不確定系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制:近似解輸入法

丁三波,劉 旭,王 勇,楊德東

(河北工業(yè)大學(xué) 人工智能與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,天津 300401;河北工業(yè)大學(xué) 河北省控制工程技術(shù)研究中心,天津 300401)

1 引言

事件觸發(fā)控制是網(wǎng)絡(luò)控制領(lǐng)域中的一種常見(jiàn)方法.在事件觸發(fā)控制中,傳感器根據(jù)預(yù)設(shè)的觸發(fā)條件進(jìn)行采樣,實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的按需控制,避免了傳感器和控制器之間不必要的信號(hào)傳輸,減小了網(wǎng)絡(luò)的通訊負(fù)擔(dān)[1–5].目前,事件觸發(fā)控制已經(jīng)被廣泛用于研究多智能體系統(tǒng)的一致性[6–7]、無(wú)人機(jī)的編隊(duì)控制[8–9]、線性或非線性系統(tǒng)的觀測(cè)器設(shè)計(jì)或跟蹤控制[10–11]、大規(guī)?；ヂ?lián)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性[12]等復(fù)雜問(wèn)題.相關(guān)的研究成果有助于機(jī)器人控制、工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)、以太網(wǎng)、智能微電網(wǎng)等領(lǐng)域的快速發(fā)展.

在事件觸發(fā)控制中,通常會(huì)通過(guò)定義下列形式的事件觸發(fā)條件來(lái)決定采樣時(shí)刻tk[1,13]:其中:e(t)表示測(cè)量誤差,ε表示觸發(fā)閾值,?為對(duì)稱正定的參數(shù)矩陣.在早期研究中,測(cè)量誤差往往定義為e(t)x(t)?x(tk),相應(yīng)的控制輸入選擇為u(t)Kx(tk).與連續(xù)的狀態(tài)反饋控制(即u(t)Kx(t))相比,事件觸發(fā)控制策略(1)本質(zhì)上是用常采樣信號(hào)x(tk)代替了連續(xù)狀態(tài)x(t).也就是說(shuō),在區(qū)間[tk,tk+1)內(nèi),對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行階躍輸入時(shí),這可能會(huì)導(dǎo)致x(t)與x(tk)的相對(duì)誤差隨時(shí)間逐步增大,即‖e(t)‖隨時(shí)間t逐步增大,進(jìn)而導(dǎo)致比值eT(t)?e(t)/xT(t)?x(t)的演化相對(duì)較容易超過(guò)預(yù)設(shè)閾值ε,從而造成較高的觸發(fā)頻率[12,14–16].

一般來(lái)說(shuō),對(duì)系統(tǒng)增加控制的目的在于使系統(tǒng)狀態(tài)衰減,實(shí)現(xiàn)漸近或者指數(shù)穩(wěn)定.基于此原因,文獻(xiàn)[12,14–16]引入了指數(shù)衰減項(xiàng)?(t)e?λ(t?tk),將測(cè)量誤差重新定義為e(t)x(t)??(t)x(tk).相應(yīng)地,控制輸入也改為u(t)K?(t)x(tk).該方法的本質(zhì)在于利用了系統(tǒng)的衰減過(guò)程,用?(t)x(tk)來(lái)逼近x(t),減少相對(duì)誤差,進(jìn)而達(dá)到減少事件觸發(fā)次數(shù)的目的.然而,對(duì)實(shí)際系統(tǒng)而言,其狀態(tài)往往是一個(gè)震蕩衰減的過(guò)程,存在狀態(tài)上升的過(guò)程.在上升過(guò)程中,文獻(xiàn)[12,14–16]中的指數(shù)衰減方法就會(huì)起到適得其反的效果.為了避免此類問(wèn)題,文獻(xiàn)[17]借助兩個(gè)符號(hào)函數(shù),引入了另外一個(gè)指數(shù)項(xiàng)μi(t)exp{ηsgn(xi(tk))sgn(xi(tk))(t ?tk)},并將測(cè)量誤差定義為e(t)x(t)?μ(t)x(tk),其中μ(t)為μi(t)組成的對(duì)角陣.同時(shí),將控制輸入設(shè)計(jì)為u(t)Kμ(t)x(tk).事實(shí)上,此方法中的兩個(gè)符號(hào)函數(shù),對(duì)采樣瞬間系統(tǒng)狀態(tài)的單調(diào)性進(jìn)行判斷,使得μ(t)x(tk)能夠迎合連續(xù)狀態(tài)的局部變化趨勢(shì).旨在減小測(cè)量誤差e(t),降低事件觸發(fā)頻率的同時(shí),達(dá)到連續(xù)控制輸入u(t)Kx(t)的控制效果.文獻(xiàn)[4]將此方法命名為指數(shù)逼近法.然而,不難發(fā)現(xiàn),指數(shù)逼近法只能在采樣時(shí)刻tk改變控制輸入的單調(diào)性.在采樣區(qū)間[tk,tk+1),控制輸入依然是單調(diào)的.在此區(qū)間內(nèi),如果系統(tǒng)狀態(tài)x(t)的單調(diào)性發(fā)生改變,也會(huì)加速事件的觸發(fā).特別地,文獻(xiàn)[12,14–17]的控制方法中,都存在一個(gè)可調(diào)參數(shù)λ和η.如若這些參數(shù)選取不當(dāng),就會(huì)出現(xiàn)過(guò)擬合或者欠擬合的現(xiàn)象,繼而加劇事件觸發(fā)的頻率.

