基于多復(fù)域的頻響函數(shù)靈敏度分析

田 宇， 曹芝腑， 姜 東，

（1.南京林業(yè)大學(xué) 機械電子工程學(xué)院，南京 210037；2.東南大學(xué) 空天機械動力學(xué)研究所，南京 211189）

參數(shù)靈敏度分析在工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化[1]、模型修正[2-4]和參數(shù)識別[5-8]中具有廣泛應(yīng)用。通過參數(shù)的靈敏度分析，可以量化工程結(jié)構(gòu)中各設(shè)計參數(shù)對結(jié)構(gòu)性能的影響程度和影響規(guī)律，指導(dǎo)結(jié)構(gòu)設(shè)計和分析[9-10]。復(fù)雜結(jié)構(gòu)的影響因素比較多，通過靈敏度分析可以將對結(jié)構(gòu)性能影響較大的參數(shù)作為變量，從而降低結(jié)構(gòu)分析設(shè)計難度，提升分析效率。

直接求導(dǎo)法通過對頻響函數(shù)的模態(tài)展開式進行求導(dǎo)，得到頻響函數(shù)靈敏度微分方程，該方法計算量較大，且存在由模態(tài)截斷導(dǎo)致的頻響函數(shù)分析誤差。頻響函數(shù)殘差法是在實數(shù)域上進行參數(shù)攝動，在函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)急劇震蕩處或攝動量過小時，計算精度容易受攝動步長的影響。Lin[11]運用加權(quán)靈敏度法，在建模存在較大誤差的情況下，依然可以得到收斂性好的頻響函數(shù)靈敏度分析結(jié)果。Zhu等[12]基于Sherman-Morrison-Woodbury公式，提出了一種頻響函數(shù)的再分析方法，利用該方法可以得到多參數(shù)同時攝動時的頻響函數(shù)靈敏度，提高分析效率。黃修長等[13]基于頻響函數(shù)綜合的子結(jié)構(gòu)方法推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)動力系統(tǒng)的靈敏度，提高了結(jié)構(gòu)建模與優(yōu)化設(shè)計的效率。周俊賢等[14]基于頻響函數(shù)、模態(tài)、靜力位移的靈敏度分析，對結(jié)構(gòu)的局部損傷進行識別。Esfandiari等[15]提出了一種基于頻率響應(yīng)函數(shù)主成分變化和靈敏度分析的模型修正方法，用不完全測量的結(jié)構(gòu)響應(yīng)結(jié)合主成分分析得到靈敏度，該靈敏度分析方法比直接使用頻響數(shù)據(jù)的結(jié)果更準(zhǔn)確。Wang等[16]提出了一種基于頻響函數(shù)靈敏度分析的優(yōu)化方法，研究了頻響函數(shù)在一定頻帶寬度約束下的桁架結(jié)構(gòu)的動態(tài)尺寸優(yōu)化問題。

復(fù)變量求導(dǎo)法通過提取復(fù)數(shù)域的虛部響應(yīng)得到參數(shù)靈敏度，避免差分運算，可以得到高精度的一階導(dǎo)數(shù)。Wang等[17]將復(fù)變量求導(dǎo)方法應(yīng)用于彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率和振型的一階導(dǎo)數(shù)的求解。Gao等[18]通過求解奇異函數(shù)和強非線性函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，證明了復(fù)變量求導(dǎo)法得到的導(dǎo)數(shù)解精度遠(yuǎn)高于差分法。Garza等[19]運用復(fù)變量求導(dǎo)方法計算結(jié)構(gòu)動響應(yīng)的一階和二階靈敏度，與前向差分法和中心差分法的靈敏度分析結(jié)果相比較，說明復(fù)變量求導(dǎo)法不易受攝動步長影響。在頻響函數(shù)靈敏度分析中，運用復(fù)變量求導(dǎo)法計算頻響函數(shù)靈敏度更加高效精確。但由于頻響函數(shù)本身含有復(fù)數(shù)，對設(shè)計變量再進行虛部攝動時，需要對方程本身的復(fù)域與攝動量的復(fù)域進行解耦，產(chǎn)生了不同復(fù)域下的虛數(shù)單位同時運算的問題。

