考慮重要輸入變量選擇的非線性系統(tǒng)模糊辨識

劉福才 呂金鳳 任亞雪

(1.燕山大學智能控制系統(tǒng)與智能裝備教育部工程研究中心,河北秦皇島 066004;2.河北科技師范學院,河北秦皇島 066004)

1 引言

針對有數(shù)百個可能輸入的復雜、病態(tài)非線性動態(tài)系統(tǒng)進行模糊建模時,如果所有的變量都被考慮,模糊規(guī)則數(shù)則呈指數(shù)增加[1].對于基于模糊規(guī)則的辨識問題,必須考慮兩個主要問題,一個是建模精度要高,另外一個是模糊規(guī)則數(shù)要少.文獻[2]采用模糊聚類與啟發(fā)式學習相結合的方式生成初始規(guī)則并對規(guī)則進行多種群量子編碼,避免了維數(shù)災難問題.按著Stone-Weierstrass理論,模糊基函數(shù)可以擴展成萬能逼近器,并且若有足夠的模糊規(guī)則數(shù)則建模誤差可以任意地小.然而在實際應用中模糊規(guī)則數(shù)是有限的,滿足精度和減小規(guī)則庫規(guī)模是相互矛盾的,因此,考慮重要輸入變量選擇是解決應用模糊系統(tǒng)進行辨識問題的一個重要手段[1].

文獻[1]針對非線性系統(tǒng)輸入結構辨識問題,提出了兩階段模糊曲線和曲面(two stage fuzzy curves and surfaces,TSFCS)方法.第1階段模糊曲線是針對每一個輸入的輸出局部平均值,第2階段模糊曲線是方差的局部估計值.兩階段模糊曲面是兩階段模糊曲線的二維類比.這種兩階段模糊曲線和曲面方法可以用于自動和快速地辨識出有著大量輸入的模型系統(tǒng)中所需的重要輸入變量.為了提高模糊建模精度和減小模糊規(guī)則庫的規(guī)模,文獻[3]通過應用一種改進的距離規(guī)則(linear distance rules,LDR)提出了一種確定多輸入系統(tǒng)重要輸入變量的方法.通過定義近零指標函數(shù),可以獲得在輸入–輸出關系中每一個輸入信號對于輸出的影響程度,從而確定重要變量.為了系統(tǒng)分析多輸入多輸出非線性動態(tài)系統(tǒng)模糊邏輯控制器性能,文獻[4]提出了一種從輸入–輸出數(shù)據(jù)出發(fā),利用滑模控制理論設計魯棒模糊控制規(guī)則,建立模糊邏輯模型的方法.首先通過定義隸屬函數(shù)設計每一個輸入候選變量對于輸出的映射距離指標,在有限的候選變量中辨識出重要輸入變量,然后應用滑?？刂评碚撛O計了一種魯棒模糊控制器,并將該方法應用到四自由度機械臂軌跡跟蹤控制中,通過與高增益比例積分微分(proportional integral derivative,PID)控制器進行比較,獲得了較好的跟蹤性能.文獻[5]通過應用遺傳算法(genetic algorithm,GA)選擇輸入變量,提出了一種模糊建模中自動分配隸屬函數(shù)的方法,并通過仿真舉例驗證了提出的隸屬函數(shù)分配性能優(yōu)于傳統(tǒng)的方法.輸入變量選擇對于時間序列預測模型是比較重要的,不僅可以改善模型預測性能,而且可以降低數(shù)據(jù)采集成本,文獻[6]研究了3種輸入變量選擇方法的性能,包括兩個基于偏線性相關(partial linear correlation,PLC)和偏互信息(partial mutual information,PMI)的無模型方法和一個基于模型的遺傳算法(genetic programming,GP)方法,通過4個假設數(shù)據(jù)集和2個實際數(shù)據(jù)集對3個方法進行性能檢驗,檢驗結果表明所提出的計算簡單的無模型PLC方法和能夠確定復雜非線性關系的基于模型的GP方法是比較適合做輸入變量選擇的.文獻[7]提出一種基于判別式特征提取的輸入變量選擇方法.通過分析輸入空間與特征空間之間的關系,基于協(xié)方差矩陣(image covariance matrix,IVX–IC)選擇包含大量辨別信息的輸入變量,刪除帶有較少辨別信息的輸入變量,并通過含有噪聲輸入變量的人臉識別實驗數(shù)據(jù)驗證了提出方法的有效性.文獻[8]針對商用建筑的熱負荷預測問題,對所有可能的輸入變量進行選擇,并通過(artificial neural network,ANN)模型對預測結果進行分析.通過對商用建筑的高度、樓層和窗戶面積等重要輸入變量選擇可以在保持同樣預測精度的前提下降低預測模型的復雜性.

