函數(shù)單調(diào)性教學(xué)實(shí)踐研究

雷會(huì)榮

(江蘇省徐州財(cái)經(jīng)高等技術(shù)學(xué)?；A(chǔ)部 江蘇徐州 221008)

《江蘇省五年制高等職業(yè)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)“根據(jù)五年制高等職業(yè)教育學(xué)生的認(rèn)知水平，提出與學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)相適應(yīng)的邏輯推理、空間想象、數(shù)據(jù)處理等能力要求”，既要讓高職學(xué)生“了解數(shù)學(xué)的思想方法和精神實(shí)質(zhì)，真正掌握數(shù)學(xué)這門學(xué)科的精髓”，同時(shí)“要尊重學(xué)生的基礎(chǔ)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律”。高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)本著嚴(yán)謹(jǐn)性和量力性相結(jié)合的原則，把握好適度的嚴(yán)謹(jǐn)，采用多元化教學(xué)手段。下面，我基于著這一原則，探討高職數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)[1]。

一、教材分析

函數(shù)單調(diào)性是高職數(shù)學(xué)教材第一冊(cè)的2.3節(jié)內(nèi)容，學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，對(duì)函數(shù)單調(diào)性有一個(gè)初步的感性認(rèn)識(shí)。本節(jié)在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義，后續(xù)將研究?jī)绾瘮?shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的單調(diào)性。在三年級(jí)第六冊(cè)書還將以導(dǎo)數(shù)為工具，研究函數(shù)的單調(diào)性。因此，本節(jié)課的知識(shí)，既是初中學(xué)習(xí)的延續(xù)和深化，又為后面的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

李邦河院士說(shuō)“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的”，數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)。在高職數(shù)學(xué)教材中，函數(shù)單調(diào)性概念的符號(hào)語(yǔ)言，也是在教材中反復(fù)出現(xiàn)并在各種例題、練習(xí)中均用到，對(duì)高職學(xué)生來(lái)說(shuō)雖有難度但不能隨意刪掉；同時(shí)考慮到高職學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知能力，數(shù)學(xué)的概念教學(xué)采用情境教學(xué)可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)采用信息化手段化抽象為形象，以問題串形式啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)生成概念。例題和練習(xí)選擇計(jì)算能力要求不高的題目，讓學(xué)生通過(guò)認(rèn)知和實(shí)踐，能深入地理解函數(shù)單調(diào)性的符號(hào)語(yǔ)言，不會(huì)因?yàn)檫\(yùn)算的復(fù)雜性影響對(duì)概念的理解掌握，體現(xiàn)了適度嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑瓌t。因而，高職“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)目標(biāo)確定如下：

1.能結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)，說(shuō)明函數(shù)的變化趨勢(shì)。

2.能借助具體函數(shù)的圖像直觀，經(jīng)歷符號(hào)化過(guò)程，抽象出函數(shù)的單調(diào)性概念。

3.能利用函數(shù)圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能利用定義證明一次函數(shù)的單調(diào)性。

4.能積極參與同學(xué)間、師生間的交流活動(dòng)，培養(yǎng)自己觀察、歸納、抽象的能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

課前布置預(yù)習(xí)任務(wù)，學(xué)生復(fù)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及其圖像，并尋找生活中的事物變化圖像，例如本地某一天溫度隨時(shí)間變化圖、一年的降雨量圖、我國(guó)近十年的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)圖、某股票一月走勢(shì)圖、青春期女生的身高變化圖、艾濱浩斯遺忘曲線圖等，要求每個(gè)學(xué)生提交至少一種，選取部分優(yōu)秀作品用于課堂展示、欣賞，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像的特點(diǎn)，獲得“從左到右看，圖像的某些部分有上升、某些部分有下降”的整體認(rèn)識(shí)，引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容[2]。

以任務(wù)的方式創(chuàng)設(shè)情境，促使學(xué)生完成對(duì)新課的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備，引入新課，同時(shí)拉近數(shù)學(xué)和生活的距離，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，點(diǎn)燃學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)參與熱情，擴(kuò)展學(xué)生的知識(shí)面，也通過(guò)滲透函數(shù)是研究生活中事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型的概念，培育了學(xué)生的數(shù)學(xué)模型化核心素養(yǎng)[3]。

（二）循序漸進(jìn)，生成概念

選取學(xué)生課前預(yù)習(xí)作業(yè)，以一次函數(shù)、二次函數(shù)圖像來(lái)研究分析，設(shè)計(jì)下列問題串，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)、深入思考，建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性概念。

問題1：觀察下面，說(shuō)說(shuō)它們圖像有什么變化特征？

（1）y=x+1；（2）y=-x+1；（3）y=x2；

設(shè)計(jì)意圖：以一次函數(shù)、二次函數(shù)圖像為例，以學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)作為先行組織者來(lái)建構(gòu)新知識(shí)，符合認(rèn)知規(guī)律，利于新知識(shí)的學(xué)習(xí)。通過(guò)對(duì)圖像分析，學(xué)生直觀感知圖形“上升”“下降”，歸納函數(shù)圖像的共同屬性，抽象出本質(zhì)屬性，從而形成函數(shù)單調(diào)性的圖形語(yǔ)言概念：即從左往右觀察函數(shù)圖像，如果圖像在區(qū)間D上呈上升（下降）趨勢(shì)，則稱函數(shù)在區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)（減函數(shù)）。

