2021年高考數(shù)學(xué)文化試題統(tǒng)計(jì)與分析

摘 ? 要：2021年高考數(shù)學(xué)真題中有很多數(shù)學(xué)文化試題，這類(lèi)試題很好地考查了考生的閱讀理解能力，也很好地考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，落實(shí)了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》“一核四層四翼”的考查要求，凸顯了綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性。賞析2021年高考數(shù)學(xué)文化真題，以更好地梳理數(shù)學(xué)文化問(wèn)題所涉及的知識(shí)和方法，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷深度學(xué)習(xí)，提升學(xué)習(xí)能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化試題;試題特征與分析;備考建議

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1009-010X（2021）26-0004-05

一、引言

教育部印發(fā)的《完善中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育指導(dǎo)綱要》指出，“高中階段，以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的理性認(rèn)識(shí)為重點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生感悟中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的精神內(nèi)涵，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的自信心”。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂本）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》）在課程結(jié)構(gòu)章節(jié)給出的數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵是“數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)，以及他們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類(lèi)生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)。”還提出了在數(shù)學(xué)課程中融入數(shù)學(xué)文化。

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》一書(shū)在“一核——高考核心功能”的“立德樹(shù)人”部分指出“弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”。

2021年高考數(shù)學(xué)真題中有很多數(shù)學(xué)文化試題，這類(lèi)試題很好地考查了考生的閱讀理解能力，同時(shí)很好地考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。2021年高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化試題成為一道亮麗的風(fēng)景線(xiàn)，落實(shí)了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》和《課標(biāo)》中提出的對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查要求，凸顯了綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性。以下，筆者對(duì)2021年高考數(shù)學(xué)文化真題進(jìn)行賞析，并談?wù)?022年高考數(shù)學(xué)文化試題備考策略。

二、2021年高考數(shù)學(xué)文化試題特征統(tǒng)計(jì)與分析

2021年高考數(shù)學(xué)文化試題中，全國(guó)卷Ⅱ理科第21題是沒(méi)有給出背景的隱性數(shù)學(xué)文化試題，其他都是給出背景的顯性數(shù)學(xué)文化試題。老高考試卷全國(guó)Ⅱ卷中數(shù)學(xué)文化試題只出現(xiàn)在理科試卷中，一道是源自中國(guó)傳統(tǒng)文化中經(jīng)典著作的顯性文化試題，一道是源自外國(guó)數(shù)學(xué)文化的隱性數(shù)學(xué)文化試題。實(shí)行新高考的浙江卷和新高考Ⅰ卷中的數(shù)學(xué)文化試題都源自中國(guó)傳統(tǒng)文化。從類(lèi)別來(lái)看，主要為數(shù)學(xué)史料類(lèi)?？偟膩?lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)文化試題主要出現(xiàn)在選擇題和填空題中，解答題中很少。這些數(shù)學(xué)文化試題主要考查考生的閱讀理解能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，主要貫徹了理性精神、人文價(jià)值、科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和美學(xué)價(jià)值，主要滲透了勞育、德育和美育。

三、2021年高考數(shù)學(xué)文化試題賞析

全國(guó)Ⅱ卷理科第9題：魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海島的高。如圖，點(diǎn)E、F、G在水平線(xiàn)AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱(chēng)為“表高”，EG稱(chēng)為“表距”，GC與EH都稱(chēng)為“表目距”，GC與EH的差稱(chēng)為“表目距的差”.則海島的高AB=（ ? ）

A.+表高 B.-表高

C.+表距 D.-表距

【解析】解法1：連接DF交AB于M，則AB=AM+BM，設(shè)∠BDM=α，∠BFM=β，則-=MF-MD=DF，

而tanβ=，tanα=，所以

-=MB（-）

=MB（-）=MB·

所以MB==，

所以高AB=+表高.

解法2：設(shè)表高DE=FG=m，表距EG=n，表目距：GC=p，EH=q， 表目距的差為p-q，

因?yàn)镽t△EDH∽R(shí)t△ABH，

所以-，設(shè)AE=x，

則=，①

因?yàn)镽t△GFC∽R(shí)t△ABC，

所以=，

則=，②

所以=，解得x=，代入①，

AB===+m，

所以AB=+表高，故選答案A.

