加筋復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)特性與優(yōu)化

梁浩鋒，夏 飛，金福松，石陳玉，薛江紅

（暨南大學(xué) 力學(xué)與建筑工程學(xué)院 重大工程災(zāi)害與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510632）

薄板結(jié)構(gòu)是工程領(lǐng)域上最常用的結(jié)構(gòu)之一，在航空航天工程、土木工程、海洋工程、機(jī)械工程等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。其中加筋薄板結(jié)構(gòu)由于擁有用料省、剛度大等優(yōu)點(diǎn)，成為工程領(lǐng)域新的關(guān)注重點(diǎn)。

一直以來(lái)，加筋薄板的自由振動(dòng)問(wèn)題受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。李凱等[1]基于能量泛函變分的方法，研究了附加多個(gè)集中質(zhì)量縱橫加筋板的自由振動(dòng)問(wèn)題。劉文光等[2]建立了有限元?jiǎng)恿W(xué)模型，并對(duì)板筋連接形式和加筋安裝方向?qū)Ρ“逭駝?dòng)模態(tài)的影響機(jī)制進(jìn)行了研究。杜菲等[3]基于瑞利-里茲法，將筋條視為Euler梁?jiǎn)卧?，分析了四邊固支加筋板的振?dòng)問(wèn)題。周平等[4]從工程角度出發(fā)，將不同經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算單向加筋板固有頻率的結(jié)果與有限元方法和動(dòng)態(tài)剛度陣法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，給出了最為有效的經(jīng)驗(yàn)公式。Efimtsov等[5]基于空間諧波展開(kāi)法，考慮加強(qiáng)筋與板殼的相互作用，分析了加筋板和圓柱殼的受迫振動(dòng)問(wèn)題。江松青等[6]考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的影響，由Hamilton變分原理導(dǎo)出了加筋板的非線性動(dòng)力方程，并用有限差分法求解的橫向沖擊荷載下加筋板的非線性動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題。文獻(xiàn)[7-9]給出了更多基于不同的單元類型和計(jì)算方法，利用有限元法對(duì)各向同性加筋板的振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行分析的研究成果。

復(fù)合材料由于具有較高的比強(qiáng)度和比剛度，由復(fù)合材料制作的層合結(jié)構(gòu)在實(shí)際工程中也得到了廣泛的應(yīng)用。針對(duì)復(fù)合材料加筋板的各項(xiàng)研究也受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。王平安等[10]對(duì)復(fù)合材料薄壁加筋板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了剪切載荷下的屈曲試驗(yàn)研究，給出了加筋板結(jié)構(gòu)的屈曲模態(tài)、屈曲失穩(wěn)載荷以及破壞形式。Xue等[11-13]考慮接觸效應(yīng)對(duì)含損傷復(fù)合材料層合薄板結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)和屈曲問(wèn)題進(jìn)行了分析。Sinha等[14]通過(guò)實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬的方法對(duì)復(fù)合材料加筋層合板的自由振動(dòng)特性進(jìn)行了分析。Qing等[15]基于半解析法，求解了夾層加筋板的自由振動(dòng)問(wèn)題。王蔓等[16]考慮一階剪切效應(yīng)的復(fù)合材料層合板單元和層合梁?jiǎn)卧?，提出了含嵌入圓形分層損傷的復(fù)合材料加筋板非線性動(dòng)力響應(yīng)有限元分析方法。趙政等[17]利用LS-DYNA有限元數(shù)值模擬軟件對(duì)爆炸荷載下復(fù)合材料加筋板的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行分析。Rajawat等[18]和Behera等[19]基于有限元方法，分析了復(fù)合材料加筋層合板的自由振動(dòng)問(wèn)題?；羰阑鄣萚20]利用工程及有限元方法分別分析了加筋壁板整體和局部穩(wěn)定性。歐陽(yáng)天等[21]通過(guò)落錘法從面板一側(cè)對(duì)筋條進(jìn)行了5種能量水平的低速?zèng)_擊，研究了復(fù)合材料加筋板的筋條沖擊損傷及沖擊損傷對(duì)加筋板軸向壓縮行為的影響。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)開(kāi)展了不少有關(guān)加筋復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能的研究，但正如上述文獻(xiàn)資料顯示的，對(duì)加筋復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的研究大都采用的是實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬的方法。