本文提出了一種基于多復(fù)域的頻響函數(shù)靈敏度分析方法，建立復(fù)數(shù)在實域中的等價矩陣格式，得到多復(fù)域下結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程與靈敏度方程的解耦形式，實現(xiàn)頻響函數(shù)關(guān)于結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度求解，為頻域內(nèi)結(jié)構(gòu)動響應(yīng)的靈敏度分析提供更加準(zhǔn)確的數(shù)值求解方法。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 復(fù)變量求導(dǎo)法

復(fù)變量求導(dǎo)法是一種計算精度高且不受攝動步長影響的數(shù)值靈敏度求解方法，復(fù)數(shù)的定義為

式中:C1為所有單復(fù)數(shù)的集合；i1為虛數(shù)單位，=-1；R為所有實數(shù)的集合。在復(fù)變量求導(dǎo)法中，通過構(gòu)造設(shè)計參數(shù)的虛部攝動量，利用復(fù)數(shù)域泰勒展開公式，可以得到其對應(yīng)的一階靈敏度

式中:θ為設(shè)計參數(shù)；h=Δh×θ為參數(shù)攝動量，Δh為攝動系數(shù)。

則式（2）的虛部響應(yīng)可以表示為

式中，Im（f）為函數(shù)f的虛部響應(yīng)，最后得到θ的一階偏導(dǎo)數(shù)可表示為

式中，O（h2）為攝動量的二階截斷。由式（4）可以看出，計算函數(shù)的一階靈敏度時，對實函數(shù)的自變量攝動i h，求出復(fù)變函數(shù)的值，取其虛部再除以h，即可得到函數(shù)的一階靈敏度，避免了極小數(shù)相減的問題。該過程可以解決一般解析分析無法解決的強非線性和隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)計算問題，且一步即可完成計算，計算量比常規(guī)差分法更小。計算系統(tǒng)頻響函數(shù)靈敏度時依然可以使用此方法。

1.2 復(fù)域的矩陣等價

在采用復(fù)數(shù)進行分析時，通常采用式（1）的形式構(gòu)造計算方程。為了將復(fù)數(shù)的實部和虛部進行分離，可以采用實數(shù)域的矩陣形式得到復(fù)數(shù)域的等價格式。對同一個運算過程，矩陣形式的計算結(jié)果重新化為多項式形式后，與使用式（1）的多項式形式計算出的結(jié)果完全一致[20]。任何單復(fù)數(shù)都可以用一個2×2的實數(shù)矩陣表示。定義如下

式中，X1為單復(fù)數(shù)x0+x1i對應(yīng)的矩陣表達形式，其每個元素與C1中的每個元素一一對應(yīng)。

雙復(fù)數(shù)的定義在單復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上，含有兩個不同方向的虛數(shù)單位。在所有的多復(fù)數(shù)中，雙復(fù)數(shù)的性質(zhì)是已知和研究最多的，并已經(jīng)應(yīng)用于多個應(yīng)用領(lǐng)域，如分形和量子理論[21-22]。雙復(fù)數(shù)可以用2×2的復(fù)數(shù)矩陣或4×4的實數(shù)矩陣表示，定義如下

式中，X2中的每個元素與C2中的每個元素一一對應(yīng)，任何雙復(fù)數(shù)都可以用一個2×2的復(fù)數(shù)矩陣或4×4的實數(shù)矩陣表示。

每增加一個虛數(shù)單位，就要對矩陣進行一次擴維。含有n個虛數(shù)單位的參數(shù)，需要2n×2n維實數(shù)矩陣進行等價。

表示多復(fù)數(shù)的實數(shù)矩陣在文獻[23]中稱為柯西-黎曼矩陣，這種形式的柯西-黎曼矩陣與多復(fù)數(shù)之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。因此，多復(fù)數(shù)的算術(shù)運算（+，-，×）等價于矩陣表示上的算術(shù)運算。

