切中肯綮，培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯思維能力

李飛

【摘 要】邏輯思維是以抽象概念、判斷和推理為基本形式，通過(guò)分析、綜合、比較、抽象、概括等思維過(guò)程將思維內(nèi)容加以聯(lián)結(jié)和組織，從而反映事物的本質(zhì)特征和規(guī)律性聯(lián)系的一種高階思維模式，對(duì)于培養(yǎng)及提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有積極的教學(xué)效用。因此，本文以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力為切入點(diǎn)，探討在數(shù)學(xué)課堂中系統(tǒng)性地引導(dǎo)學(xué)生邏輯思維發(fā)展的可行措施，以真正建構(gòu)起高品質(zhì)的高中數(shù)學(xué)課堂。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);邏輯思維;核心素養(yǎng)

邏輯思維是一種理性思維，也是一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須具備的高階思維。在引導(dǎo)學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升為反映客觀事物本質(zhì)及規(guī)律性聯(lián)系的理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程中，學(xué)生思維的有序性、系統(tǒng)性、發(fā)散性等諸多方面的思維品質(zhì)都能獲得良好的發(fā)展與提升。因此，從這個(gè)思路出發(fā)，本文主要圍繞推導(dǎo)公式、抓住特征、舉一反三、多元猜想、歸納演繹、分析綜合這幾個(gè)方面進(jìn)行具體探討，以引導(dǎo)學(xué)生逐步建構(gòu)起邏輯思維模型，實(shí)現(xiàn)從具象思維到抽象思維、低階思維到高階思維的提升與跨越。

一、推導(dǎo)公式，探討因果話題

邏輯思維可以理解為學(xué)生運(yùn)用表象和概念進(jìn)行分析、綜合、判斷、推理等認(rèn)識(shí)活動(dòng)的思維形式。具體到高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，我們可以通過(guò)對(duì)公式的推導(dǎo)來(lái)幫助學(xué)生經(jīng)歷與體驗(yàn)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，讓學(xué)生不僅“知其然”，更能“知其所以然”，以此來(lái)推動(dòng)學(xué)生邏輯推理水平的提升。

例如，以等比數(shù)列的前n項(xiàng)和來(lái)講，求和公式比較復(fù)雜，當(dāng)公比q=1時(shí)，Sn=na1;當(dāng)q不等于1時(shí)，Sn=a1（1-qn）/（1-q）或 Sn=（a1-an*q）/（1-q），學(xué)生在應(yīng)用這一公式的時(shí)候很容易混淆或者是記不起來(lái)，這很大一部分原因就在于學(xué)生并沒有真正理解這一公式的實(shí)際意義。因此，教師要在課堂上讓學(xué)生自主探索經(jīng)歷這一公式的推導(dǎo)過(guò)程。其實(shí)在推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的時(shí)候，我們運(yùn)用的是錯(cuò)位相減法，寫出Sn=a1+a2+a3+...+an（公比為q）及q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a（n+1），兩式相減，再經(jīng)過(guò)計(jì)算化簡(jiǎn)就可以得到求和公式。這樣學(xué)生不僅能加深對(duì)這一公式的理解，了解公式的形成過(guò)程，也能在記不起公式的時(shí)候根據(jù)這一推導(dǎo)過(guò)程再進(jìn)行推理，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)效果會(huì)更好。

數(shù)學(xué)公式是表征事物數(shù)量之間關(guān)系的一種表達(dá)形式，對(duì)于公式的推導(dǎo)可以引導(dǎo)學(xué)生將公式的學(xué)習(xí)由被動(dòng)的接受知識(shí)轉(zhuǎn)化為主動(dòng)的思維訓(xùn)練，這樣學(xué)生才能理解公式的形成過(guò)程與其中隱含的數(shù)學(xué)思想和方法，加深對(duì)公式的理解，并為公式的靈活運(yùn)用打好基礎(chǔ)。

二、抓住特征，引導(dǎo)層層遞推

數(shù)學(xué)推理的過(guò)程中很重要的就是要層層遞推，避免出現(xiàn)自相矛盾、混亂或者跳躍的情況，把握其中的遞推關(guān)系，這講究的就是思維的邏輯性。因此要想從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其它命題，教師就要引導(dǎo)學(xué)生把握思維過(guò)程與思維方法的邏輯性，遵循嚴(yán)密的邏輯規(guī)則展開層層推理，確保有根有據(jù)、條理分明、前后連貫。