為了克服文獻(xiàn)[12,14–17]中方法的局限性,本文主要提出基于近似解輸入法的事件觸發(fā)控制方法.旨在利用采樣信號(hào),構(gòu)造對(duì)系統(tǒng)的近似解,以及控制器和觸發(fā)條件,進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)連續(xù)狀態(tài)反饋的近似控制效果.考慮一類帶有不確定參數(shù)的利普希茨非線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制.將系統(tǒng)線性化,根據(jù)線性化系統(tǒng)解析解的定義和采樣信號(hào),構(gòu)造新的指數(shù)項(xiàng),實(shí)現(xiàn)對(duì)不確定系統(tǒng)狀態(tài)的有效逼近或近似.將測(cè)量誤差e(t)定義為不確定非線性系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)與近似狀態(tài)之間的誤差,進(jìn)而構(gòu)造事件觸發(fā)條件和控制輸入.最終通過(guò)Lyapunov方法建立相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù).本文還將所提方法推廣到動(dòng)態(tài)觸發(fā)控制方案,增大觸發(fā)閾值,提升所得結(jié)果.

2 非線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制

在實(shí)際情況中,由于外界環(huán)境干擾、建模誤差、系統(tǒng)老化或系統(tǒng)磨損等原因,系統(tǒng)往往處于亞健康狀態(tài),系統(tǒng)的參數(shù)會(huì)存在一定的擾動(dòng).考慮下列非線性系統(tǒng):

其 中:A ∈Rn×n,W1∈Rn×m,W0∈Rm×n,B ∈Rn×q為系統(tǒng)矩陣;ΔA ∈Rn×n,ΔW ∈Rn×m為參數(shù)擾動(dòng),且滿足ΔAEΣ(t)F,ΔWGΘ(t)H,其中E,G,F,H為已知矩陣,ΣT(t)Σ(t)≤I,ΘT(t)Θ(t)≤I.

假設(shè)函數(shù)fr(·)滿足fr(0)0,r1,2,···,m,及以下條件:

其中l(wèi)1r和l2r為已知常數(shù).記l1diag{l11,l12,···,l1m},l2diag{l21,l22,···,l2m}.

2.1 事件觸發(fā)條件和控制器

對(duì)任意滿足條件l1≤L≤l2的常對(duì)角矩陣L,可將系統(tǒng)(2)線性化近似為帶有參數(shù)擾動(dòng)的線性系統(tǒng)

系統(tǒng)在區(qū)間[tk,tk+1)上的解析解為

不妨將其視為系統(tǒng)(2)的近似解來(lái)研究事件觸發(fā)控制.

令xb(t)e(A+W1LW0+BK)(t?tk)x(tk).構(gòu)造事件觸發(fā)狀態(tài)反饋控制器

定義測(cè)量誤差eb(t)x(t)?xb(t),設(shè)計(jì)下列事件觸發(fā)條件:

其中:? ∈Rn×n是一個(gè)正定的常數(shù)矩陣,ε是表示閾值的常數(shù).

