立足概念教學(xué)，培養(yǎng)思維概括

徐瑞

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)之本，解題之源，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的成功與否直接影響數(shù)學(xué)思維以及創(chuàng)新能力的發(fā)展.但由于課時(shí)緊張、考試壓力等種種原因，有些教師在實(shí)際概念教學(xué)中還是以教師講解為主，留給學(xué)生探索、交流概念形成的時(shí)間很少.這種忽視概念形成過(guò)程的教學(xué)，違背了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，學(xué)生僅機(jī)械識(shí)記，導(dǎo)致停留在概念的表面.由于沒(méi)有深層次的理解概念，學(xué)生概念學(xué)習(xí)不久后便會(huì)出現(xiàn)概念混淆、遺忘的現(xiàn)象，不能靈活應(yīng)用概念解決問(wèn)題，不利于學(xué)生能力的發(fā)展.基于此，筆者在反思性研究的基礎(chǔ)上，以浙教版教材八年級(jí)上冊(cè)“2.6逆命題和逆定理”為例，對(duì)概念學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)做了一些探究和嘗試，印證“學(xué)生先行，交流呈現(xiàn)，教師斷后”的教學(xué)設(shè)計(jì)，現(xiàn)闡述如下，以期拋磚引玉.

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

1、情境創(chuàng)設(shè)，激活思維

環(huán)節(jié)1：閱讀幻燈片內(nèi)容，獨(dú)立思考完成

預(yù)設(shè)問(wèn)題1：幻燈片上 “綠水青山就是金山銀山”這句話，用第一章學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)名詞來(lái)表示，它應(yīng)該叫什么？

預(yù)設(shè)問(wèn)題2：： 觀察下列4個(gè)句子，依序回答句后三個(gè)小問(wèn)題：

①對(duì)頂角相等. ②作一個(gè)角等于已知角.③兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和仍是無(wú)理數(shù).④線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.

（1）下列句子哪些是命題？

（2）若是命題，請(qǐng)判斷真假.

（3）若是真命題，請(qǐng)寫(xiě)成“如果…那么…”的形式，并說(shuō)出命題的條件和結(jié)論.

教師活動(dòng)：順勢(shì)給出關(guān)于命題的思維導(dǎo)圖幻燈片。

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)問(wèn)題，引領(lǐng)復(fù)習(xí)，既體現(xiàn)學(xué)科育人理念，又自然引出命題的概念復(fù)習(xí)舊知，為課題學(xué)習(xí)做好鋪墊。學(xué)生通過(guò)對(duì)該環(huán)節(jié)的問(wèn)題思考、解答、交流，并借助思維導(dǎo)圖，經(jīng)歷了與本節(jié)課逆命題和逆定理有關(guān)的各種因素的再認(rèn)識(shí)過(guò)程，觸及到了本節(jié)課的概念雛形。

2、活動(dòng)引領(lǐng)，形成概念

環(huán)節(jié)1：小組交流討論完成表格.要求組內(nèi)每位成員先闡述自己的見(jiàn)解，然后交流達(dá)成共識(shí)，并做好展示交流準(zhǔn)備.

預(yù)設(shè)問(wèn)題1：觀察下面命題的條件和結(jié)論，你發(fā)現(xiàn)了什么？

①如果a=b，那么a2=b2. ②兩內(nèi)角相等的三角形是等腰三角形.

③同位角相等，兩直線平行.④如果a2=b2，那么a=b.

⑤等腰三角形兩個(gè)底角相等.⑥兩直線平行，同位角相等.

環(huán)節(jié)2：師生共同參與發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)交換命題的條件和結(jié)論的方法來(lái)構(gòu)造新命題，并形成逆命題的概念.而這節(jié)課的研究對(duì)象就是由此產(chǎn)生的新命題（揭示課題），

預(yù)設(shè)問(wèn)題2：你能寫(xiě)出“綠水青山就是金山銀山”的逆命題嗎？

預(yù)設(shè)問(wèn)題3：以上命題哪幾個(gè)是定理 ，它們之間有什么關(guān)系？

環(huán)節(jié)3：師生一起歸納互逆定理的定義：如果一個(gè)定理的逆命題能被證明是真命題，那么就叫它是原定理的逆定理，這兩個(gè)定理叫互逆定理.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)自己操作，在打亂的3對(duì)命題中找到條件結(jié)論互換的特征，充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，經(jīng)歷了原命題與逆命題是條件、結(jié)論互換的過(guò)程，進(jìn)而得出互逆命題的定義.并乘熱打鐵，以典型、豐富的實(shí)例為載體，通過(guò)小組討論的方式，展開(kāi)觀察、分析屬性，抽象概括出共同本質(zhì)特征，自然地引出互逆定理的概念.也體現(xiàn)了“以學(xué)為中心”的課改理念.

