一種基于狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)振動模態(tài)軌跡提取方法

周 胡，錢忠文，王 濱，高樹健，劉福順

（1.浙江省深遠(yuǎn)海風(fēng)電技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州311122；2.中國電建集團(tuán) 華東勘測設(shè)計(jì)研究院有限公司，杭州 311122；3.中國國電集團(tuán)有限公司 浙江分公司，杭州 310000；4.中國海洋大學(xué) 山東省海洋工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島 266100）

近年來，由于海上風(fēng)能的穩(wěn)定性和可靠性，海上風(fēng)力發(fā)電機(jī)已經(jīng)得到了持續(xù)的發(fā)展。自2010年以來，裝機(jī)容量以每年30%的平均速率不斷增長。然而，由于復(fù)雜的海洋環(huán)境作用，海上風(fēng)力結(jié)構(gòu)極易發(fā)生損壞，在過去的十年中，由于風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)的損壞導(dǎo)致了多起事故的發(fā)生，僅在2014年就發(fā)生了約1 000起事故。由于高昂的安裝和維護(hù)成本，對海上風(fēng)力發(fā)電機(jī)的結(jié)構(gòu)可靠性進(jìn)行評估已經(jīng)變得至關(guān)重要[1]。

海上風(fēng)力發(fā)電機(jī)的軌跡是指其轉(zhuǎn)子軸心相對于風(fēng)機(jī)中心的運(yùn)動軌跡，包含有風(fēng)機(jī)運(yùn)行的故障征兆信息，可以直觀的反應(yīng)風(fēng)機(jī)的瞬時運(yùn)動狀態(tài)，是評估風(fēng)機(jī)運(yùn)行的重要狀態(tài)特征參量。目前，對軸心軌跡的研究主要包括軸心軌跡提純和辨識法兩大類[2]。由于實(shí)際的振動信號會受到噪聲的干擾，軸心軌跡十分復(fù)雜，難以從中獲得清晰的特征，因此需要對軸心軌跡進(jìn)行提純，從而還原結(jié)構(gòu)的軸心軌跡。軸心軌跡的辨識則是研究軸心軌跡的特征提取和識別。目前對于軸心軌跡的提純和辨識主要是基于數(shù)字濾波、短時傅里葉變化和小波變換等[3]。這些方法都是采用一定的頻段劃分后，對原始信號進(jìn)行濾波提純[4]。但是在基于傅里葉變換的方法中，由于實(shí)測信號往往不滿足周期性假設(shè)的前提，會導(dǎo)致分解結(jié)果不準(zhǔn)確。而在實(shí)際應(yīng)用中，不準(zhǔn)確的分解將直接影響軸心軌跡的形狀，使軸心軌跡在工程中的應(yīng)用價值被大大削弱[5]。Prony方法將信號表示為復(fù)指數(shù)形式，避免了信號的周期性假設(shè)，實(shí)現(xiàn)了信號的高精度分解[6]。但是其對噪聲極為敏感，在應(yīng)用于實(shí)測信號時分解結(jié)果存在較大的誤差[7]。Hu等[8]通過引入低階狀態(tài)空間模型，將高階微分方程轉(zhuǎn)換為低級矩陣微分方程，避免了傳統(tǒng)Prony方法多項(xiàng)式求根的病態(tài)問題，顯著提高了Prony方法的抗噪性能，實(shí)現(xiàn)了其在工程實(shí)測信號中的應(yīng)用。

除了軸心軌跡的分析方法外，海上風(fēng)電結(jié)構(gòu)軸心軌跡計(jì)算中還存在另一個難點(diǎn)，就是在海洋環(huán)境中，很難找到固定的參考點(diǎn)固定位移計(jì)[9]，而使用GPS測量位移時，除了會帶來高額的測量費(fèi)用，其測量精度較低，僅能達(dá)到1 cm，也會給計(jì)算帶來誤差[10]。由于加速度的測量方便快捷且精度較高，已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于海上風(fēng)電結(jié)構(gòu)的振動測試。雖然理論上可以對加速度積分得到位移，但是由于初始條件的未知，積分得到的位移會發(fā)生不真實(shí)的漂移[11]。目前解決此類問題的方法主要分為基于頻域積分的方法[12]和基于高通濾波調(diào)整基線的方法[13]。基于頻域積分的方法由于Fourier變換的周期性假設(shè)，在處理實(shí)測信號時往往會導(dǎo)致結(jié)果的不準(zhǔn)確。雖然基于高通濾波調(diào)整基線的方法已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用，但是對于低頻為主導(dǎo)的海上風(fēng)電結(jié)構(gòu)，高通濾波除了會濾出漂移項(xiàng)，還會改變振動信號中的低頻項(xiàng)，產(chǎn)生不必要的誤差[14]。