注1從事件觸發(fā)條件方面來(lái)看,相比于文獻(xiàn)[12,14–17]中的指數(shù)衰減法和指數(shù)逼近法,本文方法允許xb(t)在區(qū)間[tk,tk+1)內(nèi)是非單調(diào)的,能夠更好地實(shí)現(xiàn)對(duì)連續(xù)狀態(tài)x(t)的模擬,減小(t)?eb(t)的取值,進(jìn)而有利于減少事件觸發(fā)的次數(shù).從控制器方面來(lái)看,本文通過(guò)u(t)Kxb(t)來(lái)近似地替代連續(xù)反饋u(t)Kx(t),在一定程度上可以模擬連續(xù)狀態(tài)反饋的控制效果.

注2在實(shí)際系統(tǒng)中,系統(tǒng)(2)中的輸入矩陣B可能存在不確定性.如果B存在不確定項(xiàng)ΔB,可以利用與不確定項(xiàng)ΔA相同的處理方法來(lái)處理ΔB,并建立相關(guān)穩(wěn)定判據(jù).關(guān)于不確定參數(shù)的處理方法,讀者也可以參考關(guān)于現(xiàn)代控制理論或者魯棒控制的教材或論著.由于本文的主要目的是提出基于近似解輸入法的事件觸發(fā)控制策略,而不是對(duì)參數(shù)不確定性的處理.本文只考慮了系統(tǒng)矩陣A和W1的不確定性,簡(jiǎn)化了系統(tǒng)模型.

2.2 穩(wěn)定性條件

由控制器(5a),閉環(huán)系統(tǒng)(2)可以寫(xiě)作:

由式(5)和式(6),可以得到以下結(jié)果.

定理1對(duì)于給定閾值ε>0和控制增益K ∈Rm×n,在事件觸發(fā)控制策略(5)下,閉環(huán)系統(tǒng)(2)是漸近穩(wěn)定的,如果存在n階矩陣P >0,? >0,N1,N2和m階對(duì)角矩陣Q1>0,Q2>0,Λ>0,以及正常數(shù)r1,r2,使得下列條件成立:

證考慮以下李雅普諾夫函數(shù)

計(jì)算V(t)的導(dǎo)數(shù),得

對(duì)任意的矩陣N1∈Rn×n,N2∈Rn×n,以及正常數(shù)r1,r2,下列不等式條件成立:

考慮關(guān)于非線性函數(shù)f(·)的條件(3),對(duì)于任何正定對(duì)角矩陣Λ ∈Rm×m,下列不等式成立:

當(dāng)t ∈[tk,tk+1)時(shí),由事件觸發(fā)機(jī)制(5b),得

聯(lián)立式(9)–(12),得

最后,根據(jù)Schur補(bǔ)引理,條件(7)等價(jià)于Ξ <0,即條件(7)保證<0. 證畢.

下面說(shuō)明本文中方法不會(huì)帶來(lái)Zeno現(xiàn)象,即不會(huì)在有限時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生無(wú)數(shù)次事件.

定理2在觸發(fā)條件(5b)下,存在一個(gè)正常數(shù)τ,使得任意兩次事件的觸發(fā)間隔滿足tk+1?tk≥τ.

證根據(jù)觸發(fā)條件(5b),易知對(duì)任意的t ∈[tk,tk+1),條件‖eb(t)‖≤α‖x(t)‖成立,其中

當(dāng)存在某時(shí)刻t,使得x(t)為0時(shí),可以得出‖eb(t)‖0,‖xb(t)‖0.這就意味著非線性系統(tǒng)(2)的狀態(tài)已經(jīng)達(dá)到了有限時(shí)間穩(wěn)定.在這時(shí),控制器和事件發(fā)生器處于待機(jī)狀態(tài),也就不需要考慮Zeno現(xiàn)象的發(fā)生.接下來(lái),主要考慮‖x(t)‖0的情況.

記g(W0x(t))f(W0x(t))?l1W0x(t),可得其滿足條件

其中l(wèi)l2?l1.