本文采用理論結(jié)合數(shù)值分析的方法對(duì)加筋復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)特性進(jìn)行研究。根據(jù)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)和板殼理論推導(dǎo)層合板與各加強(qiáng)筋在振動(dòng)過(guò)程中的能量消散，借助熱力學(xué)第二定律和最小勢(shì)能原理建立求解加筋層合板自由振動(dòng)固有頻率的特征方程，進(jìn)行算例分析，詳細(xì)討論加強(qiáng)筋數(shù)目與橫截面幾何參數(shù)對(duì)固有頻率的影響。開(kāi)展有限元仿真并與理論結(jié)果進(jìn)行比較。根據(jù)參數(shù)分析的結(jié)果給出加強(qiáng)筋的布筋優(yōu)化方案。本文采用的能量法與傳統(tǒng)的解析方法相比，避開(kāi)了加筋結(jié)構(gòu)的復(fù)雜連續(xù)性條件，通過(guò)加筋結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)中的功能關(guān)系，建立特征方程求解固有頻率，將復(fù)雜的偏微分方程組問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于求解的線性方程組問(wèn)題，在保證計(jì)算準(zhǔn)確性的同時(shí)大幅提升計(jì)算效率。

1 問(wèn)題的描述

考慮如圖1所示的四邊簡(jiǎn)支復(fù)合材料層合板，層合板的長(zhǎng)、寬和厚度分別為a，b和h，鋪層數(shù)為n，單層板厚為t，密度為ρ，鋪層方式為正交對(duì)稱鋪設(shè)。層合板上布有沿橫向x方向和縱向y方向均勻分布的加強(qiáng)筋，其中沿x軸的橫筋共有nj條，每條橫筋的坐標(biāo)分別為y=dj，其橫截面寬和高分別為bx和hx，橫筋的密度、彈性模量和泊松比分別為ρx，Ex，μx；沿y軸的縱筋共有ni條，每條縱向筋的坐標(biāo)可以表示為x=ci，橫截面寬和高分別為by和hy，縱向筋的密度、彈性模量和泊松比分別為 ρy，Ey，μy。

圖1 加筋板結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Structural model of rib-reinforced composite laminates

2 基本理論

設(shè)u，v，w代表加筋層合板結(jié)構(gòu)x，y，z方向位移。基于Kirchhoff-Love薄板理論，層合板和加強(qiáng)筋的幾何方程為

式中:εij為層合板的應(yīng)變分量；κij為其曲率分量。根據(jù)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)[22]，對(duì)于正交對(duì)稱鋪設(shè)的層合板，層合板內(nèi)的拉彎耦合和彎扭耦合效應(yīng)都消失了，其內(nèi)力-應(yīng)變關(guān)系可以表達(dá)為

式中:Nx，Ny，Nxy，Mx，My，Mxy分別為加筋板的薄膜力和彎矩；Apq和Dpq分別為層合板拉伸剛度系和彎曲剛度，分別由式（3）定義得到

式中:zk為層合結(jié)構(gòu)第k層子結(jié)構(gòu)的下表面坐標(biāo)；z0為層合結(jié)構(gòu)第1層子結(jié)構(gòu)的上表面坐標(biāo)；（）k為第k層的彈性剛度。令第k層的鋪設(shè)角度為θ，則該層的彈性剛度（）k為

式中:c=cosθ；s=sinθ；Qpq為折減剛度系數(shù)，可用工程彈性系數(shù)表示為

3 能量法

由于加筋板結(jié)構(gòu)本身的復(fù)雜性，采用求解平衡方程的方法分析加筋板的自由振動(dòng)問(wèn)題必須要考慮到橫筋和縱筋與層合板之間的相互作用，當(dāng)加筋的數(shù)目較大時(shí)，這樣的方法求解難度極大，為此本文采用能量法求解加筋板的自由振動(dòng)問(wèn)題。四邊簡(jiǎn)支加筋層合板的邊界條件為

