三維離散支承浮置板軌道動(dòng)力響應(yīng)頻域模型研究

譚新宇，劉衛(wèi)豐

（北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044）

近年來，城市軌道交通高速發(fā)展，與此同時(shí)，列車運(yùn)行引發(fā)的環(huán)境振動(dòng)問題愈發(fā)凸顯[1]。為緩解軌道交通環(huán)境振動(dòng)對(duì)正常生產(chǎn)生活的不利影響，多種形式的減振軌道被應(yīng)用到軌道交通線路之中。其中，鋼彈簧浮置板軌道由于其良好的減振性能被廣泛應(yīng)用于對(duì)振動(dòng)較為敏感的區(qū)域，如古建筑群、放置精密儀器的科研機(jī)構(gòu)等區(qū)域[2]。由于應(yīng)用浮置板軌道的區(qū)段通常對(duì)時(shí)域和頻域內(nèi)的振動(dòng)控制均有較高要求，故如何更加合理地模擬浮置板軌道，并精確計(jì)算其動(dòng)力響應(yīng)成為國內(nèi)外專家學(xué)者關(guān)注的重點(diǎn)。

翟婉明等[3]將鋼軌和浮置板分別模擬為離散點(diǎn)支承的無限長歐拉梁和均布支承的有限長歐拉梁，建立了雙梁時(shí)域模型，對(duì)車輛運(yùn)行下浮置板軌道的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了分析。李增光等[4]在時(shí)域內(nèi)建立了離散支承的雙梁模型，得到了定點(diǎn)諧振荷載激振下浮置板軌道的振動(dòng)響應(yīng)。黃強(qiáng)等[5]通過建立時(shí)域雙梁模型，計(jì)算了不同長度浮置板對(duì)軌道減振效果的影響。在頻域內(nèi)，Hussein等[6-7]基于周期性原理，分別用有限長梁和無限長梁模擬浮置板，研究了移動(dòng)諧振荷載作用下連續(xù)支承浮置板軌道的隔振性能。馬龍祥[8]建立了二維離散支承浮置板軌道頻域解析模型，分別計(jì)算了固定荷載和移動(dòng)荷載作用下浮置板軌道的振動(dòng)響應(yīng)，并對(duì)其動(dòng)力特性進(jìn)行了較為細(xì)致的分析。

隨著對(duì)浮置板軌道振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算精度要求的提高，部分學(xué)者開始用更加符合實(shí)際情況的板模型對(duì)浮置板進(jìn)行模擬。Zhai等[9]基于薄板理論，在時(shí)域內(nèi)建立了三維車輛-浮置板軌道耦合模型，并提出了浮置板軌道振動(dòng)響應(yīng)的求解思路。隨后，Yang等[10]基于此模型計(jì)算了強(qiáng)化浮置板板端支承剛度后系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。Sheng等[11]基于周期性原理，在頻域內(nèi)建立了三維半浮置板軌道模型，假設(shè)軌下支承力和板下支承力相同，計(jì)算了移動(dòng)荷載作用下軌道的振動(dòng)響應(yīng)。

由上述文獻(xiàn)可知，相較于二維模型和時(shí)域模型，對(duì)浮置板軌道三維模型和頻域模型的研究尚少，且研究表明，實(shí)際情況中存在軌道左右軌上荷載幅值、激振頻率不同的現(xiàn)象[12]，這是無法通過二維模型進(jìn)行計(jì)算的。而現(xiàn)有的三維模型中，時(shí)域模型的計(jì)算時(shí)間較長，且只能計(jì)算有限長度；頻域模型由于僅考慮實(shí)際軌道的一半，無法考慮左右側(cè)鋼軌之間的相互耦合，與實(shí)際情況間存有偏差。故需要對(duì)更加符合實(shí)際情況的、計(jì)算高效的三維頻域浮置板模型進(jìn)行研究。本文基于無限周期結(jié)構(gòu)理論，建立了離散支承的三維浮置板軌道頻域模型。通過計(jì)算一個(gè)板長范圍內(nèi)軌道的動(dòng)力響應(yīng)，可得到無限長軌道上任一點(diǎn)的動(dòng)力響應(yīng)，大大提高計(jì)算效率。此外，當(dāng)左右軌作用不同幅值和頻率的移動(dòng)諧振荷載時(shí)，軌道振動(dòng)響應(yīng)也可通過此模型進(jìn)行求解。