一般來說,Takagi-Sugeno(T–S)模糊模型的建立包括結構辨識和參數(shù)辨識兩部分.輸入變量的選擇、模糊規(guī)則的確定和模糊空間的劃分都屬于結構辨識的范疇.在模糊建模中,這兩部分和參數(shù)辨識的比例為100:10:1[9],這說明了輸入變量選擇(input variable selection,IVS)在T–S模糊建模中的重要作用.對于一個未知的實際系統(tǒng),如果所有的變量都被考慮,模糊規(guī)則數(shù)則呈指數(shù)增加,然而在實際應用中模糊規(guī)則數(shù)是有限的.對于基于模糊規(guī)則的辨識問題,選擇重要的輸入變量可以解決提高模型精度和減小規(guī)則庫規(guī)模之間的矛盾.通常,模糊建模總是基于經驗確定的固定輸入變量,難以保證所選擇的輸入變量集合中沒有冗余變量,而這將會直接影響模型的辨識精度.因此,對于非線性系統(tǒng)模糊建模,顯然需要比較穩(wěn)健的IVS方法,這種方法不依賴于系統(tǒng)的先驗知識或假設,計算成本低,并且能夠表征候選輸入之間的非線性和相互依賴的關系.故本文提出改進的重要輸入變量選擇方法并將其引入到模糊系統(tǒng)建模中.

在以往的模糊辨識研究中,對于非線性動態(tài)系統(tǒng),輸入變量是已知的或確定的.雖然在模糊結構辨識中輸入變量的選取是非常重要的,但目前還沒有詳細的研究成果.針對T–S 模糊模型的特點,本文對文獻[1]中的重要輸入變量選擇方法進行了深入分析和研究,采用簡化的兩階段模糊曲線的變量選擇方法選擇模糊系統(tǒng)的重要輸入變量,進行結構辨識.為了提高模型的辨識精度,本文進一步采用合適的算法進行參數(shù)辨識.

眾所周知,參數(shù)辨識包括前提參數(shù)辨識和結論參數(shù)辨識.在前提參數(shù)辨識中,模糊子集的劃分是由前提隸屬函數(shù)確定的.隸屬函數(shù)是描述模糊子集隸屬度的一種方式,在確定模糊變換過程中起著重要作用.常用的隸屬函數(shù)有高斯函數(shù)、三角函數(shù)和模糊聚類函數(shù).在實際應用中,高斯隸屬函數(shù)曲線的形狀更適合描述模糊子集.但是,當選擇鐘形高斯函數(shù)作為模糊邏輯函數(shù)時,其中心的確定是決定模糊劃分合理性的關鍵.為此,可以考慮采用適當?shù)膬?yōu)化算法確定高斯函數(shù)的中心.

各種研究和相關數(shù)據(jù)表明,模糊聚類(fuzzyC–means,FCM)對于T–S模糊模型的前提參數(shù)識別是非常適用和廣泛的,其算法的核心問題是建立合理的聚類指標來優(yōu)化模糊輸入空間的劃分.FCM算法是一種基于歐幾里得范數(shù)的形成球形聚類中心的聚類算法,通過優(yōu)化目標函數(shù)的每個采樣點對所有類中心隸屬度,實現(xiàn)自動分類目標樣本數(shù)據(jù).本文考慮采用FCM與高斯函數(shù)結合的方式來劃分模糊空間,提高模型辨識精度.