非線性系統(tǒng)(2)可重寫(xiě)為

考慮測(cè)量誤差eb(t)在區(qū)間[tk,tk+1)內(nèi)的微分,可得

進(jìn)而,可知

其中:

注3當(dāng)測(cè)量誤差為傳統(tǒng)的eb(t)x(t)?x(tk)時(shí),有t ∈[tk,tk+1).由類似的方法可以證明,此時(shí)連續(xù)兩次事件的觸發(fā)間隔滿足

2.3 動(dòng)態(tài)觸發(fā)機(jī)制

本文的近似解輸入法本質(zhì)上是改變了測(cè)量誤差的計(jì)算方式,縮小了相對(duì)誤差取值,進(jìn)而可以減少事件發(fā)生的次數(shù).而文獻(xiàn)[18]提出了動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)方案.這種方法實(shí)際上是增大了觸發(fā)的閾值.本文所提方法完全可以結(jié)合動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)方案進(jìn)行推廣,進(jìn)一步減少事件發(fā)生的次數(shù),降低網(wǎng)絡(luò)的通訊負(fù)擔(dān).

定義動(dòng)態(tài)變量β(t)

其中?(·)為利普希茨非線性K∞函數(shù),且滿足?(0)0.初值β(t0)β0≥0.相應(yīng)的動(dòng)態(tài)觸發(fā)條件為

對(duì)于動(dòng)態(tài)觸發(fā),可不加證明得到以下結(jié)果.

定理3對(duì)于給定常數(shù)ε>0,θ >0和控制增益K ∈Rm×n,如果定理1中的條件成立,則在事件觸發(fā)條件(16)作用下,控制輸入(5a)可以保證系統(tǒng)(2)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

證考慮泛函W(t)V(t)+β(t),證明方法與文獻(xiàn)[18]類似,此處不再贅述. 證畢.

注4類似于文獻(xiàn)[18],可以證明在動(dòng)態(tài)觸發(fā)條件(16)下,當(dāng)初值β0≥0時(shí),對(duì)任意的時(shí)間t>0,可得變量β(t)≥0.進(jìn)而易判斷,在動(dòng)態(tài)觸發(fā)條件(16)下,連續(xù)兩次事件的觸發(fā)間隔不小于τ.

2.4 關(guān)于線性系統(tǒng)的推論

考慮如下線性系統(tǒng):

其中:x(t)col{x1(t),x2(t),···,xn(t)}∈Rn代表狀態(tài)變量;u(t)∈Rq代表待設(shè)計(jì)的控制器,A ∈Rn×n和B ∈Rn×q是常數(shù)矩陣;ΔA ∈Rn×n為參數(shù)擾動(dòng).假 設(shè)ΔAEΣ(t)F,其 中ΣT(t)Σ(t)≤I,E ∈Rn×p,F ∈Rp×n為已知矩陣.

對(duì)于無(wú)參數(shù)擾動(dòng)系統(tǒng)

而言,在區(qū)間[tk,tk+1)上的解析解為

不妨將e(A+BK)(t?tk)x(tk)視為系統(tǒng)(17)在區(qū)間[tk,tk+1)上的近似解,來(lái)研究事件觸發(fā)控制.

記xa(t)e(A+BK)(t?tk)x(tk).本文構(gòu)造如下事件觸發(fā)狀態(tài)反饋控制器:

定義測(cè)量誤差ea(t)x(t)?xa(t),則本文設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)條件為

由控制器(18a),閉環(huán)系統(tǒng)(17)可以寫(xiě)成

給出如下穩(wěn)定性判據(jù).

推論1對(duì)于給定閾值ε>0和控制增益K ∈Rm×n,在事件觸發(fā)控制策略(18)下,如果存在恰當(dāng)維數(shù)的正定矩陣P,?,任意的矩陣N1,N2,以及正常數(shù)r0使得下列條件成立,則系統(tǒng)(17)是漸進(jìn)穩(wěn)定的:

參照定理2的證明方法,可以說(shuō)明事件觸發(fā)條件(18b)也可以避免Zeno行為,此處不再贅述.

類似地,觸發(fā)條件(18b)可以結(jié)合文獻(xiàn)[18]中的動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)方案進(jìn)行推廣.定義動(dòng)態(tài)變量α(t)

其中?(·)為利普希茨非線性K∞函數(shù),且滿足?(0)0.系統(tǒng)(21)的初值設(shè)定為α(t0)α0≥0.相應(yīng)的動(dòng)態(tài)觸發(fā)條件為

對(duì)于動(dòng)態(tài)觸發(fā),給出如下穩(wěn)定性結(jié)果.