1 模型建立

1.1 浮置板軌道力學(xué)模型

本研究基于歐拉梁理論及Kirchhoff薄板理論，建立移動(dòng)諧振荷載作用下無限長周期性三維浮置板軌道模型，如圖1所示。每塊浮置板連同其上鋼軌可視為一個(gè)周期，本文稱之為“基本元”。本模型中，鋼軌被模擬為離散支承在浮置板上的無限長歐拉梁，浮置板被模擬為離散支承在剛性基底上的有限長四邊自由薄板，并忽略相鄰板間間隙。軌下扣件和板下鋼彈簧均采用彈簧阻尼單元進(jìn)行模擬。坐標(biāo)系的正方向由右手螺旋法則確定。圖1中:Ls，Ws和hs分別為單塊浮置板的長、寬、高；kr和cr分別為扣件的支承剛度和阻尼；dr為間距；ks和cs分別為鋼彈簧的支承剛度和阻尼；ds為間距；FL和FR分別為作用于左右鋼軌上的諧振荷載；AL和AR分別為左右軌上荷載幅值；ωL和ωR為左右軌上荷載激振頻率；v為荷載移動(dòng)速度。

圖1 移動(dòng)諧振荷載作用下的周期性無限長浮置板軌道和軌道基本元Fig.1 Periodic-infinite floating slab track and a track basic cell subjected to the moving harmonic loads

1.2 浮置板軌道控制方程

本文針對(duì)三維浮置板軌道的豎向動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行研究。當(dāng)激振頻率為ωF的單位移動(dòng)諧振荷載作用于鋼軌上時(shí)，基本元內(nèi)左側(cè)、右側(cè)鋼軌及浮置板的頻域運(yùn)動(dòng)方程見式（1） ～式（3）。

2 浮置板軌道動(dòng)力響應(yīng)求解

2.1 無限周期結(jié)構(gòu)理論

本文將無限周期結(jié)構(gòu)理論與模態(tài)疊加法應(yīng)用到三維浮置板軌道振動(dòng)響應(yīng)的求解中。Belotserkovskiy[13]提出，移動(dòng)諧振荷載作用在無限周期結(jié)構(gòu)中時(shí)，結(jié)構(gòu)上相隔一定周期的兩點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)僅存在相位差異。馬龍祥等基于此理論建立了二維浮置板模型，通過求解結(jié)構(gòu)任一基本元內(nèi)的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)而得到軌道內(nèi)任一點(diǎn)的動(dòng)力響應(yīng)。當(dāng)三維浮置板軌道僅在y向具有周期性時(shí)，無限周期結(jié)構(gòu)理論仍然滿足，結(jié)構(gòu)任一點(diǎn)的位移響應(yīng)在時(shí)域滿足

由此可知，移動(dòng)諧振荷載作用下，三維無限長浮置板結(jié)構(gòu)中，相隔任意周期的兩點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)僅在相位上存在差異。由此可實(shí)現(xiàn)通過計(jì)算某一基本元內(nèi)的動(dòng)力響應(yīng)得到結(jié)構(gòu)上任意位置處的響應(yīng)。

進(jìn)一步，通過傅里葉變換可得上述關(guān)系的頻域表達(dá)

由此可得，在激振頻率為ωF的移動(dòng)諧振荷載作用下，三維浮置板軌道左軌、右軌和浮置板振動(dòng)響應(yīng)周期性關(guān)系的頻域表達(dá)為

2.2 振動(dòng)響應(yīng)求解的模態(tài)疊加法

通過上節(jié)給出的周期性關(guān)系，對(duì)軌道任一點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)的求解可通過求解該點(diǎn)在基本元內(nèi)相應(yīng)映射點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)得到，本文選取y=0～Ls的浮置板軌道為基本元，求解其振動(dòng)響應(yīng)。

文獻(xiàn)[14]給出了移動(dòng)諧振荷載作用下，無限周期軌道結(jié)構(gòu)的頻域內(nèi)響應(yīng)的級(jí)數(shù)表達(dá)形式。以此為基礎(chǔ)，結(jié)合式（6）和式（7），可將三維浮置板軌道中鋼軌位移的形式寫為