針對非線性動態(tài)系統(tǒng)的模糊辨識問題,本文提出一種新的考慮重要輸入變量選擇的模糊辨識方法.首先采用兩階段模糊曲線方法快速從大量可選擇的輸入變量中選擇出重要的輸入變量,然后采用FCM和Gaussian型隸屬函數(shù)確定模糊模型前提參數(shù),應用遞推最小二乘(recursive least squares,RLS)辨識模糊模型結論參數(shù).最后通過對Mackey-Glass混沌時間序列和Box-Jenkins煤氣爐數(shù)據(jù)兩個國際標準例題模糊建模驗證了該方法的有效性,并將該方法應用到一實際氣動變載荷加載系統(tǒng)的模糊建模中,驗證了該方法的實用性.綜上所述,本文的創(chuàng)新之處可以歸納為以下幾點:

1) 將輸入變量選擇的方法引入到模糊辨識中,并對兩階段模糊曲線和模糊曲面方法進行改進,以適應模糊模型的輸入變量選擇;

2) 在模糊模型前提參數(shù)辨識方法中,將FCM與高斯函數(shù)相結合對前模糊子空間進行劃分.

2 預備知識

2.1 T–S模糊模型

T–S模糊動態(tài)模型是用局部表示非線性模型輸入–輸出關系的模糊IF–THEN規(guī)則描述的[10–12].首先,考慮數(shù)據(jù)集X{x1,x2,···,xM},其中M為輸入變量的個數(shù),對于每個輸入向量

k1,2,···,N為第k個樣本數(shù)據(jù).T–S模糊模型的第i個規(guī)則描述如下:

式中:Ri是第i1,2,···,c個模糊規(guī)則,c是模糊規(guī)則數(shù),xq(k)是輸入變量,q1,2,···,M,為模糊集,yi(k)是第i個模糊規(guī)則的輸出,為第i個輸出的結論參數(shù).

通過使用推理乘積、單值模糊發(fā)生器和中心平均解模糊器,整個T–S模糊模型的解模糊輸出表示為

2.2 模糊C–均值算法

模糊C–均值聚類方法是由Bezdek在1981年提出目前應用最廣泛的聚類方法之一[13],因為它具有高效、簡單、易于實現(xiàn)的特點,已廣泛地應用于模式識別和數(shù)據(jù)聚類中[11].在諸多自動產生模糊IF–THEN規(guī)則的方法中,模糊聚類方法是最流行的方法.該算法的主要思想是使如下目標函數(shù)最小化:

Dik是數(shù)據(jù)Xk到中心vi的歐氏距離的平方,i1,2,···,c,k1,···,N,m是1.5到2.5之間的加權指數(shù),c是聚類數(shù).

分區(qū)矩陣的每個元素φik ∈[0,1]是量化數(shù)據(jù)點Xk屬于聚類i的程度,并滿足由以下等式表示的約束:

FCM算法的基本思想是根據(jù)不同類的中心和模糊劃分系數(shù)最小化公式(4)給出的判據(jù),然后根據(jù)最小化的結果定義更新關系:

根據(jù)給定的數(shù)據(jù)集(Xk,yk),將FCM算法歸納為以下步驟:

步驟1初始化迭代次數(shù)l0,設置聚類數(shù)c、權重指數(shù)m、停止標準ε,并隨機初始化模糊劃分矩陣Φ.

步驟2根據(jù)式(7)更新聚類中心vi.

步驟3使用式(5)更新每個聚類的距離Dik.

步驟4更新式(8)表示的模糊劃分矩陣U(φik).

步驟5如果‖Φ(l)?Φ(l?1)‖>ε回到步驟2,否則停止.

