基于局部共振理論的齒輪成形磨削縱彎諧振系統(tǒng)設(shè)計

郭星晨，趙 波，尹 龍，別文博，王曉博

（河南理工大學(xué) 機械與動力工程學(xué)院，河南 焦作 454000）

大負載型成形砂輪盤諧振系統(tǒng)，為目前鮮有研究的齒輪成形磨削縱彎諧振振動系統(tǒng)。該系統(tǒng)分為兩部分組成:圓錐過渡型復(fù)合變幅桿和成形砂輪盤。其中，變幅桿做單一縱向振動，激勵成形砂輪做節(jié)圓型橫向彎曲振動，從而實現(xiàn)兩種不同振型的復(fù)合。在旋轉(zhuǎn)超聲加工領(lǐng)域，將振動附加在磨具上，通過改變材料去除機理，可降低宏觀磨削力與磨削熱，并具有精度高、效率高、成本低等優(yōu)勢[1-5]。由于盤形負載輻射面積大、功率大、帶寬大等特點，故通常應(yīng)用于超聲清洗、超聲換能器等聲學(xué)領(lǐng)域，且相比超聲鉆削、銑削等，縱振變幅器具有較高的聲輻射效率[6]。成形砂輪盤諧振系統(tǒng)作為齒輪超聲磨削技術(shù)的關(guān)鍵，其設(shè)計理論對超聲加工、超聲后處理等應(yīng)用具有重要影響。

據(jù)文獻[7-8]顯示，在多數(shù)超聲振動系統(tǒng)設(shè)計中，若工具頭滿足兩點條件之一，則可遵照全諧振設(shè)計理論進行設(shè)計，即變幅桿質(zhì)量遠大于工具桿，可忽略對系統(tǒng)設(shè)計的影響，亦或較大工具頭可結(jié)合設(shè)計頻率進行自由設(shè)計。文中所述砂輪作為變幅桿直接負載，其幾何尺寸和相關(guān)材料特性等均取決于使用條件，故不能按照頻率進行自由設(shè)計。再者，因其體積大、質(zhì)量重，則全諧振設(shè)計方法不適用于本系統(tǒng)的設(shè)計。此外，全諧振設(shè)計方法是基于同一頻率對系統(tǒng)整體進行設(shè)計，對系統(tǒng)各部分的精度要求較高，一般工裝設(shè)計精度和加工條件難以滿足所需要求，且少許偏差均可致使各部分諧振頻率發(fā)生漂移，從而影響系統(tǒng)穩(wěn)定性[9]。由此，局部共振設(shè)計方法為大負載工具頭振動系統(tǒng)的設(shè)計提供了一種高效穩(wěn)定的途徑。

范國良等[10]最早在有關(guān)超聲鉆削深小孔加工中發(fā)現(xiàn)局部共振現(xiàn)象。隨著超聲加工技術(shù)的發(fā)展，基于局部共振理論，Lin等[11]和Suzuki等[12-13]分別提出整體共振設(shè)計和非諧振設(shè)計理論。李鵬濤等[14]運用局部共振理論設(shè)計了超聲銑削聲學(xué)系統(tǒng)。文獻[15-17]基于Mindlin理論，對縱彎諧振變幅器及超聲珩齒系統(tǒng)進行了一體式非諧振設(shè)計。文獻[18-21]研究了變幅桿激勵面積及變幅器幾何尺寸，對矩形板和階梯圓盤的諧振頻率、振幅、振型等振動特性的影響規(guī)律。其中，局部共振理論既可使所需振動系統(tǒng)工具頭幾何尺寸根據(jù)使用條件進行設(shè)計，又可通過調(diào)節(jié)發(fā)生器頻率，降低工具頭因磨損所導(dǎo)致的諧振頻率漂移影響，具有較高的穩(wěn)定性。

基于以上研究，本文結(jié)合局部共振理論，對超聲磨齒系統(tǒng)中的大負載成形砂輪盤縱彎諧振系統(tǒng)進行一體式設(shè)計。結(jié)合振動單元間的連續(xù)條件和邊界條件，按照一體式設(shè)計思路建立縱彎諧振系統(tǒng)的理論模型和頻率方程，并利用相關(guān)軟件進行計算、建模及仿真模擬。此外，通過有限元模態(tài)分析、諧響應(yīng)分析、阻抗分析試驗和超聲諧振試驗，對系統(tǒng)頻率以及實際效果進行分析驗證，表明了基于局部共振設(shè)計理論的砂輪盤縱彎諧振系統(tǒng)設(shè)計方法的可行性與準(zhǔn)確性。