式中:p為納入考慮的鋼軌模態(tài)數(shù)量，實(shí)際計(jì)算中取NMR=2N+1的有限項(xiàng)；ξp=2πp/Ls；Cp（ω，ωF）為鋼軌模態(tài)系數(shù)。 下文中，ej（ξp+ωF/v-ω/v）y將用表示Vp（xr，y，ω，ωF），稱之為鋼軌模態(tài)。

根據(jù)文獻(xiàn)[15]，對(duì)于四邊自由的矩形薄板，可采用雙向梁函數(shù)組合級(jí)數(shù)逼近的方法求解其振動(dòng)響應(yīng)，即薄板位移可表示為

式中:Xm（x）和Yn（y）分別為薄板x向和y向的自由梁第m階、第n階的模態(tài)振型；Nx，Ny分別為相應(yīng)方向納入考慮的模態(tài)數(shù)量；Tmn（ω，ωF）為薄板模態(tài)系數(shù)。Xm（x）和Yn（y）的表達(dá)式為

式中，αm，βn，Am和Bn均為已知系數(shù)，具體取值見曹志遠(yuǎn)的研究。

至此，可獲得方程數(shù)量為（NMR+NMR+Nx×Ny）的方程組，經(jīng)整理，可得其的矩陣形式

式中:S為得到的NMR+NMR+Nx×Ny階已知方陣；T12（ω，ωF），…，T1Ny（ω，ωF），T21（ω，ωF），…，T2Ny（ω，ωF），…，TNx1（ω，ωF），…，TNxNy（ω，ωF）]T為待求模態(tài)系數(shù)列向量；F為（NMR+NMR+Nx×Ny）×1階已知的外荷載列向量，其取值為

對(duì)式（15）進(jìn)行求解，可得到激振頻率為ωF的單位諧振荷載作用下任一角頻率ω所對(duì)應(yīng)的鋼軌和浮置板模態(tài)系數(shù)。將相應(yīng)的結(jié)果代入式（9）～式（11），可求得基本元內(nèi)左軌、右軌和浮置板對(duì)應(yīng)頻率為ω的位移響應(yīng)，進(jìn)而無限長浮置板軌道內(nèi)拾振點(diǎn)的響應(yīng)即可由式（6） ～式（8）得到。

由于軌道系統(tǒng)是線性的，當(dāng)左右軌上諧振荷載的幅值或激振頻率不同時(shí)，可分別計(jì)算移動(dòng)荷載分別作用在左側(cè)鋼軌或右側(cè)鋼軌兩種情況下的軌道響應(yīng)，然后對(duì)兩者進(jìn)行疊加，即可得到軌道最終的振動(dòng)響應(yīng)。隨后，基于理論推導(dǎo)結(jié)果，通過MATLAB進(jìn)行編程，對(duì)多種荷載組合情況下的軌道動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算分析。

3 模型驗(yàn)證

馬龍祥在頻域內(nèi)建立了二維浮置板軌道模型，計(jì)算了移動(dòng)諧振荷載作用下軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。本文將以此為對(duì)照，對(duì)模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。

令式（11）中Nx=1（僅考慮一階橫向梁模態(tài)），則X（x）≡1，即板同一橫截面上各點(diǎn)的垂向位移一致，此時(shí)模型退化為二維浮置板軌道模型。取浮置板軌道各部分的參數(shù)與馬龍祥研究中的參數(shù)一致。當(dāng)激振頻率為50 Hz的單位移動(dòng)諧振荷載以60 km/h的速度從坐標(biāo)原點(diǎn)沿y正向移動(dòng)時(shí)，位于浮置板軌道75 m處的拾振點(diǎn)位移振動(dòng)響應(yīng)見圖2。

圖2 兩種模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖Fig.2 The results calculated by two models