1.3 多復(fù)域頻響函數(shù)靈敏度分析

為了求解結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)關(guān)于設(shè)計參數(shù)的靈敏度，考慮頻域內(nèi)結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程中已有的i復(fù)域，引入僅考慮設(shè)計參數(shù)攝動的j復(fù)域，從而實現(xiàn)多復(fù)域下的頻響函數(shù)靈敏度分析。

頻域內(nèi)結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程為

式中:M，C，K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；i和j為虛數(shù)單位；ω為圓頻率；θ為設(shè)計參數(shù)；x（ω）和F（ω）為位移與激勵的傅里葉變換。

首先，對i復(fù)域內(nèi)的結(jié)構(gòu)矩陣進行等價轉(zhuǎn)換。利用復(fù)數(shù)的等價矩陣表達，式（7）中各項的等價實數(shù)矩陣為

式中:xRe，xIm分別為x（ω）的實部和虛部；FRe，F(xiàn)Im分別為F（ω）的實部和虛部。 將式（8） ～式（12）代入式（7）可得

式（13）為四個等式構(gòu)成的方程組，其中只有兩個有效方程，舍去x矩陣與F矩陣的第二列，式（13）可簡化為

然后，考慮設(shè)計參數(shù)θ所在的j復(fù)域，再次利用復(fù)數(shù)的矩陣表達對j復(fù)域內(nèi)的參數(shù)進行等價轉(zhuǎn)換。將式（14）展開為j復(fù)域下的表達式

式中，ΔM，ΔC和ΔK分別為M，C，K的攝動量。利用雙復(fù)數(shù)式（6），將式（15）轉(zhuǎn)化為實數(shù)矩陣的表達

最后，通過在i復(fù)域和j復(fù)域上的二次轉(zhuǎn)換，得到擴維后的控制方程式（22），即為頻響函數(shù)對設(shè)計參數(shù)θ的靈敏度計算公式。

若對某設(shè)計參數(shù)的攝動只導(dǎo)致質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣中的某一個或兩個矩陣發(fā)生變化，則只要將不發(fā)生變化的攝動矩陣ΔM，ΔC或ΔK變?yōu)榱憔仃嚧胧剑?2）即可。

1.4 實現(xiàn)流程

基于多復(fù)域的結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)靈敏度分析方法（見圖1），按照如下步驟實現(xiàn):

圖1 多復(fù)域法頻響函數(shù)靈敏度分析流程圖Fig.1 Flow chart of sensitivity analysis of frequency response function in multicomplex domain

步驟1對結(jié)構(gòu)進行動力學(xué)建模，得到結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和外部力向量，從而得到結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)方程；

步驟2構(gòu)造設(shè)計參數(shù)的虛數(shù)攝動量，該虛數(shù)方向與頻響函數(shù)自身虛數(shù)的方向不同，使設(shè)計參數(shù)從實數(shù)變?yōu)閺?fù)數(shù)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣也變成對應(yīng)復(fù)數(shù)量，頻響函數(shù)函數(shù)方程變?yōu)槎鄰?fù)數(shù)方程；

步驟3將攝動后的頻響函數(shù)方程運用多復(fù)數(shù)理論進行擴維，得到等價的實數(shù)矩陣，并利用數(shù)值分析方法對該實數(shù)矩陣求解；

步驟4提取實數(shù)矩陣的運算結(jié)果，得到結(jié)構(gòu)的實部響應(yīng)和虛部響應(yīng)，并可計算得到頻響函數(shù)對設(shè)計參數(shù)的的實部靈敏度和虛部靈敏度。

2 算例研究

2.1 多自由度系統(tǒng)

為驗證多復(fù)域方法靈敏度分析方法的有效性，用五自由度彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)開展研究，結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 五自由度彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)Fig.2 Five degrees of freedom spring mass damping system