【賞析】劉徽是我國(guó)古代魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家，在中國(guó)數(shù)學(xué)史上做出了巨大貢獻(xiàn)，他的經(jīng)典著作有《海島算經(jīng)》和《九章算術(shù)注》?！逗u算經(jīng)》是我國(guó)歷史上最早的關(guān)于測(cè)量數(shù)學(xué)的一部專(zhuān)著，劉徽在《海島算經(jīng)》一書(shū)中選編了九個(gè)測(cè)量問(wèn)題，是中國(guó)古代高度發(fā)達(dá)的地圖學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本題源自《海島算經(jīng)》中的第一個(gè)關(guān)于測(cè)量海島的高和遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)名題“望海島”：“今有望海島（AB），立兩表（DE，F(xiàn)G）齊高三丈，前后相去（EG）千步，令后表與前表參相直.從前表卻行（EH）一百二十三步，人目著地（H）取望島峰（A），與表末（D）參合.從后表（FG）卻行（GI）一百二十七步，人目著地（I）取望島峰（A），亦與表末（F）參合.問(wèn)島高（AB）及去表（BE）各幾何？”本題考查了解三角形的應(yīng)用;考查了考生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力;考查了考生的推理論證能力;考查了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng);考查了數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。雖然試題難度不大，但在設(shè)計(jì)上比較新穎，取材經(jīng)典古名著，以關(guān)于測(cè)量海島的高度的探索創(chuàng)新情境為載體，做到了將中國(guó)傳統(tǒng)文化滲透進(jìn)高考數(shù)學(xué)試題，讓考生充分感悟我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的聰明才智和勇攀數(shù)學(xué)高峰的理性精神。數(shù)學(xué)名題是數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)內(nèi)容之一，可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，體會(huì)我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家探究數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程。對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情操和認(rèn)識(shí)中華傳統(tǒng)文化有著深刻的教育意義，對(duì)實(shí)施高中數(shù)學(xué)新課改和落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)具有積極的導(dǎo)向作用。

全國(guó)Ⅱ卷理科第21題：已知拋物線(xiàn)C：x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.

（1）求p;

（2）若點(diǎn)P在M上，PA，PB是C的兩條切線(xiàn)，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值.

【解析】（1）問(wèn)，由已知可得，焦點(diǎn)F（0，）到x2+（y+4）2=1的最短距離為+3=4，所以p=2.

（2）問(wèn)，拋物線(xiàn)x2=4y，所以y=x2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），所以y=x，因?yàn)辄c(diǎn)P在M上，所以x02=-y02-8y0-15，

切線(xiàn)PA的方程y-y1=x1（x-x1），

即y=x1x-x12=x1x-y1，

同理切線(xiàn)PB的方程為y=x2x-y2，

因?yàn)橹本€(xiàn)PA、PB都過(guò)點(diǎn)P（x0，y0），

所以y0=

x1x0-y1

y0=

x2x0-y2，所以直線(xiàn)AB的方程為

y0=x0x-y，即y=x0x-y0，

聯(lián)立y=

x0x-y0

x=4y，得x2-2x0x+4y0=0，

△=4x02-16y0，由弦長(zhǎng)公式，

AB=·

=，

點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離d=，所以

S△PAB=ABd=x02-4y0

=（x02-4y0） ?=（-y02-12y0-15） ?，

因?yàn)閥0∈[-5，-3]，故當(dāng)y0=-5時(shí)，S△PAB達(dá)到最大值，最大值為20.

【賞析】本題第（2）問(wèn)以?huà)佄锞€(xiàn)的阿基米德三角形為背景，阿基米德是古希臘數(shù)學(xué)家和力學(xué)家，被后人譽(yù)為數(shù)學(xué)之神，他的著作有《論球與圓柱》《圓的度量》《論劈錐曲面體與橢圓體》《論螺線(xiàn)》《拋物弓形求積》等10部。阿基米德三角形的定義：拋物線(xiàn)的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形常被稱(chēng)為阿基米德三角形。阿基米德三角形具有很多美麗的性質(zhì)，本題以阿基米德三角形的性質(zhì)“已知拋物線(xiàn) ：x2=2py（p>0），P為拋物線(xiàn)C一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A（x1，y1）、B（x2，y2），則△PAB的面積為S=”為素材，形式優(yōu)美，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，主要考查了拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，也考查了數(shù)形結(jié)合的思想和化歸與轉(zhuǎn)化的思想。

2021年浙江卷第11題：我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明，弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）。若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別為3、4，記大正方形的面積為S1，小正方形的面積為S2，則 ? ? ? ? .

【解析】S1=（）2=25，

S2=4××3×4=1所以=25.