可以看到，兩模型計(jì)算結(jié)果吻合良好，本文理論推導(dǎo)和程序編制的正確性得以證明。此外，從圖2（a）、圖2（b）中可以看出，當(dāng)荷載尚未移動(dòng)到拾振點(diǎn)所在板時(shí)，拾振點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)較小，當(dāng)荷載進(jìn)入拾振點(diǎn)所在板時(shí)，拾振點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)顯著提升。由圖2（c）、圖2（d）可知，荷載激振頻率附近的頻段內(nèi)的軌道動(dòng)力響應(yīng)較大，且出現(xiàn)較為明顯的多普勒效應(yīng)；由于不連續(xù)板的周期排列及扣件的離散支撐，出現(xiàn)了較為明顯的參數(shù)激勵(lì)。

4 移動(dòng)諧振荷載作用下軌道動(dòng)力響應(yīng)

列車實(shí)際運(yùn)行情況下，輪軌作用力可以表示成一系列簡諧荷載的疊加[16]。由于列車左右側(cè)車輪不圓順和左右側(cè)鋼軌不平順并非完全一致，導(dǎo)致作用在浮置板軌道左右兩鋼軌上簡諧荷載的幅值、相位存在差異，此時(shí)軌道的振動(dòng)響應(yīng)需要通過三維模型進(jìn)行研究。本文針對(duì)這一問題進(jìn)行基礎(chǔ)性研究，僅考慮單位移動(dòng)簡諧荷載作用，求解軌道的振動(dòng)響應(yīng)，為后續(xù)列車-浮置板軌道耦合模型的研究做準(zhǔn)備。

本節(jié)將首先計(jì)算單側(cè)鋼軌作用荷載時(shí)的軌道振動(dòng)響應(yīng)，與二維模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，分析兩種模型的計(jì)算差異；隨后計(jì)算左右側(cè)鋼軌作用不同激振頻率單位移動(dòng)諧振荷載時(shí)的軌道振動(dòng)響應(yīng)。浮置板軌道模型的計(jì)算參數(shù)見表1[17-18]。拾振點(diǎn)位于y=135 m處（板中）。荷載在t=0時(shí)從鋼軌y=0處以60 km/h的速度沿y正向移動(dòng)，計(jì)算的分析頻率為0～100 Hz，此時(shí)取NMR=61，Nx=Ny=20時(shí)可保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

表1 浮置板軌道參數(shù)表Tab.1 Parameters of the floating slab track

4.1 移動(dòng)諧振荷載作用于單側(cè)鋼軌

由于二維模型無法考慮左右軌之間的耦合振動(dòng)，故此節(jié)將首先計(jì)算荷載作用于單軌時(shí)軌道的振動(dòng)響應(yīng)，與二維模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，定量分析三維模型中左右軌之間的相互影響。

圖3給出了激振頻率為50 Hz的單位移動(dòng)諧振荷載作用于左側(cè)鋼軌時(shí)，左右鋼軌及左右鋼彈簧位置處浮置板（后文稱為浮置板左、右側(cè)）在y=135 m（板中位置）處的位移響應(yīng)。

從圖3（a）、圖3（b）兩時(shí)程圖中可以看出，在t=7.2～9.0 s時(shí)，軌道系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)顯著，此時(shí)荷載恰好在拾振點(diǎn)所屬浮置板范圍內(nèi)移動(dòng)，且當(dāng)荷載移動(dòng)到拾振點(diǎn)位置時(shí)（t=8.1 s），軌道振動(dòng)響應(yīng)達(dá)到峰值；而當(dāng)荷載位于拾振點(diǎn)所在板之外的位置時(shí)，拾振點(diǎn)處的振動(dòng)響應(yīng)相對(duì)較小。此外，荷載在左軌移動(dòng)時(shí)，同時(shí)會(huì)引起右軌和浮置板右側(cè)較為明顯的振動(dòng)。由圖3（c）、圖3（d）兩頻譜圖可知，由于右軌的振動(dòng)是由左軌振動(dòng)經(jīng)過浮置板傳遞所致，故其在頻域內(nèi)的振動(dòng)表現(xiàn)與浮置板較為相似，與左軌的頻域振動(dòng)特征相差較大。

圖3 移動(dòng)單位諧振荷載作用于左軌時(shí)的軌道振動(dòng)響應(yīng)圖Fig.3 The displacement response of the track when a unit harmonic load moves on the left rail