3 考慮輸入變量選擇的模糊辨識方法

3.1 重要輸入變量選擇

兩階段模糊曲線曲面法適合處理輸入變量相互依賴性較強的情況.由于T–S模糊模型基準問題的輸入變量之間的相關性較小,因此可以對TSFCS方法進行改進,使其更適合T–S模糊模型.該部分將TSFCS方法簡化為兩階段模糊曲線法(two-stage fuzzy curve,TSFC),給出各輸入變量與輸出之間的關聯(lián)度權重.在此基礎上,得到所有輸入變量的重要性指數(shù).可以根據(jù)輸入變量指標選擇重要的輸入變量.具體算法流程圖如圖1所示.

圖1 TSFC算法流程圖Fig.1 The flow diagram of the TSFC algorithm

3.1.1 第1階段模糊曲線

第1階段的模糊曲線是基于一個簡單的想法:最重要的輸入對逼近輸出起主要作用.假設模糊系統(tǒng)有M個可能的輸入:x1,x2,···,xM,一個輸出y,以及N個輸入–輸出數(shù)據(jù)對.

首先,對于每個輸入變量xi(i1,2,···,M),定義空間xi ?y中的高斯隸屬度函數(shù)μki(xi)為

其中:xki表示xi ?y空間中的一個數(shù)據(jù)點,bi為高斯函數(shù)的寬度,常取為

然后利用式(9),為每個輸入xi創(chuàng)建一個模糊曲線

如果輸入變量xi比輸入變量xj更重要,則局部平均值比模糊曲線更接近輸出值yk.設為性能指標函數(shù)

3.1.2 第2階段模糊曲線

利用第1階段模糊曲線,第2階段模糊曲線可以表示為

第2階段的模糊曲線表示沿每個xi軸輸出方差的局部估計.如果輸入xi與輸出y是隨機相關的,那么方差的局部估計值將近似等于全局值vy,對于所有的xi應該是≈vy;相反,如果輸入xi與輸出y有因果關系,則在任何點上都與全局方差vy有顯著差異.

計算式(15)中的性能指標函數(shù)Pi,并按降序排列,得到按重要性排序的變量xi列表.如果Pi0,表示性能很好,如果Pi1,表示性能很差,0

3.2 提出的辨識方法

從文獻[14–15]的模糊辨識方法中可以看出,高斯型隸屬函數(shù)的形狀更適合模糊辨識,而且高斯函數(shù)中心的確定是比較重要的.為了提高模型辨識精度,文獻中多采用粒子群算法對高斯函數(shù)的中心和寬度同時進行優(yōu)化,這樣雖然能夠提高辨識精度,但卻增加了計算機尋優(yōu)時間.為了避免復雜的迭代優(yōu)化過程,本文從簡化計算機運行時間角度出發(fā),將FCM與高斯型函數(shù)相結合(簡稱FCM–G),利用模糊聚類能自動搜索聚類中心的特點,來彌補高斯型隸屬函數(shù)中心不能自動確定的缺陷,同時引入重要輸入變量選擇的概念,提出一種新的非線性動態(tài)系統(tǒng)模糊辨識方法.即首先采用改進的TSFC方法從眾多候選變量中確定重要的輸入變量,并確定輸入變量個數(shù);然后采用模糊聚類(FCM)對樣本數(shù)據(jù)進行模糊C均值劃分,獲得聚類中心,并將聚類中心作為高斯型隸屬函數(shù)的中心,通過選擇合適的高斯函數(shù)寬度值,從而獲得最終的前提參數(shù);最后采用遞推最小二乘(RLS)辨識結論參數(shù).本文提出的考慮重要輸入變量選擇的模糊辨識方法(簡稱TSFC–FCM–G)如圖2所示,具體辨識步驟如下.

圖2 基于TSFC的T–S模糊模型辨識方法Fig.2 T–S fuzzy model identification approach based on TSFC

步驟1重要輸入變量選擇.