1 齒輪成形磨削縱彎諧振系統(tǒng)理論模型

1.1 模型條件

基于局部共振耦合理論，本文采用一體式設(shè)計思路，對齒輪成形磨削砂輪盤振動系統(tǒng)進行設(shè)計。系統(tǒng)從左至右分為三段:圓柱段L1、圓錐過渡段L2以及砂輪盤段L3，λ為波長。 其中，R1=16 mm，R2=11 mm、變幅桿為3/4波長圓錐過渡型、設(shè)計頻率為35.00 kHz、Ⅰ為磨齒工作端、Ⅱ為砂輪基體、Ⅲ為變幅桿、砂輪盤厚L3=12 mm。

齒輪成形磨削砂輪盤振動系統(tǒng)模型示意圖，如圖1所示。具體表現(xiàn)為:砂輪與變幅桿經(jīng)螺母固連；為簡化理論分析，忽略螺母的影響；換能器作為激勵源與變幅桿經(jīng)螺栓緊密連接。變幅桿中質(zhì)點以縱波形式傳向砂輪盤段，并轉(zhuǎn)換為橫波振動方式。鑒于砂輪厚度遠小于其半徑大小，故可將該段按薄圓盤振動形式處理。而當(dāng)該系統(tǒng)做縱彎諧振時，砂輪盤單元則在縱振變幅桿的激勵下做橫向節(jié)圓型彎曲振動，即系統(tǒng)整體以縱-彎的形式傳導(dǎo)。故，砂輪盤工作端質(zhì)點實際振動方向表現(xiàn)為與變幅桿軸線形成一定夾角。

圖1 齒輪成形磨削超聲振動系統(tǒng)Fig.1 Gear forming and grinding ultrasonic vibration system

1.2 頻率方程

諧振條件下，變截面桿縱振動波動方程表示為[22]

式中:S=S（x）為變幅桿的橫截面積函數(shù)；ξ=ξ（x）為質(zhì)點位移函數(shù)；k=ω/c，k為縱波圓波數(shù)，c為縱波在細棒中的傳播速度，m/s。

結(jié)合式（1）求得變幅桿各段位移函數(shù)ξ（x）以及應(yīng)力函數(shù) ?ξ（x）/?x:

（1）圓柱段位移函數(shù)和應(yīng)力函數(shù)

（2）圓錐段位移函數(shù)和應(yīng)力函數(shù)

（3）砂輪盤段位移函數(shù)和應(yīng)力函數(shù)

由薄圓板厚徑比計算標(biāo)準(zhǔn)（L3/R3?1）得知，砂輪盤做薄盤自由振動，其無阻尼運動微分方程為[23]

式中:D為彎曲剛度，N/m；E0為彈性模量，GPa；ρ為面密度，kg/m2；L3為盤厚，mm；μ為泊松比；w為砂輪盤上質(zhì)點的位移函數(shù)；?2為拉普拉斯算子

當(dāng)極坐標(biāo)系的原點與砂輪中心點重合，且砂輪盤做簡諧運動時，工具盤的理想化振動微分函數(shù)表示為

式中:ω1為砂輪盤振動角頻率，rad/s；Jn（·）和Yn（·）分別為第一類、第二類貝塞爾函數(shù)；n為砂輪盤振動的節(jié)徑數(shù)。

根據(jù)薄圓盤振動設(shè)計要求，通常假定其振動節(jié)徑數(shù)n=0，則圓盤段的位移函數(shù)和應(yīng)力函數(shù)可分別表示為

假設(shè)諧振系統(tǒng)左右兩端處于自由狀態(tài)，故而滿足兩端應(yīng)力函數(shù)和位移函數(shù)為零。結(jié)合振動單元間的連續(xù)條件，獲得邊界條件

分別將該系統(tǒng)各部分位移和應(yīng)力函數(shù)代入式（7），則系統(tǒng)頻率方程可表示為

2 齒輪成形磨削諧振系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化

基于本試驗振動系統(tǒng)加工條件，為滿足其加工使用強度以及實際振動效果要求，變幅桿和砂輪盤基體均選用45#鋼，相關(guān)物理性能參數(shù)如表1所示。