為進(jìn)一步分析左右鋼軌間的耦合振動(dòng)，本節(jié)同時(shí)應(yīng)用二維模型計(jì)算了相同荷載作用下鋼軌的振動(dòng)響應(yīng)，與上述工況三維模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。圖4（a）給出了三維模型左側(cè)鋼軌作用激振頻率為50 Hz的單位移動(dòng)諧振荷載時(shí)該軌的位移響應(yīng)，以及相同荷載作用下二維模型的鋼軌位移響應(yīng)。隨后，計(jì)算兩者間的位移差值，與該工況下三維模型右側(cè)鋼軌的位移響應(yīng)進(jìn)行比較，見圖4（b）。

圖4 移動(dòng)單位諧振荷載作用下二、三維模型鋼軌位移對(duì)比圖Fig.4 Comparison between the rail displacement calculated by the 2D and the 3D model under a moving harmonic load

由圖4（a）可以看出，單位移動(dòng)諧振荷載作用下，二維模型計(jì)算得到的鋼軌位移響應(yīng)比三維模型計(jì)算得到的左側(cè)（荷載作用側(cè)）鋼軌位移響應(yīng)稍大；圖4（b）顯示，二維模型鋼軌位移與三維模型左軌位移的差值同三維模型右軌位移值基本相等。結(jié)合兩圖可知，使用三維模型計(jì)算時(shí)，由于左右軌間相互耦合，故作用于左側(cè)鋼軌的荷載同時(shí)會(huì)引起右側(cè)鋼軌的振動(dòng)，導(dǎo)致左軌位移響應(yīng)的計(jì)算結(jié)果略小于二維模型鋼軌位移的計(jì)算結(jié)果，兩者的位移差基本等于該工況下三維模型右側(cè)鋼軌的位移。

4.2 荷載激振頻率不同

在列車輪對(duì)不圓順和軌道不平順的影響下，作用于軌道兩鋼軌的荷載激振頻率成分存在差異，當(dāng)兩側(cè)鋼軌作用不同激振頻率的移動(dòng)荷載時(shí)，軌道的振動(dòng)響應(yīng)會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化，而目前對(duì)此研究較少。本節(jié)將設(shè)置不同的荷載激振頻率，利用本文三維模型，對(duì)浮置板軌道兩側(cè)鋼軌作用不同激振頻率單位移動(dòng)諧振荷載時(shí)的軌道振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行初步研究。

圖5給出了左、右鋼軌分別作用激振頻率為30 Hz，50 Hz的單位移動(dòng)諧振荷載時(shí)，鋼軌和浮置板的位移響應(yīng)，拾振點(diǎn)位置與上節(jié)相同。

圖5 左軌、右軌分別作用激振頻率為30 Hz，50 Hz移動(dòng)單位諧振荷載時(shí)的軌道振動(dòng)響應(yīng)圖Fig.5 The track displacement response when the excitation frequencies of the moving unit harmonic loads of the left rail and right rail are respectively 30 Hz and 50 Hz

由圖5可知，相較于單一頻率荷載作用，左右軌作用不同頻率的單位移動(dòng)諧振荷載時(shí)軌道的振動(dòng)響應(yīng)更為復(fù)雜，同時(shí)能夠更明顯地看出荷載從遠(yuǎn)離拾振點(diǎn)的浮置板向拾振點(diǎn)所在浮置板移動(dòng)的過程，每通過一塊浮置板的時(shí)間為1.8 s。 由圖5（a）、圖5（b）兩時(shí)程圖可知，左側(cè)鋼軌的振動(dòng)響應(yīng)明顯大于右側(cè)鋼軌。從圖5（c）、圖5（d）兩頻譜圖看出，左側(cè)鋼軌的振動(dòng)響應(yīng)峰值在本側(cè)荷載激振頻率f=30 Hz附近，而在右側(cè)荷載激振頻率f=50 Hz附近，雖也出現(xiàn)較大的振動(dòng)響應(yīng)，但相比峰值響應(yīng)要小兩個(gè)數(shù)量級(jí)。右側(cè)鋼軌的振動(dòng)響應(yīng)則出現(xiàn)兩個(gè)大小相近的峰值，峰值頻率分別對(duì)應(yīng)左、右軌上荷載的激振頻率，浮置板也具有相同的振動(dòng)特征。