該系統(tǒng)兩端固定，共有5個質(zhì)量參數(shù)，9個剛度參數(shù)和6個阻尼參數(shù)，分析模型選取的參數(shù)值為m1=5 kg，m2=2 kg，m3=1 kg，m4=2 kg，m5=5 kg，c1=c2=c3=c4=c5=c6=0.5 N·s/m，k1=k2=k5=k6=100 000 N/m，k3=k4=50 000 N/m，k13=k24=k35=40 000 N/m。計算結(jié)構(gòu)的幅頻曲線，如圖3所示。

圖3 五自由度系統(tǒng)幅頻曲線Fig.3 Amplitude-frequency curve of a five degree of freedom system

2.1.1 靈敏度分析

利用多復(fù)域法計算彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)頻響函數(shù)對結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度。為了便于比較兩種方法，選取合適的分析頻段，先計算出系統(tǒng)的幅頻曲線見圖3。

由系統(tǒng)幅頻曲線可知，該系統(tǒng)的一階模態(tài)頻率在110 Hz附近，為方便討論，取頻率范圍108～112.5 Hz進行研究，分別給出系統(tǒng)頻響函數(shù)幅值和頻響函數(shù)對特定質(zhì)量參數(shù)、阻尼參數(shù)、剛度參數(shù)的靈敏度。

記結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)為Hlp，表示在第p個自由度上施加單位簡諧力時第l個自由度的穩(wěn)態(tài)位移頻率響應(yīng)。使用有限差分法和多復(fù)域法計算結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)H11的幅值及實部、虛部響應(yīng)對不同參數(shù)的靈敏度，攝動系數(shù)設(shè)為10-6。以頻響函數(shù)的實部靈敏度為橫坐標(biāo)，虛部靈敏度為縱坐標(biāo)，畫出靈敏度的奈奎斯特圖。結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)幅值及頻響函數(shù)的實部和虛部分別對質(zhì)量參數(shù)、阻尼參數(shù)、剛度參數(shù)的靈敏度如圖4所示。

圖4中Am表示頻響函數(shù)的幅值，圖4（a）、圖4（c）、圖4（e）分別為結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)幅值對質(zhì)量參數(shù)m4、阻尼參數(shù)c1和剛度參數(shù)k1的靈敏度曲線，圖4（b）、圖4（d）、圖4（f）為位移頻率響應(yīng)H11分別對質(zhì)量參數(shù)m4、阻尼參數(shù)c1和剛度參數(shù)k1的實部和虛部靈敏度的奈奎斯特圖。奈奎斯特圖上每一點都是對應(yīng)一個特定頻率點下的頻響函數(shù)靈敏度，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為頻率響應(yīng)的實部靈敏度和虛部靈敏度。頻響函數(shù)靈敏度更大的點計算誤差也越大，更需要被關(guān)注，而頻率-靈敏度圖中絕大部分都為數(shù)值較小的點，誤差大的部分難以被重點關(guān)注。奈奎斯特圖中數(shù)值較小的點都集中在原點附近，數(shù)值越大的點距原點越遠(yuǎn)，變化較大的靈敏度在圖中得到了很好的反映，精確度和誤差也因此更容易比較。通過選取特定點計算響應(yīng)對質(zhì)量、阻尼和剛度的靈敏度，發(fā)現(xiàn)多復(fù)域方法是一種有效的方法，可以得出較為精確的靈敏度曲線，但精確度需要進一步探究。

圖4 兩種不同方法計算得到的頻響函數(shù)靈敏度曲線Fig.4 Sensitivities of the FRF calculated by two different methods

2.1.2 攝動系數(shù)影響分析

為給出多復(fù)域法計算結(jié)果的精確誤差，計算有限差分法和多復(fù)域法不同方法在攝動系數(shù)從10-1～10-7時與精確值之間的誤差，以解析法的計算結(jié)果為精確值，給出頻響函數(shù)靈敏度精確值的計算表達式（23）。

定義每次攝動后的靈敏度分析結(jié)果誤差e為

表1 兩種分析方法對于精確值的誤差Tab.1 The error of the two analytical methods for the exact value