針對以上兩個問題，本文根據(jù)實(shí)測海上風(fēng)機(jī)振動信號的特點(diǎn)，通過使用基于低階狀態(tài)空間模型的復(fù)指數(shù)分解方法，發(fā)展了一種海上風(fēng)力發(fā)電機(jī)模態(tài)軌跡的計(jì)算分析方法，并分別使用數(shù)值算例和海上風(fēng)機(jī)實(shí)測振動數(shù)據(jù)驗(yàn)證了發(fā)展方法的有效性。首先使用五自由度數(shù)值系統(tǒng)驗(yàn)證了由加速度信號獲得位移中模態(tài)信息的可行性，然后通過實(shí)測的單樁海上風(fēng)力發(fā)電機(jī)驗(yàn)證了所提出方法在處理實(shí)測信號時的有效性。

1 基本原理

1.1 復(fù)指數(shù)序列

對于非周期信號x（t），其復(fù)指數(shù)序列可以表達(dá)為

式中:n為級數(shù)個數(shù)；γ和λ分別為各成分的復(fù)指數(shù)序列的參數(shù)，分別可以表示為

1.2 Prony方法

Prony方法使用復(fù)指數(shù)序列擬合信號，可以概括為以下三個步驟:

步驟1使用高階微分方程擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)求解系數(shù)

式中:K為采樣點(diǎn)數(shù)，a0，a1，…，an-1為方程組的系數(shù)。

步驟2在由步驟1求解得到多項(xiàng)式系數(shù)后，計(jì)算方程組的特征根（表示為zi（i=1，2，…，n）），從而求解復(fù)指數(shù)參數(shù)λi，并通過參數(shù)求解各成分的頻率和衰減因子。

步驟3將求解得到的特征根表示為如下形式，之后可以通過最小二乘法求解復(fù)指數(shù)參數(shù)γi

2 基于低階狀態(tài)空間模型的模態(tài)軌跡分析

2.1 加速度信號的復(fù)指數(shù)表達(dá)

在同一平面內(nèi)對風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)的x向和y向加速度信號進(jìn)行測試，由于在實(shí)測風(fēng)機(jī)信號中，不僅僅包含系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)信息，同時還包含有噪聲信號、機(jī)械振動信號等。結(jié)構(gòu)信息中包含了結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率和阻尼因子，噪聲成分通常較為復(fù)雜，包括由機(jī)械運(yùn)轉(zhuǎn)和其他因素引起的非衰減成分。下面以x向信號為例進(jìn)行算法的展示。首先，采用復(fù)指數(shù)序列式（1）的形式對測試信號x（t）進(jìn)行表征

式中，n為信號中復(fù)指數(shù)序列中成分的數(shù)量。

式（5）可以視為系數(shù)為bi的Nn階常微分方程的通解，即

式（6）的特征多項(xiàng)式可以表示為

式（7）的根即為 λi（i=1，2，3，…，n）

2.2 基于低階狀態(tài)空間模型的模態(tài)分解

引入

假設(shè)bi=1，式（3）可以轉(zhuǎn)換為一階矩陣微分方程

為了求解式（9），引入Hankel矩陣

式中，ξ和η分別為Hankel矩陣的行數(shù)和列數(shù)。

分別令式（6）中的k=0和k=1，并對H（0）和H（1）進(jìn)行奇異值分解，可以得到

式中:S1為奇異值矩陣；U1和V1為正交矩陣；A為狀態(tài)矩陣，其特征根為zn。通過特征根zn，就可以計(jì)算得到對應(yīng)的復(fù)指數(shù)參數(shù)λi=ln zn/Δt。同時由式（13）可以通過最小二乘法求得γi

式中，N為采樣點(diǎn)數(shù)。更詳細(xì)的求解過程可以參考包興先的研究。

2.3 模態(tài)軌跡重構(gòu)