應用改進的TSFC方法由式(12)(14)分別計算候選輸入變量xi的第1階段模糊曲線性能指標和第2階段模糊曲線性能指標,根據(jù)獲得的和由式(15)計算合成性能指標函數(shù)Pi,并按降序排列,得到按重要性排序的變量xi列表,選出重要輸入變量并確定輸入變量個數(shù)r,用其進行建模.

步驟2模糊C–均值聚類中心獲取.

首先確定初始的模糊聚類數(shù)c,利用隨機數(shù)發(fā)生器給聚類中心矩陣v賦初值,根據(jù)式(6)(7)分別計算聚類中心vi和模糊隸屬度函數(shù)矩陣Φ,根據(jù)循環(huán)停止條件ε獲得最后的聚類中心vi,并作為高斯型函數(shù)的中心.

步驟3前件隸屬函數(shù)的獲取.

與高斯型隸屬度函數(shù)結合對前提參數(shù)進行辨識,將步驟2得到聚類中心vi作為高斯函數(shù)的中心,viq.通過選擇合適的高斯函數(shù)寬度β,代入式(3)計算獲取前件隸屬函數(shù).

步驟4采用遞推最小二乘算法對結論參數(shù)進行辨識.

設辨識對象為P(X,Y),其中X為系統(tǒng)的輸人,Y為系統(tǒng)的輸出,X ∈RN,Y ∈Rq.因為這樣的多進多出(multiple input multiple output,MIMO)系統(tǒng)可分為q個多進單出(multiple input single output,MISO)子系統(tǒng)進行辨識,因此只討論MISO系統(tǒng)的辨識.本文采用的模型為T–S模糊模型,如式(1).定義

由式(2)可知系統(tǒng)的輸出可表示為

其中:A是L(N+1)c維結論參數(shù)向量;Y,X分別是N ×1,N ×L的矩陣.A的最小二乘估計為A?(XTX)?1XTY.結論參數(shù)A的辨識方法采用遞推最小二乘法[11],一方面這樣可以避免矩陣求逆,另一方面是該方法具有實時更新樣本參數(shù)的作用.

步驟5計算性能指標均方誤差(mean square error,MSE),其計算式如下.如果MSE滿足辨識精度,則辨識算法結束;否則增加c,轉到步驟2.

式中:k是第k個數(shù)據(jù)對,N是數(shù)據(jù)樣本總數(shù),y(k)是第k個原始模型輸出,是第k個數(shù)據(jù)點的模型輸出.

4 仿真舉例與應用

本文通過例舉兩個熟知的仿真實例和一個實際應用系統(tǒng)來驗證所提出的辨識方法的優(yōu)越性,主要考核模型的預測性能和泛化性.在仿真實例中通過選擇不同數(shù)量的輸入變量數(shù)來驗證重要輸入變量選擇的重要性.仿真舉例中模型預測性能是通過與文獻中的其他方法相比較來驗證的.為了驗證模型的泛化性,將數(shù)據(jù)樣本集分成訓練集和測試集兩部分.

為了反映原始模型與提出的模糊模型的之間的誤差大小,可以將均方誤差(MSE)作為評價性能指標.

4.1 Mackey-Glass混沌時間序列

Mackey-Glass混沌時滯微分方程廣泛用于比較不同模糊模型的學習和泛化能力[11].Mackey-Glass混沌時間序列由以下微分方程產生:

時間序列預測的任務是利用已知時間序列在x(t)的值去預測將來時刻x(t+P)的值(P為預測步數(shù)).為了獲得時間序列在整數(shù)點的值,可采用四階龍格-庫塔法得到式(20)的數(shù)值解.設初始值x(0)1.2,在t124和t1123之間采集1000個輸入輸出數(shù)據(jù)對.