可以看出，多復(fù)域方法的誤差明顯小于有限差分法，具有更高的精度。畫出兩種方法在不同攝動系數(shù)時的靈敏度奈奎斯特圖，如圖5所示，通過圖片更加直觀地反應(yīng)兩種方法的誤差。

圖5 攝動系數(shù)對頻響函數(shù)靈敏度的影響Fig.5 Influence of perturbation of two different methods on the sensitivities of the FRF

在攝動系數(shù)變小的過程中，有限差分法得出的剛度靈敏度曲線逐漸歸一，誤差逐漸減小。但在攝動系數(shù)過小之后，誤差又開始逐漸增大。運用多復(fù)域方法計算剛度靈敏度在攝動系數(shù)到達10-2后，曲線迅速平穩(wěn)，可以看出多復(fù)域方法收斂快，精度高。

2.2 桁架結(jié)構(gòu)

進一步說明多復(fù)域靈敏度分析方法在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的適用性，本文以GARTEUR AG-11[24]桁架結(jié)構(gòu)為例開展頻響函數(shù)靈敏度分析。

圖6所示GARTEUR AG-11桁架結(jié)構(gòu)的幾何尺寸為寬3 m，長3 m×5 m，采用桿單元建立該結(jié)構(gòu)的有限元模型，共劃分為36個單元和32個節(jié)點，每個節(jié)點有兩個自由度Zix和Ziy，節(jié)點編號與自由度編號如圖所示。其中31和32號節(jié)點為邊界節(jié)點，約束其全部自由度。結(jié)構(gòu)的材料分別參數(shù)為:彈性模量E=7.5 GPa，密度ρ=2 800 kg/m3，橫截面積A=0.004 m2。結(jié)構(gòu)阻尼矩陣采用比例阻尼，設(shè)C=αM+βK，利用加權(quán)最小二乘法計算得出合理的α和β，取α=β=0.000 1。

圖6 GARTEUR AG-11桁架結(jié)構(gòu)Fig.6 GARTEUR AG-11 truss structure

計算桁架結(jié)構(gòu)在10號節(jié)點x向自由度Z10x的原點頻響函數(shù)，記為H，其幅值曲線如圖7所示。

圖7 桁架結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)幅值Fig.7 Amplitude of FRF of truss structure

2.2.1 靈敏度分析

桁架橫截面積A是桁架結(jié)構(gòu)的重要參數(shù)，決定桁架的剛度和質(zhì)量。分析桁架頻響函數(shù)對橫截面積的靈敏度，可以為結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計和模型修正提供參考。桁架結(jié)構(gòu)的橫截面積是較為復(fù)雜的參數(shù)，橫截面積的變化會引起系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣的變化。

在用公式表達彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)的靈敏度分析的基礎(chǔ)上，給出適用于更一般連續(xù)系統(tǒng)的方法?？紤]連續(xù)結(jié)構(gòu)如圖8所示的簡單桿桁架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度攝動。

圖8 桁架單元Fig.8 Truss element

圖8為桁架結(jié)構(gòu)的一個單位元素，單元兩側(cè)的節(jié)點用i和j表示，每個節(jié)點兩個自由度，分別為x向和y向的平動自由度。則集中質(zhì)量矩陣表示為

式中:上標(biāo)t為單元編號；ρ為密度；A為橫截面積；l為長度。單元剛度矩陣表示為

式中:E為彈性模量，每個子陣[kij]t維數(shù)為2×2。給定傾斜角度θ，則轉(zhuǎn)換矩陣為

當(dāng)總質(zhì)量擾動為Δmi時，在節(jié)點i處的質(zhì)量單元矩陣的單元局部坐標(biāo)的變化量為

在全局坐標(biāo)系中，質(zhì)量單元矩陣的相應(yīng)變化為

上面的形式可以寫為

式中，上標(biāo)T為矩陣轉(zhuǎn)置，其中

由于質(zhì)量矩陣組裝性質(zhì)，描述總質(zhì)量變化的矩陣ΔM為

式中，Yij中的元素按節(jié)點編號排列，只有第（2i-1）個和第（2i-2）個對角元素非零。

如果將多個集中質(zhì)量添加到多個節(jié)點，則由于集中質(zhì)量只修改質(zhì)量矩陣對角線上的元素，頻響函數(shù)的靈敏度可以由此計算得出。類似式（32）要求在矩陣ΔM的對應(yīng)位置添加變量值。