為了滿足式（6）的邊界條件，將加筋層合板的振動(dòng)模態(tài)取為

式中:m，n分別為橫向和縱向的振動(dòng)模態(tài)半波數(shù)；wmn為對(duì)應(yīng)該模態(tài)的振幅；ω為與其對(duì)應(yīng)的加筋層合板結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)角頻率；t為時(shí)間。

3.1 應(yīng)變能

由板殼力學(xué)，對(duì)稱鋪設(shè)復(fù)合材料層合板的應(yīng)變能為

縱向筋和橫向筋的應(yīng)變能分別為

式中:D11x，D11y分別為橫筋和縱筋在與薄板耦合狀態(tài)下的彎曲剛度；ni，nj分別為縱筋和橫筋的數(shù)目。

將式（1）、式（2）和式（7）分別代入式（8）、式（9）、式（10）得到加筋板總應(yīng)變能

3.2 動(dòng) 能

層合板的動(dòng)能為

縱向筋和橫向筋的動(dòng)能可以表示為

由式（7）、式（12）、式（13）和式（14）得到加筋板總動(dòng)能

3.3 固有頻率求解

根據(jù)熱力學(xué)定理，單位時(shí)間內(nèi)外力做的功一部分轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，一部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。在自由振動(dòng)問(wèn)題中，不存在外力做功，同時(shí)假定變形過(guò)程中無(wú)熱能損失，則總能量由于振動(dòng)模態(tài)函數(shù)總是滿足邊界條件，根據(jù)最小勢(shì)能原理，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定wmn的值使總能量取最小值?？偰芰咳O值的條件為

根據(jù)式（16）可以得到關(guān)于一組關(guān)于固有頻率ω的線性齊次方程組，即

式中:L（ωmn）為一個(gè)含有ωmn的mn×mn大小的方陣；X為大小為m×n的向量，且有

式（17）有非零解則其系數(shù)行列式值必須為0，即

求解式（19）即可得到復(fù)合材料加筋板結(jié)構(gòu)的固有角頻率ω。為了與有限元分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，引入頻率f與角頻率ω的轉(zhuǎn)換公式為

4 算例分析

考慮如圖1中的加筋板結(jié)構(gòu)，薄板使用石墨/環(huán)氧樹(shù)脂復(fù)合材料，鋪層數(shù)為21層，以（0/90/0）7形式鋪設(shè)；加強(qiáng)筋材料使用Q235鋼。層合板和加強(qiáng)筋的材料屬性和幾何參數(shù)如表1所示。

為了分析加筋情況對(duì)各階振動(dòng)頻率和模態(tài)情況的影響，對(duì)復(fù)合材料加筋板的自由振動(dòng)算例分別進(jìn)行了MATLAB編程計(jì)算和ABAQUS有限元模擬，將兩者結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，其中MATLAB程序計(jì)算流程如圖2所示。

圖2 加筋薄板固有頻率MATLAB程序流程圖Fig.2 Flowchart of MATLAB program for natural frequency of rib-reinforced composite laminates

根據(jù)表1的參數(shù)，基于ABAQUS軟件建立了加筋薄板的有限元模型，10條橫向筋和縱向筋與薄板之間利用tie模塊綁定。為在滿足分析精度要求的同時(shí)保證計(jì)算效率，在彎曲主導(dǎo)的薄板自由振動(dòng)問(wèn)題中有限元模型可以采用S4R殼單元，同時(shí)將網(wǎng)格尺寸從較大的初始值開(kāi)始逐步縮小，進(jìn)行試運(yùn)算并對(duì)比結(jié)果，最終在保證精度和效率的前提下，控制薄板和加強(qiáng)筋網(wǎng)格尺寸為0.04 m，薄板共劃分10 000個(gè)網(wǎng)格，每條加強(qiáng)筋共劃分300個(gè)網(wǎng)格。