4.1.1 重要輸入變量選擇

利用得到的1000個輸入輸出數(shù)據(jù)對,令

利用第3節(jié)中提出的TSFC方法,計算變量xi的性能指標函數(shù)Pi,并根據(jù)其重要性得到變量列表(見表1).由表1可知以下輸入變量:x(t ?1),x(t ?2),x(t ?3),x(t ?4),x(t ?5)和x(t ?18)是混沌系統(tǒng)的6個重要輸入變量.

表1 Mackey-Glass混沌系統(tǒng)輸入變量性能指標列表Table 1 List of performance index for Mackey-Glass chaotic system

4.1.2 預測模型的建立

為了驗證考慮重要輸入變量選擇的T–S模糊模型的預測性能與泛化性,將1000個數(shù)據(jù)對分為兩部分,前500個數(shù)據(jù)對作為訓練樣本集,剩余500個數(shù)據(jù)對作為檢驗樣本集.

多數(shù)文獻中,一般選用x(t ?1),x(t ?2),x(t ?3),x(t ?4),x(t ?5)和x(t ?6)這6個輸入變量,來預測輸出變量x(t+1)的值.本文選取由TSFC方法確定的6個變量作x(t ?1),x(t ?2),x(t ?3),x(t ?4),x(t ?5)和x(t ?18)作為T–S模糊模型的輸入,模糊規(guī)則數(shù)設為2.圖3–4分別給出了本文方法的建模與預測結果.表2列出了在選擇常規(guī)輸入變量與重要輸入變量兩種情況下的模型辨識結果,對比結果表明,本文提出的方法具有較好的建模與預測精度.即,在輸入變量數(shù)相同的條件下,考慮輸入變量選擇的模糊模型辨識精度的要優(yōu)于常規(guī)輸入變量選擇的模糊辨識結果.

表2 Mackey-Glass混沌系統(tǒng)輸入變量選取結果的比較Table 2 Comparison of the results of selecting input variables for Mackey-Glass chaotic system

圖3 訓練模型和原系統(tǒng)的Mackey-Glass混沌系統(tǒng)的比較Fig.3 Comparison of our model and the original system for Mackey-Glass chaotic system(training)

圖4 檢驗模型和原系統(tǒng)的Mackey-Glass混沌系統(tǒng)的比較Fig.4 Comparison of our model and the original system for Mackey-Glass chaotic system(testing)

同時,表3列出了將本文的模型性能與現(xiàn)有文獻的模型性能比較結果,從表3中可以看出,在規(guī)則數(shù)為2的情況下,本文方法的建模與預測結果分別為3.071×10?5和3.142×10?5,遠高于文獻中提出的其他方法.

表3 Mackey-Glass混沌系統(tǒng)不同模型的比較Table 3 Comparison of different models for Mackey-Glass chaotic system

4.2 Box-Jenkins煤氣爐系統(tǒng)

本節(jié)考慮單輸入單輸出的動態(tài)煤氣爐系統(tǒng)[20–21],u表示輸入到煤氣爐的煤氣流量,y表示煤氣爐輸出氣體的二氧化碳濃度,采樣時間為9 s,具有296個輸入輸出測量值.

4.2.1 基于TSFC選擇輸入變量

根據(jù)本文第3節(jié)的TSFC方法,令

利用式(15)計算xi的性能指標函數(shù)Pi,得到變量xi的列表如表4所示,Pi越小,輸入變量越重要.從表4中可以看出,y(k ?1),u(k ?4),y(k ?2),u(k ?3),y(k ?3)和u(k ?2)是與輸出y(k)密切相關的重要輸入變量.