3、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，探究本質(zhì)

預(yù)設(shè)問(wèn)題1：寫(xiě)出下列各題的逆命題？并判斷原命題和逆命題的真假

（1）如果|a|=|b|，那么a=b.

（2）等邊三角形的三個(gè)角都是60°

（3）兩個(gè)全等三角形的面積相等

（讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，畫(huà)出兩個(gè)面積相等的三角形但不全等，并讓學(xué)生上臺(tái)展示，如有不同情況的，還可上來(lái)補(bǔ)充，教師則利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示面積相等的兩個(gè)三角形不全等.）

預(yù)設(shè)問(wèn)題2：下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，請(qǐng)說(shuō)出逆定理：

（1）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

（2）對(duì)頂角相等.

（3）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

預(yù)設(shè)問(wèn)題3：歸納反思

（1）每個(gè)命題都有逆命題嗎？（2）真命題的逆命題一定是真命題嗎？

（3）每個(gè)定理都有逆命題嗎？（4）每個(gè)定理的逆命題都有真命題嗎？

設(shè)計(jì)意圖：概念得出后，學(xué)生只是建立了一個(gè)抽象、概括的語(yǔ)句框架，只有通過(guò)解題，學(xué)生才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的內(nèi)涵和外延.本環(huán)節(jié)設(shè)置了3個(gè)題組，層層遞進(jìn)，讓學(xué)生動(dòng)手、大膽猜想充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，全方位調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.通過(guò)討論思考，學(xué)生經(jīng)歷了定理與逆命題的關(guān)系，以及他們之間的真假性沒(méi)有因果關(guān)系的過(guò)程，抓住本質(zhì).

4、概念應(yīng)用，拓展提升

環(huán)節(jié)1：教師引導(dǎo)，學(xué)生參與，共同解決教材例1：說(shuō)出線段垂直平分線的性質(zhì)定理“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”的逆命題，并證明這個(gè)逆命題是真命題.

預(yù)設(shè)問(wèn)題1：定理中的條件和結(jié)論分別是什么？能不能只是把原命題的條件和結(jié)論交換位置呢？（可以提示學(xué)生注意組織適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)句敘述出逆命題.）

預(yù)設(shè)問(wèn)題2：（1）過(guò)P作PC⊥AB，交于點(diǎn)O.要證明PC平分AB（即OA=OC）只要證明什么？怎么證明？（2）這條直線上有一點(diǎn)沒(méi)法采用這種方法去證明，是哪一點(diǎn)？這一點(diǎn)怎么證明？

環(huán)節(jié)2：給出學(xué)法指導(dǎo)提示：① 根據(jù)題意畫(huà)出圖形. ② 在圖形上標(biāo)注已知條件.③ 寫(xiě)出已知與求證. ④ 分析要證的點(diǎn)P 在線段AB 的垂直平分線上，需要做什么. ⑤ 根據(jù)分析結(jié)果進(jìn)行推理證明.教師在學(xué)生獨(dú)立完成任務(wù)的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生相互反饋，同時(shí)示范證明的過(guò)程

環(huán)節(jié)3：拓展提高，提升自我.

預(yù)設(shè)問(wèn)題3：寫(xiě)出定理“等腰三角形底邊上的高與中線重合”的逆命題，并證明這個(gè)逆命題是真命題

設(shè)計(jì)意圖：例1要直接證明點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上是不常見(jiàn)的，我們可以轉(zhuǎn)化為證明AB的垂線PC平分線段AB.當(dāng)一種證明過(guò)程不能代表全部情況時(shí)，需分別討論，分別敘述.（通過(guò)幾何畫(huà)板演示，P點(diǎn)在線段AB上時(shí)情況）幾何語(yǔ)言：∵PA=PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上（或過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線平分AB，或過(guò)點(diǎn)P和AB的中點(diǎn)的直線垂直AB）.這里需要注意兩點(diǎn)：①注意組織適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)句敘述出逆命題，不能只是把原命題的條件和結(jié)論交換位置.②引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化等價(jià)命題和分類討論等數(shù)學(xué)思想的必要性.