選擇部分學(xué)生的課前作業(yè)，利用函數(shù)的圖像特征分析函數(shù)的單調(diào)性，深化學(xué)生用圖像的升降判斷函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知。

問題2：結(jié)合函數(shù)圖像，試用自變量和函數(shù)的變化規(guī)律，說(shuō)明函數(shù)圖像的“上升”（“下降”），函教師利用幾何畫板，動(dòng)態(tài)地演示問題1中的三個(gè)函數(shù)圖像，當(dāng)點(diǎn)從左往右滾動(dòng)過(guò)程，將點(diǎn)的坐標(biāo)變化情況同步顯示出來(lái)，直觀地顯示函數(shù)圖像從左至右上升（下降）時(shí)，x增大時(shí)函數(shù)y增大（減?。?。學(xué)生據(jù)此不難歸納得出函數(shù)單調(diào)性的自然語(yǔ)言概念：函數(shù)在定義域的某個(gè)集合上，隨著自變量x增大數(shù)f(x)也增大（減?。?，則稱函數(shù)f(x)在數(shù)集I上是增函數(shù)（減函數(shù)）。

設(shè)計(jì)意圖：利用信息化手段，化抽象為形象，化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生將形轉(zhuǎn)化為數(shù)，將單調(diào)函數(shù)概念的圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為自然語(yǔ)言，用自然語(yǔ)言描述函數(shù)的單調(diào)性。對(duì)于高職學(xué)生，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又可以降低理解抽象的數(shù)學(xué)概念的難度。

問題3：如果f(x)=x+1，試填空：

（1）f(50)=_______，f(100)=_______，f(50)______f(100)（<或>）；

（2）如果x1）；

（3）如果任意x1）。

設(shè)計(jì)意圖：抽象出單調(diào)函數(shù)的概念，是本節(jié)課的難點(diǎn)。此處重在突破本節(jié)難點(diǎn)，讓學(xué)生在教師搭建的腳手架下，以簡(jiǎn)單函數(shù)為例，化解學(xué)生理解的難度，但不影響揭示單調(diào)函數(shù)的本質(zhì)特征，由特殊到一般，循序漸進(jìn)，同時(shí)讓學(xué)生充分理解對(duì)全稱量詞“任意”這一邏輯用語(yǔ)；以問題啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，最終形成符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)具體的函數(shù)單調(diào)性的概念；也體現(xiàn)職業(yè)教育的特點(diǎn)，適當(dāng)降低理論要求，“不過(guò)分追求系統(tǒng)性、完整性和嚴(yán)密性”，本著嚴(yán)謹(jǐn)性和量力性相結(jié)合的原則，提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，提高學(xué)生思維品質(zhì)。

對(duì)于函數(shù)f(x)=x+1，任意x1∈R，x2∈I，當(dāng)x1

問題4：試用符號(hào)語(yǔ)言表示函數(shù)f(x)在數(shù)集上是單調(diào)函數(shù)

對(duì)于函數(shù)f(x)，任意x1∈I，x2∈I，當(dāng)x1

對(duì)于函數(shù)f(x)，任意x1∈I，x2∈I，當(dāng)x1f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在I是單調(diào)減函數(shù)。

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D是單調(diào)函數(shù)，區(qū)間D為單調(diào)區(qū)間。

設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般，由具體到抽象，水到渠成地得到一般函數(shù)單調(diào)性概念的符號(hào)語(yǔ)言，類比得到單調(diào)減函數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言概念，進(jìn)一步得到單調(diào)函數(shù)、單調(diào)區(qū)間概念。在函數(shù)單調(diào)性概念的形成過(guò)程中，充分尊重學(xué)生的基礎(chǔ)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生經(jīng)歷由具體到抽象的過(guò)程，有利于數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

（三）例題及練習(xí)，強(qiáng)化理解

1.寫出函數(shù)f(x)=-2x+1的單調(diào)區(qū)間，并證明；

通過(guò)例題及練習(xí)，深化學(xué)生對(duì)符號(hào)化定義的理解，以及對(duì)“任意”全稱量詞的進(jìn)一步理解。

三、教學(xué)反思

本次課的教學(xué)設(shè)計(jì)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)豐富的生活情境，拉近數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；借助信息化教學(xué)手段，降低學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)難度。教學(xué)過(guò)程注重知識(shí)銜接，聯(lián)系學(xué)生在初中學(xué)習(xí)的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，聯(lián)系后面將學(xué)習(xí)的函數(shù)的奇偶性、周期性等函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，幫助學(xué)生建構(gòu)良好的知識(shí)體系或概念網(wǎng)絡(luò)圖[4]。

課堂以問題串形式，給學(xué)生搭好腳手架，引導(dǎo)學(xué)生思考、交流、討論、歸納，讓學(xué)生合作學(xué)習(xí)，循序漸進(jìn)，逐步生成抽象的函數(shù)單調(diào)性概念的符號(hào)語(yǔ)言，體現(xiàn)以學(xué)生為學(xué)習(xí)主體的教學(xué)理念。教學(xué)中重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)過(guò)程中，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)，以及對(duì)“任意”全稱量詞的理解和利用概念證明函數(shù)單調(diào)性，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。在核心素養(yǎng)形成中，進(jìn)一步提高了學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想、模型化思想、特殊與一般思想等數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。因此，函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)，將培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)思想融合在一起，從而實(shí)現(xiàn)高職數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的。