonance with Mars and Earth,the resonant arguments are ?ωM= ω?ωM,?ωE= ω?ωE,?ωS= ω?ωS,??M=???M,??E=???E respectively.Here,ω,ωM,ωE,ωS are the arguments of periastron of asteroid,Mars,Earth and Saturn,?,?M,?E are longitudes of ascending node of asteroid,Mars and Earth,respectively.In the figure,the grey vertical line indicates close encounters occurring at the corresponding time,and the black vertical line indicates that the minimum distance from the main body during the close encounter is less than 0.001 au.Rad mod 2π denotes modulo 2π.

圖8 1989 ML標稱軌道向后演化3 Myr過程中半長徑、偏心率、軌道傾角、近點角距及與類地行星的4個平運動共振角隨時間的演化,從上到下依次為火星5:4、地球7:10、金星3:7、水星1:6.圖中灰色豎線表示在對應(yīng)時刻發(fā)生的密近交匯,黑色豎線表示發(fā)生的密近交匯的最小距離小于主天體的0.001 au.Fig.8 The evolution of semi-major axis,eccentricity,orbital inclination,argument of pericentre of the nominal orbit of 1989 ML and its Mean Motion Resonance critic angles with the terrestrial planets versus time in the process of 3 Myr forward.From top to bottom:5:4 with Mars,7:10 with Earth,3:7 with Venus,and 1:6 with Mercury.In the figure,the grey vertical line indicates close encounters occurring at the corresponding time,and the black vertical line indicates that the minimum distance from the main body during the close encounter is less than 0.001 au.

Nereus的標稱軌道向前向后演化3 Myr的過程中,其受到的各種共振作用如圖9和圖10所示.Nereus的演化中發(fā)生密近交匯的頻率較大,但有兩個時間段很穩(wěn)定,沒有任何的密近交匯,分別是0.7–1.2 Myr和1.5–2.8 Myr.而這兩個時間段分別對應(yīng)地球的11:14平運動共振和Kozai共振(圖10中從上到下第6、4圖),說明了這兩種共振對小天體的保護作用.值得注意的是,文獻[18]中選取的Nereus的5個克隆粒子的演化過程中也出現(xiàn)了以上兩個共振的作用.同時小天體還受到地球、火星和土星較明顯的長期共振作用.

圖9 Nereus標稱軌道向前向后演化3 Myr過程中半長徑、偏心率、軌道傾角、近點角距、升交點經(jīng)度及與火星、地球、土星的ω長期共振角(按從上到下的順序?ωM= ω?ωM,?ωE= ω?ωE,?ωS= ω?ωS,其中ω、ωM、ωE、ωS分別為小行星、火星、地球和土星的近點角距)隨時間的演化.圖中灰色豎線表示在對應(yīng)時刻發(fā)生的密近交匯,黑色豎線表示發(fā)生的密近交匯的最小距離小于主天體的0.001 au.Fig.9 The evolution of semi-major axis,eccentricity,orbital inclination,argument of pericentre,longitude of ascending node of the nominal orbit of Nereus,as well as its secular resonance angles with Mars,Earth and Jupiter versus time in the process of 3 Myr simulation forward and backward (from top to bottom are ?ωM= ω?ωM,?ωE= ω?ωE,?ωS= ω?ωS.Here,ω,ωM,ωE,ωS are the arguments of periastron of asteroid,Mars,Earth and Saturn.).In the figure,the grey vertical line indicates close encounters occurring at the corresponding time,and the black vertical line indicates that the minimum distance from the main body during close encounter is less than 0.001 au.

圖10 Nereus標稱軌道向后演化3 Myr過程中半長徑、偏心率、軌道傾角、近點角距及與類地行星的4個共振角(從上到下依次為火星3:2、地球11:14、地球7:10、金星1:2)隨時間的演化.圖中灰色豎線表示在對應(yīng)時刻發(fā)生的密近交匯,黑色豎線表示發(fā)生的密近交匯的最小距離小于主天體的0.001 au.Fig.10 The evolution of nominal orbit of Nereus with time for backward within 3 Myr,including semi-major axis,eccentricity,orbital inclination,argument of pericentre and four resonance angles with the terrestrial planets (from top to bottom:Mars 3:2,Earth 11:14,Earth 7:10,Venus 1:2).In the figure,the grey vertical line indicates close encounters occurring at the corresponding time,and the black vertical line indicates that the minimum distance from the main body during the close encounter is less than 0.001 au.

4 結(jié)論

近地小行星(10302) 1989 ML與(4660) Nereus是下一代小行星探測項目的重要候選體.本文從動力學(xué)方面研究了這兩個小行星的軌道特征及演化可能性.首先,結(jié)合N體運動方程、軌道距離變分方程和MEGNO指數(shù)對應(yīng)的兩個方程,通過積分給出了最大Lyapunov指數(shù)與MEGNO指數(shù),從而計算出1989 ML和Nereus的Lyapunov時間分別為251 yr和18 yr.其次,通過對1000個克隆粒子的統(tǒng)計,給出了小行星在10萬年內(nèi)各軌道根數(shù)可能的運動范圍,顯示了小行星在半長徑-偏心率相空間中的出現(xiàn)次數(shù)分布圖,同時對50萬年內(nèi)1989 ML小行星(10萬年內(nèi)Nereus小行星)與大行星的密近交匯及碰撞次數(shù)進行了統(tǒng)計分析.最后,針對標稱軌道,分析了前后3 Myr內(nèi)不同時間段所受的各種共振及具體影響.

由于本文中所用力模型較粗糙,并沒有考慮譬如相對論效應(yīng)、非球形引力及太陽光壓、Yarkovsky效應(yīng)等非引力效應(yīng),所考慮的引力效應(yīng)中僅包含4個最大的小行星,沒有考慮更多小行星的影響,所以只能基于統(tǒng)計做定性分析,并未涉及定量的短期軌道預(yù)測.基于歷表的高精度短期軌道計算及小行星所需力模型的討論分析,應(yīng)是下一步工作的方向之一.

附錄

本文利用N體運動方程、軌道距離變分方程及MEGNO指數(shù)的兩個方程來計算MLE及MEGNO指數(shù).N體運動方程表達式如下:

或者將右面兩項合并,也可寫作

其中M?、mq分別表示中心天體(此處為太陽)和第q個天體的質(zhì)量,r0、rq分別為中心天體和第q個天體相對于系統(tǒng)質(zhì)心的位矢.為簡便起見,以下推導(dǎo)均用(2)式.

該表達式表示成一階微分方程組的形式如下:

此方程組也可表示為以下向量形式:

在此基礎(chǔ)上利用以下公式來計算最大Lyapunov指數(shù)L、MEGNO指數(shù)Y及平均MEGNO指數(shù)〈Y〉,

‖·‖表示對其中向量求范數(shù),計算時可用向量的模這一特殊范數(shù)代替.式中參數(shù)由以下微分方程組來計算:

其中δ為6N維向量,表示相鄰軌道間距或軌道發(fā)散指標,A為函數(shù)向量f對變量向量X的6N×6N維雅克比矩陣,具體表達式如下:

其中

將A的表達式代入關(guān)于δ的微分方程組((8)式),可得

此處6N個微分方程組與(2)式中的6N個微分方程組結(jié)合,計算103–104倍的系統(tǒng)特征周期(可看作系統(tǒng)中最外面大天體的軌道周期),即可得到可靠的MEGNO指數(shù)[23].