表1 45#鋼物理性能參數(shù)Tab.1 45#steel physical performance parameters

結(jié)合系統(tǒng)已知材料性能及尺寸參數(shù)，求解超越方程得知，在給定圓柱段L1=36.5 mm、砂輪盤半徑R3=37.50 mm下，圓錐段L2=90.2 mm，且模態(tài)仿真響應(yīng)諧振頻率fB=33.78 kHz，如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)模態(tài)仿真振型云圖Fig.2 Cloud chart of vibration mode of system modal simulation

2.1 系統(tǒng)諧振頻率相關(guān)特性分析

鑒于本試驗激勵源選用35.00 kHz換能器。故，為使系統(tǒng)整體處于最佳諧振狀態(tài)，需對諧振頻率影響因子進行探究，以此優(yōu)化系統(tǒng)各部分尺寸參數(shù)。

基于表2所示參數(shù)基礎(chǔ)，采用單因素變量分析法，以此探究系統(tǒng)各部分尺寸參數(shù)與系統(tǒng)諧振頻率之間的相關(guān)特性關(guān)系。具體表現(xiàn)為:分別改變圓柱段、圓錐段以及砂輪盤厚徑比等相關(guān)尺寸參數(shù)。通過SOLIDWORKS軟件對系統(tǒng)進行三維實體建模，而后導(dǎo)入有限元分析軟件ANSYS Workbench中。采用Block Lancazos法對自由狀態(tài)下的系統(tǒng)進行模態(tài)、諧響應(yīng)及瞬態(tài)動力學(xué)分析。設(shè)定各個材料性能參數(shù)，選用Solid95單元對系統(tǒng)進行4級精度的智能網(wǎng)格劃分。模態(tài)仿真拓展階數(shù)為37，頻率搜索范圍設(shè)置為20.00～40.00 kHz，并于求解器中查看各階模態(tài)振型云圖和系統(tǒng)模態(tài)響應(yīng)諧振頻率。其中，試驗分9組進行，且每組仿真重復(fù)3次，取均值分析，以此減小有限元軟件仿真系統(tǒng)誤差，確保結(jié)果更具可靠性、精確性。

表2 系統(tǒng)仿真試驗參數(shù)設(shè)計Tab.2 System simulation test parameter design

2.1.1 變幅桿尺寸與諧振頻率相關(guān)特性

系統(tǒng)自由狀態(tài)下，變幅桿各部分尺寸參數(shù)和其響應(yīng)諧振頻率之間的相關(guān)規(guī)律特性，如圖3所示。具體表現(xiàn)為:系統(tǒng)模態(tài)響應(yīng)諧振頻率與變幅桿圓柱、圓錐段長度尺寸參數(shù)之間呈負相關(guān)特性。相關(guān)原因則表示為:系統(tǒng)整體質(zhì)量與變幅桿長度呈正比，且結(jié)合牛頓第二定律可知，質(zhì)量和加速度成反比關(guān)系。故，相同激勵應(yīng)力下，系統(tǒng)質(zhì)量增加可致使系統(tǒng)工作端質(zhì)點振動單元加速度降低，即整體振動頻率減小。此外，增加系統(tǒng)整體長度，可降低其剛性和強度，進而施加相同的應(yīng)力作用，變幅桿振動傳輸部分的變形量變大，即相當(dāng)于減小系統(tǒng)整體材料的彈性模量E。而已知彈性模量E與波速c的平方成正比，故系統(tǒng)諧振頻率伴隨波速的減小呈下降趨勢。

圖3 變幅桿各部分尺寸參數(shù)與諧振頻率關(guān)系特性Fig.3 The relationship between the size parameter of each part of the horn and the resonance frequency

根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果，得知其規(guī)律特性表現(xiàn)為:圓柱段長度平均每增加1 mm，系統(tǒng)諧振頻率則下降0.128 kHz左右。同理，圓錐段長度平均每增加1 mm，系統(tǒng)諧振頻率則下降0.145 kHz左右，但相比圓柱段降低幅度較大，即影響程度高于圓柱段。