通過求得的γ和λ，即可以重構(gòu)測試得到的x向加速度信號中的模態(tài)成分

通過對式（14）進(jìn)行二次積分，可以得到x向位移中對應(yīng)模態(tài)的時域曲線

同樣，可以對y向加速度進(jìn)行上述過程可以得到y(tǒng)（t）中相應(yīng)模態(tài)的時域曲線

3 五自由度數(shù)值算例

在本數(shù)值算例中，將使用五自由度數(shù)值模型驗(yàn)證所提出方法的正確性。該模型如圖1所示，其中mi=60 kg，ki=3×107N/m，ci=600 Ns/m（i=1，2，…，5）。

圖1 五自由度數(shù)值模型Fig.1 The five-degree-of freedom system

根據(jù)系統(tǒng)的特征方程可以得到，該系統(tǒng)的模態(tài)頻率分別為32.032 Hz，93.501 Hz，147.395 Hz，189.349 Hz和215.962 Hz；其五階模態(tài)阻尼比分別為0.002 012 6，0.005 874 9，0.009 261 1，0.011 897 0和0.013 569 0。

首先，構(gòu)造一個數(shù)值信號作為系統(tǒng)的輸入外荷載

式（17）中各參數(shù)如表1所示，合成的外荷載如圖2所示。將該合成的外荷載作用于五自由度系統(tǒng)的前三個自由度上，即可以得到系統(tǒng)的動力響應(yīng)。

圖2 合成外荷載時域曲線Fig.2 The simulated external force in the time domain

表1 式（17）中外荷載各成分的參數(shù)Tab.1 The parameters used in Eq.17

為了獲得該五自由度系統(tǒng)的動力響應(yīng)，使用Newmark-β進(jìn)行計(jì)算。 如圖3（a）和圖3（b）分別展示了使用Newmark-β方法計(jì)算得到的系統(tǒng)第5個自由度的加速度和位移的時域結(jié)果。在計(jì)算中，設(shè)置時間間隔Δt=0.01 s，計(jì)算點(diǎn)數(shù)N=1 000。

圖3 計(jì)算得到的加速度和位移Fig.3 The calculated accelerations and displacements

在使用本文方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)軌跡求解時，首先需要對加速度進(jìn)行復(fù)指數(shù)分解。分解時首先需要假設(shè)信號中的模態(tài)階次，即振動加速度中假設(shè)的信號成分的數(shù)量的兩倍。在分解時，由于荷載中共包含五個成分，且該系統(tǒng)共有五個自由度，因此其振動信號中應(yīng)該有十個頻率成分，所以這里設(shè)置分解的模態(tài)階次為20。

為了檢查分解模態(tài)階次的設(shè)置是否合適，可以通過對分解后的信號進(jìn)行重構(gòu)，并將重構(gòu)結(jié)構(gòu)與原始信號進(jìn)行對比來判斷，重構(gòu)結(jié)果如圖4所示。從圖中可以看到，分解結(jié)果與重構(gòu)結(jié)果吻合較好，這也證明了分解結(jié)果的正確性。從加速度的分解結(jié)果中選擇對應(yīng)于結(jié)構(gòu)一階模態(tài)的γ和λ進(jìn)行重構(gòu)，同時，可以利用式（16）對位移中的一階模態(tài)信息進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)結(jié)果如圖5所示。

圖4 分解重構(gòu)結(jié)果Fig.4 The reconstruction result after decomposition

同時，為了驗(yàn)證重構(gòu)結(jié)果的正確性，同樣使用本文提到的基于低階狀態(tài)空間模型的復(fù)指數(shù)分解方法對Newmark-β計(jì)算的結(jié)構(gòu)位移進(jìn)行分解，并提取出其中的一階模態(tài)，結(jié)果如圖5所示?？梢钥吹?，使用加速度重構(gòu)得到的一階模態(tài)位移信息與位移中的位移信息吻合較好，這證明了本文方法中通過加速度信息求解一階模態(tài)位移信息的正確性，也意味著在結(jié)構(gòu)位移無法測量的情況下，可以使用本文方法對結(jié)構(gòu)位移中的模態(tài)信息進(jìn)行重構(gòu)。