以一道數(shù)學(xué)題目來(lái)講：函數(shù)f（x）=-x2+（2-b）x，x≤0;（2b-1）+b-1，x>0在R上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（ ? ）

A.[1，2] ? ? ? ? ? B.（ 1/2，2 ]

C.（1，2] ? ? ? ? ? D.（1，2）

很明顯這是一個(gè)分段函數(shù)，分為x≤0和x>0兩個(gè)區(qū)間。這道題切入點(diǎn)也就是要抓住的特征就是函數(shù)為增函數(shù)，那么要想滿足這個(gè)條件，首先函數(shù)在x≤0的范圍內(nèi)是單調(diào)遞增的，這時(shí)候函數(shù)為二次函數(shù)，要滿足對(duì)稱軸大于等于0這一條件：2-b/2≥0。第二個(gè)函數(shù)在x>0時(shí)也是單調(diào)遞增的，這時(shí)函數(shù)為一次函數(shù)，需滿足斜率大于0的條件：2b-1>0。最后函數(shù)的區(qū)分點(diǎn)，也就是x=0時(shí)也要滿足遞增的趨勢(shì)，可以得到0≤b-1的式子，三個(gè)等式一聯(lián)立，便可求出實(shí)數(shù)b的取值范圍。

也就是說(shuō)，教師可以通過(guò)問題引領(lǐng)的方式，通過(guò)設(shè)計(jì)由淺入深、由易到難、環(huán)環(huán)相扣、前后呼應(yīng)的問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)下抓住知識(shí)的本質(zhì)特征，主動(dòng)探索與觸及知識(shí)的本質(zhì)，這樣學(xué)生才能完整經(jīng)歷分析問題、思考問題、解答問題的邏輯性推理過(guò)程，進(jìn)行有意義的知識(shí)建構(gòu)。

三、舉一反三，嘗試逆向推理

《論語(yǔ)》有云：“舉一隅，不以三隅反，則不復(fù)也?！边@說(shuō)明的就是學(xué)生舉一反三能力的重要性與其非凡的價(jià)值。而要想有計(jì)劃、有意識(shí)地提升學(xué)生舉一反三的能力，教師就要善于引導(dǎo)學(xué)生不斷挖掘思考的深度和廣度，也就是垂直思考和發(fā)散性思考的意識(shí)與能力，讓學(xué)生做一題，學(xué)一法，會(huì)一類，通一片，以此來(lái)提升數(shù)學(xué)思維的靈活性與變通性。

以一道數(shù)學(xué)題目來(lái)講：若關(guān)于x的三個(gè)二次方程：2x2+3ax-4a+3=0，x2+（a-5）x+2a2=0，x2+2ax-7a=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。如果按照常規(guī)思路去解題的話，我們要去考慮的情況是非常多的，包括方程1有實(shí)數(shù)根或者方程2或者方程3只有一個(gè)方程有實(shí)根，以及方程1、方程2與方程3中任意兩個(gè)有實(shí)根以及三個(gè)方程都有實(shí)根的情況，可以說(shuō)是非常繁瑣且復(fù)雜的。但要想解答這道題，我們可以反其道而行之，只去計(jì)算三個(gè)方程都沒有實(shí)根這一種情況，再取它的補(bǔ)集即可，這也是我們?cè)诮獯鹨恍?shù)學(xué)題目的時(shí)候要應(yīng)用的解題新思路。

同時(shí)，教師也不能忽略對(duì)學(xué)生的逆向推理能力的培養(yǎng)。這也是引導(dǎo)學(xué)生從多種角度、多個(gè)方向去思考問題的時(shí)候要囊括進(jìn)去的思維類型。逆向也就是反向，當(dāng)常規(guī)思路不能或者是不便于推理出最后結(jié)論時(shí)，學(xué)生要樹立起“反其道而行之”的意識(shí)，敢于打破常規(guī)思路，擺脫思維定勢(shì)，這樣反而會(huì)起到意想不到的效果。

四、多元猜想，學(xué)會(huì)想象發(fā)散

愛因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，而想象力則概括了世界上的一切，它推動(dòng)著進(jìn)步，并且是知識(shí)進(jìn)化的源泉。”這在一定程度上揭示了“猜想”在知識(shí)學(xué)習(xí)特別是在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性。教師要善于引導(dǎo)學(xué)生在已有的知識(shí)積累與事實(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上，合理恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用猜想去探究數(shù)學(xué)知識(shí)、解答數(shù)學(xué)問題。