2.1.2 砂輪盤厚徑比與系統(tǒng)響應(yīng)效果相關(guān)特性分析

砂輪盤厚徑比與系統(tǒng)諧振頻率、徑/縱振幅比之間相關(guān)特性關(guān)系，如圖4所示。具體表現(xiàn)為:砂輪盤系統(tǒng)諧振仿真頻率伴隨砂輪盤厚徑比值的增加，呈現(xiàn)逐漸遞增的趨勢。而系統(tǒng)輸出端徑/縱振幅之比則伴隨比值的增加，呈現(xiàn)遞減的態(tài)勢，與系統(tǒng)諧振頻率形成負相關(guān)特性。相關(guān)原因分別表示為:隨著砂輪盤厚徑比值的不斷增加，即砂輪盤半徑的不斷減小，系統(tǒng)整體的剛性及強度增強；施加相同的應(yīng)力作用，變幅桿振動傳輸部分的變形量較小，即可等效為該部分材料的彈性模量E變大，而彈性模量E與波速c的平方成正比，波速的增大，則可增大系統(tǒng)諧振頻率。但伴隨砂輪盤厚徑比的增加，薄盤振動逐漸向中厚盤振動形式演化，進而呈現(xiàn)出系統(tǒng)輸出端的徑/縱振幅分量之比逐漸遞減趨勢。

圖4 砂輪盤厚徑比與系統(tǒng)響應(yīng)效果相關(guān)特性分析（L1=30.0 mm，L2=40.0 mm）Fig.4 Analysis of the correlation characteristics of the thickness-diameter ratio of the wheel disc and the system response effect（L1=30.0 mm，L2=40.0 mm）

此外，經(jīng)相關(guān)仿真數(shù)據(jù)擬合結(jié)果分析得知，伴隨砂輪盤厚徑比的變化又可展示如下規(guī)律特性:砂輪盤厚徑比平均每變化±0.01，系統(tǒng)諧振頻率則隨之變化±0.660 kHz左右。其中，在確保滿足薄盤振動前提下，砂輪盤厚徑比平均每變化±0.01，系統(tǒng)輸出端徑/縱振幅分量之比則隨之變化?4.1（正號示為增量，負號示為減量）。

表3、表4分別表示為系統(tǒng)諧振頻率L9（34）正交仿真試驗因素水平表及其結(jié)果，具體表現(xiàn)為:對比分析極差R得知，諧振頻率影響因子按主次關(guān)系依次表示為砂輪盤厚徑比＞圓錐段長度＞圓柱段長度。此外，本次仿真試驗參數(shù)范圍中的最優(yōu)組合為L1=30.0 mm，L2=50.4 mm，ε=0.24。但根據(jù)其仿真驗證結(jié)果得知，最優(yōu)組合參數(shù)下系統(tǒng)固有諧振頻率為20.83 kHz，與設(shè)計頻率35 kHz相去甚遠。故，需結(jié)合頻率與系統(tǒng)尺寸參數(shù)之間相關(guān)變化特性，推導(dǎo)頻率修整方程優(yōu)化系統(tǒng)參數(shù)。

表3 正交因素水平表Tab.3 Orthogonal factor level table

表4 正交因素水平表Tab.4 Resonance frequency simulation orthogonal test results

2.2 系統(tǒng)諧振頻率優(yōu)化

經(jīng)系統(tǒng)輸出端徑/縱振幅比分析可知，其與仿真頻率呈負相關(guān)特性。但鑒于系統(tǒng)設(shè)計頻率f=35.00 kHz及實際應(yīng)用要求，則優(yōu)先選擇滿足諧振頻率條件。因此，基于系統(tǒng)各部分尺寸參數(shù)與系統(tǒng)諧振頻率之間相關(guān)特性關(guān)系，可推得如下所示有關(guān)砂輪盤縱彎諧振頻率修整方程。

式中:ΔL1，ΔL2，Δε1分別為圓柱段、圓錐段以及砂輪盤厚徑之比的變化量；f1，f2分別為系統(tǒng)仿真及設(shè)計頻率值，kHz；j為變幅桿結(jié)構(gòu)總長改變量。

系統(tǒng)修整后各影響因子尺寸參數(shù)，如表5所示。具體表現(xiàn)為:結(jié)合頻率修整方程以及實際加工條件，計算得出優(yōu)化后圓柱段長度L1、圓錐段長度L2和砂輪盤厚徑比ε分別為31.5 mm，89.6 mm，0.32。