假設(shè)長度l保持不變，橫截面積A作為變量，通過式（25）和式（26）影響質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。我們?nèi)卧猼為例考慮橫截面積變化情況:A^=A+ΔA。

單元t的橫截面積變化ΔA時，其質(zhì)量矩陣和剛度矩陣均發(fā)生變化。為了簡化，設(shè)ΔA＞0，表示質(zhì)量單元和剛度單元變化的矩陣為

則同理可知，將ΔA代入有限元分析計算，得出的質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K即為所需的ΔM，ΔK。

在得到質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣的變化量ΔM，ΔC，ΔK后，代入式（22），采用多復(fù)域方法，得到Z10x的原點頻響函數(shù)H關(guān)于橫截面積A的實部和虛部響應(yīng)靈敏度奈奎斯特圖，如圖9所示。從圖中可以看出，本文方法得到的結(jié)果與有限差分法的結(jié)果一致，對于復(fù)雜桁架結(jié)構(gòu)，橫截面積A的變化同時引起質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣的變化，該情況下多復(fù)域方法仍然有效。

圖9 攝動系數(shù)為10-5時多復(fù)域方法的靈敏度分析結(jié)果Fig.9 Sensitivity analysis results of multicomplex domain method with perturbation of 10-5

2.2.2 靈敏度影響因素

為探究多復(fù)域方法對復(fù)雜結(jié)構(gòu)進行靈敏度分析時的準(zhǔn)確性和有效性，考慮攝動量對該方法計算精度的影響。分別使用有限差分法和多復(fù)域法，將攝動系數(shù)從10-1變化到10-8，計算頻響函數(shù)H對設(shè)計參數(shù)橫截面積A的靈敏度，并用式（23）和式（24）計算出精確值和誤差e，結(jié)果如圖10所示。

圖10 攝動系數(shù)對有限差分法與多復(fù)域法計算頻響函數(shù)靈敏度的影響Fig.10 The influence of perturbation coefficient on the sensitivity of FRFs by finite difference method and multicomplex domain method

多復(fù)域法和有限差分法在攝動量變小的過程中，誤差都逐漸收斂。但有限差分法計算結(jié)果在攝動系數(shù)到達10-6后開始產(chǎn)生波動，在10-8處產(chǎn)生了劇烈變化，精度明顯下降，而與之相對應(yīng)的多復(fù)域法仍然穩(wěn)定。

3 結(jié) 論

本文提出了一種多復(fù)域的結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)靈敏度分析方法，通過實數(shù)域的矩陣格式對復(fù)數(shù)的實部和虛部進行分離，實現(xiàn)了復(fù)變量求導(dǎo)法在結(jié)構(gòu)頻域響應(yīng)靈敏度分析中的應(yīng)用，并通過多自由度系統(tǒng)和GARTEUR結(jié)構(gòu)進行參數(shù)研究，證明了該方法的有效性。

相較于傳統(tǒng)的實數(shù)域有限差分法，本文給出的一種多復(fù)域靈敏度分析方法保留了復(fù)數(shù)域靈敏度分析方法的優(yōu)點，計算精度高，不受攝動步長影響，可以為頻響函數(shù)靈敏度分析提供更加準(zhǔn)確的結(jié)果。本文僅針對方程中存在兩個復(fù)域的情況進行了研究，若存在更多復(fù)域時，可對方程進行多次擴維，用以一次攝動多個參數(shù)或求更高階靈敏度，對此該方法依然有效。