為進(jìn)一步探究兩側(cè)鋼軌作用不同激振頻率的移動(dòng)荷載時(shí)，軌道振動(dòng)響應(yīng)的特征及規(guī)律，本節(jié)計(jì)算了激振頻率分別為50 Hz，70 Hz以及70 Hz，100 Hz兩組單位移動(dòng)諧振荷載分別作用于左、右側(cè)鋼軌時(shí)，鋼軌的振動(dòng)響應(yīng)，見圖6及圖7。

圖6 左軌、右軌分別作用激振頻率為50 Hz，70 Hz單位諧振荷載時(shí)的鋼軌振動(dòng)響應(yīng)圖Fig.6 The rail displacement response when the excitation frequencies of the moving unit harmonic loads of the left rail and right rail are respectively 50 Hz and 70 Hz

圖7 左軌、右軌分別作用激振頻率為70 Hz，100 Hz單位諧振荷載時(shí)的鋼軌振動(dòng)響應(yīng)圖Fig.7 The rail displacement response when the excitation frequencies of the moving unit harmonic loads of the left rail and right rail are respectively 70 Hz and 100 Hz

綜合圖5（a）、圖6（a）和圖7（a）可知，時(shí)域內(nèi)，激振頻率不同的單位移動(dòng)諧振荷載作用于兩側(cè)鋼軌時(shí)，較低激振頻率荷載作用側(cè)的鋼軌振動(dòng)較另一側(cè)更大。由圖5（b）、圖6（b）和圖7（b）三頻譜圖可知，每種工況下，左右側(cè)鋼軌均在兩荷載激振頻率處出現(xiàn)峰值，但左右側(cè)鋼軌在低頻荷載激振頻率處的位移差明顯小于在高頻荷載激振頻率處的位移差。以圖7（b）為例，100 Hz處右側(cè)鋼軌與左側(cè)鋼軌間的位移差約為70 Hz處左側(cè)鋼軌與右側(cè)鋼軌間位移差的1.5倍。由此可知，在左右鋼軌耦合振動(dòng)的情況下，低頻荷載對(duì)高頻荷載作用側(cè)軌道振動(dòng)響應(yīng)的影響比高頻荷載對(duì)低頻荷載作用側(cè)軌道振動(dòng)響應(yīng)的影響大。

5 結(jié) 論

本文基于歐拉梁理論和Kirchhoff薄板理論建立了無限長三維浮置板軌道模型，并利用周期無限結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，通過計(jì)算軌道任一點(diǎn)在基本元內(nèi)對(duì)應(yīng)位置處的響應(yīng)來最終獲得該點(diǎn)動(dòng)力響應(yīng)，大大提高計(jì)算效率。在對(duì)程序的正確性進(jìn)行驗(yàn)證之后，本文計(jì)算了多種單位移動(dòng)諧振荷載作用于浮置板軌道兩鋼軌時(shí)的軌道動(dòng)力響應(yīng)，得到如下結(jié)論:

（1）當(dāng)移動(dòng)荷載移動(dòng)到拾振點(diǎn)所屬浮置板范圍內(nèi)時(shí)，拾振點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)較為顯著，且軌道振動(dòng)響應(yīng)的顯著頻段集中在移動(dòng)諧振荷載激振頻率兩側(cè)。

（2）由于浮置板的存在，左右側(cè)鋼軌間存在耦合振動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)荷載作用于左側(cè)鋼軌時(shí)，右側(cè)的鋼軌相應(yīng)發(fā)生振動(dòng)，其位移響應(yīng)在數(shù)值上同二維模型鋼軌與三維模型左側(cè)鋼軌的位移差基本一致，且右軌的頻域振動(dòng)響應(yīng)特征與浮置板振動(dòng)響應(yīng)特征相近。

（3）當(dāng)雙軌作用激振頻率不同的移動(dòng)單位諧振荷載時(shí)，作用激振頻率較低的荷載側(cè)的軌道振動(dòng)響應(yīng)更大；在頻域內(nèi)，軌道的振動(dòng)響應(yīng)在兩荷載激振頻率附近出現(xiàn)峰值，且低頻荷載對(duì)高頻荷載作用側(cè)的軌道振動(dòng)響應(yīng)影響比高頻荷載對(duì)低頻荷載作用側(cè)的軌道振動(dòng)響應(yīng)的影響大。