表5 系統(tǒng)優(yōu)化尺寸參數(shù)Tab.5 Size optimization parameters

2.3 諧振系統(tǒng)有限元仿真分析

2.3.1 模態(tài)仿真與分析

系統(tǒng)頻率修整后模態(tài)向量振型云圖，如圖5所示，展示了變幅桿和砂輪盤耦合后，砂輪盤工作端質(zhì)點實際振動方向。變幅桿中振動單元以縱向振動形式將振動傳遞至砂輪盤，隨后砂輪盤做彎曲振動，并在其邊緣處表現(xiàn)出最佳振動效果，即實際振幅輸出最大。其次，根據(jù)工作端質(zhì)點振動向量得知，砂輪盤邊緣振動單元實際振動方向，位于砂輪盤徑向和軸向夾角處，并可分為徑向振動和軸向振動兩部分，繼而有效驗證了齒輪成形磨削砂輪盤振動系統(tǒng)縱-彎諧振分析理論，并表明了系統(tǒng)中質(zhì)點整體以縱-彎形式進行能量傳輸。此外，系統(tǒng)仿真模態(tài)諧振頻率為35.01 kHz，相比35.00 kHz，誤差值約為0.02%。由此得知，齒輪成形磨削縱彎諧振系統(tǒng)經(jīng)頻率修整后處于最佳諧振狀態(tài)，滿足系統(tǒng)設(shè)計及使用要求。

圖5 向量振型云圖Fig.5 Cloud chart of vector vibration mode

結(jié)合系統(tǒng)實際應(yīng)用條件，需將其經(jīng)由法蘭盤與刀柄進行固連。此外，為確保高效率傳輸振動能量傳至砂輪盤段，以此提升系統(tǒng)實際振動效果，則需計算系統(tǒng)振動節(jié)點位置。

為系統(tǒng)于約束條件下模態(tài)仿真結(jié)果，如圖6所示。具體表現(xiàn)為:在仿真模態(tài)中添加局部坐標(biāo)系，設(shè)置應(yīng)變路徑，得知其試驗節(jié)點位置為33.75 mm左右。其次，在法蘭施加約束條件下，系統(tǒng)諧振頻率為f=36.01 kHz，相比添加法蘭前頻率f=35.01 kHz增加約1.00 kHz，系統(tǒng)諧振頻率有所上升。原因可表現(xiàn)為:添加法蘭盤并約束后，系統(tǒng)整體剛性及強度得到增強，施加相同激勵應(yīng)力作用，變幅桿振動傳輸部分變形量減小，即等效于系統(tǒng)整體材料彈性模量E相對變大。而彈性模量E與波速c平方成正比，波速的增大，可致使系統(tǒng)諧振頻率上升。

圖6 約束條件下系統(tǒng)模態(tài)振型云圖Fig.6 Cloud chart of system vibration modal under constraints

變幅桿以及砂輪盤模態(tài)仿真振型云圖，如圖7所示。具體表現(xiàn)為:變幅桿諧振頻率為27.16 kHz，砂輪盤模態(tài)頻率為35.18 kHz，且系統(tǒng)整體仿真頻率并未接近變幅桿固有頻率，而是在砂輪盤固有頻率附近小幅變化，與砂輪仿真頻率誤差僅為0.17 kHz左右。其原因可表現(xiàn)為:砂輪盤體積和質(zhì)量相比變幅桿較大，其固有頻率對系統(tǒng)整體諧振頻率可產(chǎn)生較大影響，甚至改變系統(tǒng)固有頻率的大小。此外，本文所述砂輪盤與變幅桿雖組成了齒輪成形磨削超聲振動系統(tǒng)，但其可作為獨立系統(tǒng)單元而發(fā)生縱-彎諧振。據(jù)相關(guān)研究表明，確保工具間連接耦合系數(shù)和其振動足夠小，即直徑比小于0.30和面積比小于0.10前提下，諧振系統(tǒng)可發(fā)生局部共振[24]。而文中變幅桿與砂輪盤連接處直徑和面積比分別為0.29，0.09，滿足局部共振條件。結(jié)合圖7（b）砂輪盤模態(tài)振型云圖可知，砂輪盤與變幅桿相連接位置變形程度最低，故可有效表明振動十分微小。因此，可有效驗證基于局部共振設(shè)計理論所得齒輪成形磨削砂輪盤振動系統(tǒng)，出現(xiàn)了局部縱-彎共振現(xiàn)象。

圖7 變幅桿及砂輪盤模態(tài)振型云圖Fig.7 Modal vibration cloud diagram of horn and grinding wheel

2.3.2 諧響應(yīng)仿真與分析

為探究頻率修整后系統(tǒng)實際位移響應(yīng)幅度，進行諧響應(yīng)仿真試驗:在圓柱端左端部給予4μm初始位移激勵，頻率搜索范圍設(shè)為30.00～40.00 kHz，響應(yīng)輸出面為砂輪盤邊緣工作部分，且法蘭盤處于自由狀態(tài)。

圖8 系統(tǒng)諧響應(yīng)振型云圖Fig.8 Simulation cloud diagram of system harmonic response