同時(shí)，基于表1給出的參數(shù)，利用能量法分別計(jì)算在同時(shí)添加10條橫向筋和縱向筋的情況下加筋板自由振動(dòng)的前1～6階固有頻率，并與有限元方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，具體計(jì)算結(jié)果如表2所示。從表2數(shù)據(jù)可以看出，能量法計(jì)算結(jié)果與有限元解吻合程度較高，大部分誤差不超過(guò)6.13%，最大誤差為14.06%。誤差主要來(lái)源于有限元模型中加強(qiáng)筋和薄板的接觸設(shè)定，在理論方法中使用加強(qiáng)筋和薄板的耦合彎曲剛度來(lái)表征其接觸影響，存在一定誤差，但仍在可接受范圍內(nèi)。圖3給出了有限元分析中前1～6階的振動(dòng)模態(tài)，在薄板橫向、縱向呈多個(gè)半波形狀，且隨著模態(tài)階數(shù)的增加半波數(shù)逐漸增加，與假設(shè)的振動(dòng)模態(tài)函數(shù)式（7）基本一致，驗(yàn)證了振動(dòng)模態(tài)函數(shù)的正確性。

圖3 加筋板自由振動(dòng)模態(tài)Fig.3 Modes of free vibration of rib-reinforced composite laminates

表1 加筋板的材料屬性和幾何參數(shù)Tab.1 Material properties and geometric parameters of rib-reinforced composite laminate

表2 縱橫各10條加筋層合板前1～6階固有頻率Tab.2 The first to sixth order vibration frequency of the laminates reinforced by 10 ribs in longitudinal and transverse direction

4.1 加強(qiáng)筋數(shù)目的影響

上文已經(jīng)給出了縱橫同時(shí)添加10條加強(qiáng)筋情況下四邊簡(jiǎn)支加筋板的前1～6階固有頻率，下面將改變加強(qiáng)筋的數(shù)目、尺寸，探究不同加筋情況下的加筋板固有頻率。

圖4分別給出了當(dāng)僅有橫向加筋和僅有縱向加筋時(shí)，三種尺寸的加筋層合方板的1階固有頻率隨加筋數(shù)目的變化曲線。從圖4（a）可以看出:無(wú)論層合方板的尺寸大小，當(dāng)加強(qiáng)筋的數(shù)目由0增加到10條時(shí)，層合板的固有頻率迅速由無(wú)筋的固有頻率增加到某一數(shù)值，之后頻率的增幅非常平緩，直到在20～30條附近時(shí)達(dá)到最大值。比較加強(qiáng)筋數(shù)目為10和最大時(shí)的固有頻率，不難發(fā)現(xiàn)二者的差值非常微小，表明最優(yōu)加筋數(shù)為10，且與方板的幾何尺寸無(wú)關(guān)。

此外，從圖4（b）還可以觀察出當(dāng)分別僅在橫向和縱向添加相同的筋數(shù)時(shí)，二者對(duì)固有頻率影響的不同。以a=b=4 m為例，當(dāng)分別僅在橫向或縱向加10條筋時(shí)，加筋板的固有頻率分別為21.844 Hz和16.529 Hz，而無(wú)加筋時(shí)層合板的固有頻率為6.374 Hz，說(shuō)明對(duì)于正交各向異性材料，應(yīng)在剛度更大的方向加筋，對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響更大。

圖4 加強(qiáng)筋數(shù)目對(duì)不同尺寸層合板固有頻率的影響曲線Fig.4 The curves of frequency with response to different size and number of rib of rib-reinforced composite laminates

4.2 加強(qiáng)筋幾何參數(shù)的影響

當(dāng)僅在橫向添加10條加強(qiáng)筋時(shí)，給定加強(qiáng)筋的初始寬度和高度分別為bx=0.02 m，hx=0.1 m，分別改變加強(qiáng)筋的寬度和高度，對(duì)加筋板固有頻率的影響如圖5所示。從圖5（a）中曲線可以看出，加強(qiáng)筋寬度對(duì)固有頻率的影響有極限性，即在某一加筋數(shù)目前，固有頻率隨著加強(qiáng)筋的寬度增加而增加，當(dāng)超過(guò)加筋數(shù)極值時(shí)再增加加強(qiáng)筋寬度，固有頻率開(kāi)始下降；相反，加筋板的固有頻率與加強(qiáng)筋的高度成正比關(guān)系，同時(shí)加強(qiáng)筋高度的增加對(duì)固有頻率的影響遠(yuǎn)大于加強(qiáng)筋寬度的增加。