圖5 位移中的一階模態(tài)時域圖和由加速度重構(gòu)的一階位移模態(tài)Fig.5 The first-mode in calculated displacements and the reconstructed first-mode displacements using accelerations

4 單樁式海上風(fēng)電結(jié)構(gòu)實(shí)測數(shù)據(jù)分析

為了驗(yàn)證本文提出的模態(tài)軌跡分析方法在處理實(shí)測數(shù)據(jù)時的有效性，使用某單樁式海上風(fēng)電結(jié)構(gòu)實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行模態(tài)軌跡分析。

4.1 現(xiàn)場測試情況介紹

測試風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)為某4 MW單樁式海上風(fēng)力發(fā)電機(jī)，位于江蘇省如東縣的黃海區(qū)域，塔筒高度為86 m，總質(zhì)量為2 500 t。該風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)為直徑5.5 m的單樁式結(jié)構(gòu)，固定于在床上，海床下的穿透深度為50.35 m，從海床表面到法蘭的高度為22.65 m。該風(fēng)機(jī)共具有三個葉片，每個葉片長度為88 m。在測試中，在風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)內(nèi)壁自下而上安裝五個加速度傳感器，分別記為1～5號，以法蘭為零點(diǎn)，五個加速度傳感器的高度分別為0，16.3 m，42.7 m，59.4 m和73.4 m。 該風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)的一階設(shè)計(jì)頻率為0.305 6 Hz，二階設(shè)計(jì)頻率為1.729 6 Hz。測試的單樁式海上風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 測試的風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)Fig.6 The test offshore wind turbine

測試時，使用的三向加速度傳感器的型號為4630-005-060-C，其測量范圍為0～5g，電壓靈敏度為400 mV/g。測試中，同時對三個方向的振動加速度信號進(jìn)行采集，所使用的數(shù)據(jù)采集儀為IMC-Access公司生產(chǎn)CRONOSflex400。測試中使用的加速度傳感器及采集儀，如圖7所示。

進(jìn)行測試時，設(shè)置采樣頻率為200 Hz，采樣時間設(shè)置為1 h，5號傳感器記錄得到的x向和y向加速度信號時域圖，如圖8所示。從時域圖中可以看出，由于風(fēng)荷載和波浪荷載隨時間的變化，加速度振動的幅值在不同時間發(fā)生變化。

圖8 5號傳感器測試的x向和y向加速度信號Fig.8 The measured accelerations by the 5th acceleration sensors in x direction and y direction

理論上結(jié)構(gòu)的軸心軌跡可以通過結(jié)構(gòu)平面內(nèi)同時刻的x向和y向位移數(shù)據(jù)直接獲得，但是其前提條件必須首先獲得結(jié)構(gòu)的位移。但是在結(jié)構(gòu)的位移測量中，需要有固定的參考點(diǎn)固定位移計(jì)。但是在海洋環(huán)境中進(jìn)行測試時，很難找到固定的參考點(diǎn)，因此目前的海上結(jié)構(gòu)物的振動測試，都是進(jìn)行加速度測試，然后通過使用測試的加速度數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成位移數(shù)據(jù)。目前已經(jīng)有很多的研究去除加速度積分后的積分項(xiàng)來獲得結(jié)構(gòu)的真實(shí)位移數(shù)據(jù)。大多數(shù)的加速度轉(zhuǎn)位移的方法都是基于Trifunac等提出的方法發(fā)展期出來的，因此本文首先使用Trifunac等提出的方法對測試得到的加速度信號進(jìn)行分析從而重構(gòu)位移信號。對圖7中1 000～1 050 s的加速度信號進(jìn)行分析，在計(jì)算中，設(shè)置高通濾波中的截止頻率為0.1 Hz，轉(zhuǎn)換的位移結(jié)果如圖9所示。

圖7 測試中使用的加速度傳感器和采集儀Fig.7 The used acceleration sensors and IMC collectors in the measurement

圖10繪制了由圖9中重構(gòu)位移直接得到的結(jié)構(gòu)在1 000～1 050 s時的軸心軌跡圖，可以看到由于受到復(fù)雜的環(huán)境噪聲干擾，結(jié)構(gòu)的運(yùn)動狀況較為復(fù)雜，軸心軌跡非?；靵y，無法對結(jié)構(gòu)的運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行正確的監(jiān)測和檢測。