推論2對(duì)于給定常數(shù)ε>0,θ >0和控制增益K ∈Rm×n,如果推論1中的條件成立,則在事件觸發(fā)條件(22)作用下,控制輸入(18a)可以保證系統(tǒng)(17)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

3 數(shù)值仿真

例1考慮具有以下參數(shù)的二維非線性系統(tǒng)(2):

本文采用Forward-Euler法進(jìn)行數(shù)值仿真.仿真時(shí)間和步長(zhǎng)分別為T(mén)15和hs0.001.選擇初始條件為x(0)col{3,0}.圖1給出了與已有文獻(xiàn)的仿真對(duì)比結(jié)果,圖中綠線代表事件發(fā)生時(shí)刻.仿真結(jié)果顯示,本文的近似解輸入法、傳統(tǒng)事件觸發(fā)方法[1,13]、指數(shù)衰減法[12,14–16]、指數(shù)逼近法[17]所產(chǎn)生的事件數(shù)分別為17,59,50,35.與已有的3種方法相比,本文方法的事件次數(shù)分別減少了71.19%,66%,51.43%.

圖1 控制器響應(yīng)Fig.1 The responses of controller

令式(15)中函數(shù)?(s)s,常數(shù)θ1.圖2展示了本文中動(dòng)態(tài)觸發(fā)條件(16)與文獻(xiàn)[18]的仿真結(jié)果.仿真中,本文中動(dòng)態(tài)觸發(fā)條件(16)產(chǎn)生的事件數(shù)為8次,而文獻(xiàn)[18]中的方法為17次,約是本文方法的2倍.由此可見(jiàn),本文的所提方法切實(shí)可以減少事件觸發(fā)的次數(shù),繼而降低網(wǎng)絡(luò)的通訊負(fù)擔(dān).

例2考慮具有以下參數(shù)的二維線性系統(tǒng)(17):

此算例依然采用Forward-Euler 法進(jìn)行數(shù)值仿真.仿真時(shí)間和步長(zhǎng)分別為T(mén)20和h0.001.系統(tǒng)的初始條件選取為x(0)col{3,0}.圖3給出了與已有文獻(xiàn)的仿真對(duì)比結(jié)果.仿真結(jié)果顯示,本文的近似解輸入法、傳統(tǒng)事件觸發(fā)方法[1,13]、指數(shù)衰減法[12,14–16]、指數(shù)逼近法[17]所產(chǎn)生的事件數(shù)分別為18,38,29,28.顯然,本文所提出的方法策略(18)比現(xiàn)有方法策略更能減少采樣數(shù)量.

圖3 控制器響應(yīng)Fig.3 The responses of controller

接下來(lái),比較本文中基于近似解輸入法的動(dòng)態(tài)觸發(fā)方案(22)與文獻(xiàn)[18]的仿真結(jié)果.簡(jiǎn)便起見(jiàn),取式(21)中的函數(shù)?(s)s,常數(shù)θ1.仿真結(jié)果如圖4所示.仿真中,本文中動(dòng)態(tài)觸發(fā)條件(22)產(chǎn)生的事件數(shù)為14次,而文獻(xiàn)[18]中的方法為43次,約是本文方法的3倍.

圖4 控制器和動(dòng)態(tài)變量α(t)的響應(yīng)Fig.4 The responses of controller and dynamic variable α(t)

4 結(jié)論

本文針對(duì)帶有不確定參數(shù)的利普希茨非線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制問(wèn)題,提出了基于近似解輸入法的控制策略.通過(guò)對(duì)非線性進(jìn)行系統(tǒng)線性化處理后,該方法將確定性線性系統(tǒng)的局部解作為近似解,構(gòu)造了相應(yīng)的事件觸發(fā)條件和控制器,并給出了相應(yīng)的穩(wěn)定性判據(jù).理論分析表明,本文方法可以避免Zeno現(xiàn)象,且在一定條件下可以增大最小事件間隔.本文還將所提方法結(jié)合動(dòng)態(tài)觸發(fā)控制方案作進(jìn)一步推廣,提高了事件觸發(fā)閾值,并得到了相應(yīng)的動(dòng)態(tài)觸發(fā)條件和系統(tǒng)穩(wěn)定性條件.實(shí)驗(yàn)仿真表明,本文方法相比已有方法,可以減少數(shù)倍的事件發(fā)生次數(shù),進(jìn)而有利于降低網(wǎng)絡(luò)的通訊負(fù)擔(dān).