砂輪盤振動系統(tǒng)工作端振動單元在X，Y方向的位移響應(yīng)時域曲線圖，如圖9所示。具體表現(xiàn)為:當(dāng)振動能量輸出趨于穩(wěn)定后，由于砂輪盤縱彎諧振作用，使X，Y方向均產(chǎn)生了位移。其中:X方向為縱向振動的平行方向，且振幅值相比初始激勵幅值（4μm）放大1～2倍；而Y方向為縱向振動的垂直方向，振幅遠小于初始激勵幅值。此外，經(jīng)由振動單元輸出位移軌跡曲線觀察得知，系統(tǒng)整體輸出狀態(tài)符合諧振波振動形式，故系統(tǒng)隨激勵源做簡諧振動得以有效驗證。

圖9 砂輪盤工作端一點振動曲線Fig.9 Response curve of the particle unit at the working end of the grinding wheel

采用相關(guān)數(shù)據(jù)分析軟件，對輸出端質(zhì)點X，Y兩方向位移進行數(shù)據(jù)擬合后，所得工作端振動質(zhì)點單元軌跡擬合曲線，如圖10所示。相關(guān)特性表現(xiàn)為:Y振動方向質(zhì)點單元激勵源響應(yīng)幅值遠小于X振動方向質(zhì)點單元，系統(tǒng)總體振動輸出形式與單一縱向相近。此外，經(jīng)模擬所得二者位移幅值數(shù)據(jù)擬合曲線得知，該曲線軌跡為一平面橢圓，相符于輸出端質(zhì)點單元軌跡預(yù)測結(jié)果。由此，可驗證齒輪成形磨削中砂輪盤產(chǎn)生彎振，以及工作端質(zhì)點單元以縱-彎的形式傳輸系統(tǒng)能量。

圖10 工作端質(zhì)點單元振動仿真軌跡擬合曲線Fig.10 Fitting curve of vibration simulation trajectory of particle unit at working end

3 系統(tǒng)阻抗特性及諧振效果測試

3.1 阻抗測試與分析

采用PV70A型號阻抗分析儀，對實際加工并裝配后的振動系統(tǒng)進行阻抗特性測試所得結(jié)果，如圖11所示。具體表現(xiàn)為:系統(tǒng)的導(dǎo)納圓圓度較好、阻抗-相位-頻率曲線比較規(guī)則，證明兩者諧振點及其附近點的振動效果較為理想。而動態(tài)電阻為95.5Ω，則表明所設(shè)計的聲學(xué)系統(tǒng)內(nèi)阻較小，換能器與變幅桿、砂輪盤的阻抗匹配度較高。其中，系統(tǒng)整體品質(zhì)因數(shù)較為理想，即表示為其聲-電轉(zhuǎn)換效率較高。

圖11 砂輪盤振動系統(tǒng)阻抗測試Fig.11 Impedance test of the vibration system of the grinding wheel

表6所示參數(shù)為齒輪成形磨削縱彎諧振系統(tǒng)設(shè)計、仿真及試驗頻率三者之間的相對頻率誤差。其中，ΔE和ΔF的頻率誤差分別為0.20%，0.34%，相對仿真與設(shè)計頻率之間的誤差（ΔD）較大。原因可表現(xiàn)為:①理論設(shè)計時忽略了螺母以及各連接部分間隙的影響，而實際螺母的質(zhì)量對系統(tǒng)整體的剛度和質(zhì)量均有影響，繼而致使系統(tǒng)諧振頻率產(chǎn)生變化；②理論設(shè)計及仿真分析時，近似認(rèn)為變幅桿與砂輪盤間通過螺栓實現(xiàn)理想化的剛性連接，但實際情況下，螺母因預(yù)緊力的不足，可能會影響各組成部分間的連接剛度，從而導(dǎo)致理論與仿真之間的非協(xié)調(diào)性；③實際加工過程中，由于材料各力學(xué)性能參數(shù)與設(shè)計、仿真參數(shù)以及各部分零件尺寸的加工和配合精度之間均存在一定誤差，進而系統(tǒng)諧振頻率理論值與實測值間難以完全保證一致性。

表6 理論、仿真和試驗諧振頻率比較Tab.6 Comparison of theoretical，simulation and experimental resonance frequencies