圖9 由測試的加速度信號轉(zhuǎn)為的位移信號x向和y向Fig.9 The displacements reconstructed by measured accelerations in x direction and y direction

圖10 由重構(gòu)的位移繪制的軸心軌跡圖Fig.10 The axis trajectory drawn by the reconstructed displacements

4.2 加速度信號的復(fù)指數(shù)表達(dá)

使用本文方法繪制風(fēng)機(jī)軸心軌跡時，首先要對測試得到的加速度信號進(jìn)行復(fù)指數(shù)分解。為了展示更加清晰地分解效果，這里僅選取1 000～1 005 s的信號進(jìn)行展示。在分解中設(shè)置模態(tài)階次為600，信號分解后的重構(gòu)結(jié)果與測試得到的加速度信號如圖11所示，可以看到二者具有較好的一致性，這也證明本文使用的基于低階狀態(tài)空間模型的復(fù)指數(shù)分解方法在處理實(shí)測信號時，具有較高的分解精度，這也證明分解后的復(fù)指數(shù)序列可以代表實(shí)際的測試信號。

4.3 風(fēng)機(jī)模態(tài)軌跡

從圖11中分解后的信號中提取出一階模態(tài)后，可以利用式（15）重構(gòu)x向位移一階模態(tài)，同樣也對測試的y向加速度信號進(jìn)行分解，并利用重構(gòu)的得到的兩個方向的一階位移模態(tài)繪制軸心一階模態(tài)軌跡圖，如圖12所示。可以看到相比于圖10中結(jié)構(gòu)的軸心軌跡圖來說，圖12中結(jié)構(gòu)的模態(tài)軌跡圖更加清晰，可以直觀的反應(yīng)出結(jié)構(gòu)的運(yùn)行狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)對運(yùn)行風(fēng)機(jī)的監(jiān)測和檢測。

圖11 分解重構(gòu)結(jié)果Fig.11 The reconstruction result after decomposition

圖12 1 000～1 050 s的結(jié)構(gòu)模態(tài)軌跡Fig.12 The axis model trajectory from 1 000-1 050 s

同時，重復(fù)上述過程對圖7中2 000～2 050 s的加速度信號進(jìn)行分析，結(jié)構(gòu)的軸心一階模態(tài)軌跡如圖13所示。可以看到本文方法重構(gòu)的海上風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)模態(tài)軌跡穩(wěn)定清晰，避免了現(xiàn)場測試中環(huán)境噪聲的干擾，可以有效地對結(jié)構(gòu)進(jìn)行故障特征監(jiān)測。

圖13 2 000～2 050 s的結(jié)構(gòu)模態(tài)軌跡Fig.13 The axis model trajectory from 2 000-2 050 s

5 結(jié) 論

本文通過引入低階狀態(tài)空間模型，對加速度信號進(jìn)行高精度的復(fù)指數(shù)分解，發(fā)展了一種海上風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)的模態(tài)軌跡監(jiān)測新方法。主要結(jié)論如下:

（1）該方法使用復(fù)指數(shù)的形式對信號進(jìn)行表征，避免了傳統(tǒng)方法中信號周期性的假設(shè)，同時通過引入低階狀態(tài)空間模型，提高了實(shí)測數(shù)據(jù)的分解精度，避免了傳統(tǒng)Prony方法由于對噪聲敏感而無法處理實(shí)測數(shù)據(jù)的病態(tài)問題。

（2）相比于傳統(tǒng)的軸心軌跡分析方法，由于負(fù)載的海洋環(huán)境，直接用位移得到的結(jié)果往往無法實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的監(jiān)測和監(jiān)測。而本文提出的方法即克服了海上位移測試的難點(diǎn)，也為海上結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)模態(tài)軌跡分析提供了新的思路。

（3）通過五自由度數(shù)值算例和實(shí)測的海上風(fēng)電結(jié)構(gòu)加速度信號進(jìn)行分析，檢驗(yàn)了本文方法在處理工程實(shí)際問題時的有效性。結(jié)果表明，本文提出的方法有效地克服了環(huán)境噪聲的干擾，得到的海上風(fēng)電結(jié)構(gòu)模態(tài)軌跡穩(wěn)定清晰，對于結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測具有較強(qiáng)的工程應(yīng)用價值。