5、回顧反思，小結(jié)收獲

預(yù)設(shè)問(wèn)題1：本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？

借助具體問(wèn)題的解答過(guò)程，通過(guò)師生交流梳理出如下圖所示的思維導(dǎo)圖：

設(shè)計(jì)意圖：用思維導(dǎo)圖的形式對(duì)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行回顧與梳理，既讓學(xué)生明確概念從哪里來(lái)，到哪里去，又方便學(xué)生從整體上掌握概念，使得學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化.

二、教學(xué)立意

在這堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，筆者緊緊圍繞 “立足概念教學(xué)，培養(yǎng)思維概括 ”這一主題，在領(lǐng)會(huì)教材內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，開(kāi)拓創(chuàng)新，通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手、大膽猜想、觀看多媒體、幾何畫(huà)板演示等，充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，全方位調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生在整個(gè)課堂學(xué)習(xí)過(guò)程中，既動(dòng)手又動(dòng)腦，既參與小組討論又鍛煉自己獨(dú)立的幾何言語(yǔ)表達(dá)，既提高解決幾何問(wèn)題的能力又培養(yǎng)規(guī)范的幾何證明書(shū)寫(xiě)習(xí)慣.

1、突出表現(xiàn)“以本為本”和“以學(xué)定教”

在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中嚴(yán)格按照教材的設(shè)計(jì)思路，但又不囿于教材，實(shí)現(xiàn)了教教材和用教材教的轉(zhuǎn)變.通過(guò)整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)可以看出，第一部分的問(wèn)題1中表格與教材相比多了一對(duì)命題，而且在打亂的三對(duì)命題中讓學(xué)生找到條件結(jié)論互換的特征.另外所有的題目都來(lái)自于教材，但又進(jìn)行了一定的整合，通過(guò)題目為本串起了一條“暗線”------三對(duì)互逆命題中有兩對(duì)原命題和逆命題都是真命題，通過(guò)小組討論的方式，體驗(yàn)互逆定理的定義產(chǎn)生過(guò)程.

2、重點(diǎn)落實(shí)“學(xué)科育人”和“核心素養(yǎng)”

在整個(gè)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)中對(duì)“學(xué)科育人”做了初步嘗試，具體體現(xiàn)在用“綠水青山就是金山銀山”引出命題的概念，滲透了節(jié)約資源、保護(hù)環(huán)境的德育理念.學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)是中國(guó)學(xué)生發(fā)展的六大核心素養(yǎng)之一，其基本要點(diǎn)就是勤于反思，在整個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程中的4個(gè)反思性小問(wèn)題及最后的反思總結(jié)把學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解引入深處，為學(xué)生的自主反思作出了一定的努力.

3、精心設(shè)計(jì)“思維導(dǎo)圖”和“過(guò)程教育”

在整個(gè)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)中，一前一后都精心設(shè)置了思維導(dǎo)圖，首尾呼應(yīng)以幫助學(xué)生梳理知識(shí)，使學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化.而且該設(shè)計(jì)還包括概念的形成過(guò)程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)知過(guò)程既包括在構(gòu)造具體命題的逆命題基礎(chǔ)上的定義，以獲得逆命題和逆定理的概念，也包括獲得概念之后的反思.這種設(shè)計(jì)不但能使學(xué)生獲得逆命題和逆定理的概念，也能使學(xué)生積累構(gòu)造逆命題的經(jīng)驗(yàn)，做到了“思維”與“導(dǎo)圖”齊飛，“過(guò)程”與“方法”交融.

參考文獻(xiàn)：

[1]王媛媛. 基于“四基”的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D]. 重慶師范大學(xué)，2013.

[2]邵光華，章建躍. 數(shù)學(xué)概念的分類、特征及其教學(xué)探討[J]. 課程.教材.教法，2009（7）：47-51.