圖5 加強(qiáng)筋橫截面幾何參數(shù)對(duì)固有頻率的影響曲線Fig.5 The curves of frequency with response to rib-reinforced composite laminates with different geometric parameters of rib

5 加筋優(yōu)化方案

加強(qiáng)筋數(shù)目對(duì)加筋板固有頻率的影響具有極限性，固有頻率并不會(huì)隨著加強(qiáng)筋數(shù)目的增加一直增加。圖6給出了不同寬度加筋板固有頻率隨橫向筋數(shù)目的變化曲線，可以看出，不同尺寸下的加筋板固有頻率隨橫向筋數(shù)目的變化都存在極限性，但不同尺寸的加筋板，其固有頻率出現(xiàn)極值的橫向加筋數(shù)目也不一樣。隨著尺寸的增大，需要添加更多的加強(qiáng)筋，加筋板的固有頻率才會(huì)達(dá)到峰值。而且，四種不同尺寸的層合板，在不加筋的情況下，固有頻率相差不大，在曲線上升階段可以看出，剛開(kāi)始加筋時(shí)尺寸最小的層合板固有頻率增幅最大，且增幅隨著尺寸的減小而遞減。

圖6 不同寬度加筋板固有頻率隨橫向筋數(shù)目的變化曲線Fig.6 The curves of frequency with response to rib-reinforced composite laminates with different width and number of rib in longitudinal direction

綜合第4章的分析，總結(jié)得出加筋板的優(yōu)化方案:

（1）對(duì)加筋層合板的自由振動(dòng)而言，應(yīng)優(yōu)先在剛度較大的方向加筋來(lái)提高結(jié)構(gòu)的固有頻率；

（2）在加筋數(shù)一定的情況下，由于加強(qiáng)筋高度對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率有更大的影響，應(yīng)優(yōu)先考慮增加加強(qiáng)筋的高度來(lái)提高結(jié)構(gòu)的固有頻率；

（3）在滿足工程需要時(shí)，可以選擇尺寸更小的層合板，來(lái)提高加強(qiáng)筋的效率；

（4）對(duì)層合方板，加強(qiáng)筋數(shù)為10時(shí)的效果最優(yōu)。過(guò)多的加強(qiáng)筋不僅無(wú)益于增加結(jié)構(gòu)的頻率，還會(huì)導(dǎo)致材料的浪費(fèi)和結(jié)構(gòu)質(zhì)量的增加。

6 結(jié) 論

本文基于板殼力學(xué)對(duì)加筋復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)特性進(jìn)行了理論分析，通過(guò)運(yùn)用能量法，對(duì)加筋層合板自由振動(dòng)過(guò)程中應(yīng)變能與動(dòng)能之間的轉(zhuǎn)換進(jìn)行分析，建立了加筋層合板自由振動(dòng)的特征方程。編寫MATLAB程序求解加筋層合板的固有頻率，并利用ABAQUS建立有限元模型獲得數(shù)值解，與本文的理論結(jié)果相互對(duì)比驗(yàn)證。另外，還通過(guò)改變加強(qiáng)筋的數(shù)目、橫截面尺寸參數(shù)，探究不同加筋情況對(duì)加筋層合板自由振動(dòng)特性的影響，得出如下結(jié)論:

（1）基于Kirchhoff-Love薄板理論和能量法獲得的加筋復(fù)合材料層合板的固有頻率與有限元模型計(jì)算的結(jié)果高度吻合，二者的差值不超過(guò)14%，說(shuō)明了理論計(jì)算方法的準(zhǔn)確性與可靠性。

（2）加強(qiáng)筋數(shù)目對(duì)固有頻率的影響有極限性，隨著加強(qiáng)筋數(shù)目的增加，加筋層板的固有頻率先增大后減小，并非一直增加。

（3）對(duì)于正交各向異性復(fù)合材料層合板，沿層合板彈性模量更大的方向加筋，對(duì)固有頻率的影響更大。

（4）加強(qiáng)筋寬度對(duì)加筋層合板固有頻率的影響具有極限性，隨著加強(qiáng)筋寬度的增加，加筋層合板的固有頻率先增加后減小，但加筋層合板的固有頻率值與加強(qiáng)筋的高度成正比關(guān)系，會(huì)隨著高度的增加一直增加。