3.2 諧振效果測試與分析

砂輪盤縱彎諧振系統(tǒng)徑/縱響應(yīng)振幅測試現(xiàn)場，如圖12所示。具體表現(xiàn)為:選用SZ12型智能超聲波發(fā)生器進行成形砂輪縱彎諧振系統(tǒng)振動性能測試。而后調(diào)試發(fā)生器至工作穩(wěn)定狀態(tài)下，通過Keyence LK-G10型激光位移傳感器，分別測量砂輪盤縱向及徑向分量諧響應(yīng)振幅。其中，數(shù)據(jù)采集器將所測高頻機械振動信號進行收集和模數(shù)轉(zhuǎn)換，經(jīng)計算機相關(guān)軟件計算輸出相關(guān)振幅時域響應(yīng)曲線。

圖12 振動系統(tǒng)徑/縱響應(yīng)振幅測試現(xiàn)場Fig.12 Vibration system diameter-longitudinal response amplitude test

系統(tǒng)諧振狀態(tài)下，砂輪盤工作端和側(cè)面質(zhì)點單元振幅實際測量結(jié)果，如圖13所示。具體表現(xiàn)為:在砂輪盤端面邊緣及側(cè)面分別均布選取8個位置點進行測振，每處重復(fù)3次，取均值。結(jié)果表明，縱向振幅響應(yīng)狀態(tài)、徑向分量振幅響應(yīng)狀態(tài)以及系統(tǒng)整體振動耦合性能均比較穩(wěn)定，由此證明該聲學(xué)系統(tǒng)的傳聲效果較好。此外，經(jīng)振幅分量均值分析可知，縱向分量均值穩(wěn)定在5.2μm左右，徑向分量均值穩(wěn)定在1.1μm左右。相比仿真結(jié)果而言，振幅值和徑縱比均有所降低，原因可表現(xiàn)為:①超聲波發(fā)生器定頻性能不夠穩(wěn)定，以及測量過程中周圍環(huán)境的擾動等均會影響測量結(jié)果的準(zhǔn)確性，從而具有一定的系統(tǒng)誤差；②系統(tǒng)裝配過程中，各連接部位因間隙存在不可避免，可造成一定程度上的能量損失，繼而使實際響應(yīng)振幅因能量衰減而降低；③超聲波在系統(tǒng)中傳播時，因法蘭盤、砂輪盤和變幅桿連接部位存在一定的波反射，從而存在能量損耗、雜波、系統(tǒng)整體阻抗失配等問題，進而致使振幅的衰減。

圖13 砂輪響應(yīng)端振幅測試曲線Fig.13 Amplitude test curve of the response end of the grinding wheel

工作端任一質(zhì)點振動軌跡實測數(shù)據(jù)擬合曲線，如圖14所示。其中，提取縱向振幅和徑向振幅響應(yīng)曲線中單周期內(nèi)數(shù)據(jù)點進行擬合。擬合結(jié)果曲線表現(xiàn)為近似橢圓形的軌跡，與仿真結(jié)果相近。但，此軌跡曲線并非完全形成封閉圈，原因可表現(xiàn)為:縱向和徑向振動之間存在一定的相位差，以及周期振動過程中振幅難以保證完全均勻性和穩(wěn)定性等。其次，砂輪盤工作端鍍有磨粒，其反射作用亦可引起一定的誤差。此外，礙于激光位移傳感器的精度不足，單周期內(nèi)所采集數(shù)據(jù)點較少，繼而致使擬合所得橢圓展現(xiàn)得不夠圓滑。

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圖14 工作端質(zhì)點單元實測振動軌跡擬合曲線Fig.14 Fitting curve of measured vibration trajectory of particle unit at working end

結(jié)合圖10和圖14對比分析可知，砂輪盤工作端面任一質(zhì)點仿真與實測結(jié)果擬合軌跡相似，均表現(xiàn)為近似橢圓形曲線。由此表明，齒輪成形磨削砂輪盤縱彎諧振系統(tǒng)中參與磨削加工的磨粒，均以橢圓周期形式運動。其中，縱向振動作用于磨削加工的磨深方向，形成磨粒與工件高頻分離-接觸-分離的作用模式；徑向振動分量則等效于在垂直進給方向拉伸了磨粒沿進給方向的軌跡，形成一個傾斜一定角度的橢圓運動軌跡。而橢圓振動形式可改變單顆磨粒普通磨削狀態(tài)下的純直線運動，增加了磨削軌跡的干涉程度以及磨粒與工件的分離時間，增加砂輪有效磨粒數(shù)的同時也促進了磨削液的流通，從而在一定程度上減小了單顆磨粒的磨削力和磨削熱。且在單位時間內(nèi)，增大了磨痕的寬度，這導(dǎo)致磨除體積增加，故而可提高材料的去除率。此外，基于超聲振動的高頻破碎作用，橢圓磨削可使沙粒具有自銳性，延長工具盤的使用壽命，更有助于降低加工表面粗糙度，提升加工質(zhì)量等[25]。