【賞析】趙爽是我國(guó)東漢末至三國(guó)時(shí)代的著名數(shù)學(xué)家，“趙爽弦圖”是趙爽為了采用“出入相補(bǔ)”證明勾股定理時(shí)繪制的圖形，本題以歷史名圖“趙爽弦圖”為依托，考查了三角形面積公式。本題難度不大，通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算就可以得出答案，體現(xiàn)了高考試題的基礎(chǔ)性。

新高考Ⅰ卷第16題：某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折.規(guī)格為20dm×12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對(duì)折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm， 20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類(lèi)推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為_(kāi)______;如果對(duì)折n次，那么=Sk=______dm2.

【解析】（1）易知有20dm×dm，10dm×dm，10dm×3dm，dm×6dm，dm×12dm，共5種規(guī)格;

由題可知對(duì)折k次共有k+1種規(guī)格，且面積為，故Sk=，

則Sk=240，記Tn=，

則Tn=，

故Tn=-

=1+（-）-，

=1+-=-

則Tn=3-，

故Sk=240（3-）=720-.

【賞析】本題考查了等比數(shù)列的定義和錯(cuò)位相減法，同時(shí)考查了推理論證能力和運(yùn)算求解能力。本題以我國(guó)傳統(tǒng)文化剪紙藝術(shù)為背景，重點(diǎn)考查考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題的能力，也讓考生體會(huì)了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)剪紙文化的勞動(dòng)實(shí)踐過(guò)程。

2021年新高考Ⅱ卷第4題：衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度指衛(wèi)星到地球表面的最短距離），把地球看成一個(gè)球心為O，半徑為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道所在平面所成角的度數(shù)，地球表面能直接觀測(cè)到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星的點(diǎn)的緯度的最大值記為α，該衛(wèi)星信號(hào)覆蓋的地球表面面積S= 2πr2（1-cosα）（單位km2），則S占地球表面積的百分比為（ ? ）.

A.26%

B.34%

C.42%

D.50%

【解析】

如上圖，作出過(guò)地球靜止同步軌道衛(wèi)星軌道左右端點(diǎn)的豎直平面，則OB=36000+6400=42400，cosα==，S占地球表面積的百分比為=≈42%，故選答案C.

【試題評(píng)價(jià)】新高考Ⅱ卷第4題是以北斗全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為試題情境設(shè)計(jì)的立體幾何問(wèn)題，在考查學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，展現(xiàn)了我國(guó)航天等高科技事業(yè)取得的輝煌成就。題目取材真實(shí)的科學(xué)研究情境，貼近新時(shí)代，在試題之中貫穿了立德樹(shù)人和愛(ài)國(guó)敬業(yè)的理念，展現(xiàn)了社會(huì)主義核心價(jià)值觀。本題涉及到高中數(shù)學(xué)立體幾何中的球的表面積和平面幾何中直線(xiàn)與圓相切的相關(guān)知識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)之間的交匯考查，同時(shí)涉及到地理學(xué)的緯度知識(shí)，體現(xiàn)了地理和數(shù)學(xué)這兩個(gè)不同學(xué)科的交匯考查，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，體現(xiàn)出高考試題基礎(chǔ)性和綜合性，反映了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

四、2022年高考數(shù)學(xué)文化試題備考建議

總結(jié)2021年高考數(shù)學(xué)文化真題的命題規(guī)律，在2022年高三的高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)中，建議在每個(gè)知識(shí)塊的復(fù)習(xí)中設(shè)置數(shù)學(xué)文化微專(zhuān)題，具體見(jiàn)下表。設(shè)置高考數(shù)學(xué)文化微專(zhuān)題時(shí)，一線(xiàn)教師可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)收集整理歷年高考真題和近幾年模考試題中的典型數(shù)學(xué)文化試題，制成導(dǎo)學(xué)案的形式，要求學(xué)生課前做完，教師在課堂上選擇性講解并簡(jiǎn)單介紹一些相關(guān)的數(shù)學(xué)史料，既落實(shí)了高考數(shù)學(xué)文化試題的備考，又可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。數(shù)學(xué)文化試題題目普遍較長(zhǎng)，通過(guò)做這類(lèi)題目可以提升學(xué)生的閱讀理解能力，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)文化等學(xué)科素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)文化微專(zhuān)題復(fù)習(xí)具有較小的切入點(diǎn)、新穎的角度和較強(qiáng)的針對(duì)性，可以做到數(shù)學(xué)文化知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的交匯，切合高考試題注重在知識(shí)交匯處命題的特色，對(duì)學(xué)生更好地梳理數(shù)學(xué)文化問(wèn)題所涉及的知識(shí)和方法具有重要作用，真正做到引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷深度學(xué)習(xí)，提升學(xué)習(xí)能力。

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