保持工具盤半徑給定情況下，縱向振幅大小與測量位置點半徑之間的關(guān)系，如圖15所示。具體表現(xiàn)為:在砂輪盤端面，沿其半徑由內(nèi)向外選取9處位置點進行測振，而礙于螺母和墊片的影響，測振點半徑范圍選為16.0～37.5 mm。結(jié)果表明，工作端質(zhì)點單元縱向振幅，伴隨測振點半徑的增加呈現(xiàn)先減后增的趨勢。在測振半徑為23.5 mm附近振幅達到最小，并接近為零，故在此測振點環(huán)形區(qū)域內(nèi)為砂輪盤振動節(jié)圓位置。而測振點半徑大于節(jié)圓半徑時，縱向振幅則又表現(xiàn)為逐漸遞增趨勢，至37.5 mm處測振點振幅達到最大。故，可認(rèn)為成形砂輪盤工作面處于波峰附近。

圖15 振幅隨測振點半徑大小的變化特性Fig.15 Variation characteristics of amplitude with radius of measured vibration point

砂輪盤做節(jié)圓型振動響應(yīng)結(jié)果，如圖16所示。具體表現(xiàn)為:將系統(tǒng)放置為豎直自由狀態(tài)；連接SZ12型智能超聲波發(fā)生器與換能器；啟動發(fā)生器并調(diào)節(jié)調(diào)頻螺母，使系統(tǒng)工作在諧振頻率f=34.93 kHz附近，并于砂輪端面撒少量細沙。由系統(tǒng)實際響應(yīng)結(jié)果可知，沙粒迅速以圓盤中心為圓心形成同心圓環(huán)，而圓環(huán)的產(chǎn)生表示沙粒所處位置振動最弱，以此證明了砂輪盤在變幅桿縱向振動激勵下做節(jié)圓型橫向彎曲振動，有效驗證了仿真結(jié)果。

圖16 工具盤節(jié)圓振動測試Fig.16 Tool disc pitch circle vibration test

4 結(jié) 論

（1）根據(jù)ANSYS Workbench有限元仿真結(jié)果得知，本文基于局部共振理論可對成形砂輪縱-彎諧振系統(tǒng)進行有效設(shè)計，且砂輪可獨立于振動系統(tǒng)而存在縱彎諧振，即局部縱-彎共振現(xiàn)象。此外，砂輪盤工作端磨粒質(zhì)點單元徑縱振幅比a與其厚徑比ε、系統(tǒng)固有頻率間均呈負相關(guān)特性。其中，系統(tǒng)固有頻率可結(jié)合文中所述頻率修整方程進行優(yōu)化，并以此獲得系統(tǒng)各部分滿足設(shè)計頻率所需幾何尺寸。

（2）經(jīng)系統(tǒng)優(yōu)化參數(shù)下磨粒質(zhì)點單元運動特性分析得知，系統(tǒng)耦合后砂輪工作端振動模式變現(xiàn)為徑/縱復(fù)合振動，且縱、徑方向振型均近似為正弦曲線，徑縱比a=0.193。系統(tǒng)整體諧振頻率伴隨復(fù)合變幅桿各段長度尺寸增加，呈逐漸遞減趨勢，而與工具盤半徑呈負相關(guān)特性。此外，因超聲波波長伴隨諧振頻率下降呈遞增態(tài)勢，進而造成波峰和波谷位置不斷變化，使縱向及徑向響應(yīng)振幅產(chǎn)生一定程度的波動。

（3）磨削端面上任一質(zhì)點的振動軌跡仿真及試驗結(jié)果表明，磨粒在垂直于進給方向平面內(nèi)拉伸，形成傾斜一定角度的橢圓形振動軌跡，并周期性地參與磨削加工。超聲諧振試驗結(jié)果表明，成形砂輪工作端磨粒單元振型和諧響應(yīng)振幅比較穩(wěn)定，對該預(yù)期效果進行了有效驗證，并為后續(xù)局部共振設(shè)計理論，特別是大負載型齒輪成形磨削砂輪盤縱彎諧振系統(tǒng)的設(shè)計，提供了參考基礎(chǔ)。