表4 Box-Jenkins系統(tǒng)輸入變量性能指標列表Table 4 List of performance index for Box-Jenkins system

4.2.2 預測模型建立

這個實驗分兩種情況,第1種情況將所有296組數(shù)據(jù)都用于構建模糊模型.為了突出重要輸入變量對模型精度的影響,輸入變量數(shù)分別按2,4,6這3種形式進行驗證.詳細的性能比較結果如表5所示.從表中可以看出,重要輸入變量對模型性能影響較大,特別是在輸入變量數(shù)較少的情況下.當輸入變量數(shù)為6時,現(xiàn)有文獻一般選擇u(k),u(k ?1),u(k ?2),y(k ?1),y(k ?2),y(k ?3)作為模型的輸入變量;本文將根據(jù)重要輸入變量選擇結果采用y(k ?1),u(k ?4),y(k ?2),u(k ?3),y(k ?3)和u(k ?2)作為T–S模糊模型的輸入,設規(guī)則數(shù)為2.

表5 Box-Jenkins系統(tǒng)輸入變量選擇結果的比較(情形1)Table 5 Comparison of the results of selecting input variables for Box-Jenkins system(Case 1)

圖5給出了本文提出的考慮6個重要輸入變量的模型預測結果,圖5(a)是實際輸出與模型預測輸出曲線,圖5(b)是建模誤差曲線.表6給出了本文模型與現(xiàn)有文獻的比較結果,從表6中可以看出本文模型在模糊規(guī)則數(shù)為2時的建模精度為0.0545,優(yōu)于其他文獻的結果.

圖5 模型和原系統(tǒng)的Box-Jenkins煤氣爐系統(tǒng)的比較(情形1)Fig.5 Comparison of our model and the original system for Box-Jenkins system(Case 1)

表6 Box-Jenkins系統(tǒng)不同模型的比較(情形1)Table 6 Comparison of different models for Box-Jenkins system(Case 1)

第2種情況,將前148個數(shù)據(jù)對作為訓練數(shù)據(jù)集,剩余148個數(shù)據(jù)對作為檢驗數(shù)據(jù)集來評價模糊模型.當規(guī)則數(shù)為2,輸入變量數(shù)為6時,通過應用訓練數(shù)據(jù)和檢驗數(shù)據(jù)建立的逼近實際系統(tǒng)的模糊模型性能結果和逼近誤差分別如圖6–7所示,可見構建的T–S模糊模型輸出能夠很好地逼近實際系統(tǒng)輸出.

圖6 應用訓練數(shù)據(jù)建立的模型和實際Box-Jenkins系統(tǒng)的比較(情形2)Fig.6 Comparison of our model and the original system for Box-Jenkins system using training data(Case 2)

圖7 應用檢驗數(shù)據(jù)建立的模型和實際Box-Jenkins系統(tǒng)的比較(情形2)Fig.7 Comparison of our model and the original system for Box-Jenkins system using tasting data(Case 2)

表7給出了提出的辨識方法和其它方法的詳細比較結果.

表7 Box-Jenkins系統(tǒng)不同模型的比較(情形2)Table 7 Comparison of different models for Box-Jenkins system(Case 2)

從表7中可以看出,構建的T–S模糊模型訓練性能指標MSE是0.0142,檢驗性能指標MSE是0.1540,優(yōu)于或接近文獻中提出的方法.而且構建的只有2個模糊規(guī)則的T–S模糊模型的練性能指標MSE是0.0151,檢驗性能指標MSE是0.1674.盡管文獻中構建的T–S模糊模型也是有2–3個模糊規(guī)則,訓練性能指標和檢驗性能指標接近本文提出的方法,但這些辨識結果均是通過迭代向量量化聚類法[29]、重力搜索算法(gravity search algorithm,GSA)[26,32]和改進的混合回溯搜索算法(improved hybrid backtracking search algorithm,IHBSA)[31]等復雜參數(shù)優(yōu)化過程獲得的,本文算法的優(yōu)勢在于避免了這些復雜的迭代學習過程.

4.3 氣動變載荷加載系統(tǒng)

氣動系統(tǒng)具有成本低、輸出質量比高、無污染、維護方便等優(yōu)點,廣泛應用于工業(yè)自動化領域.然而,空氣的可壓縮性、氣缸兩腔的充排氣特性、電氣比例閥的流量非線性、死區(qū)特性、時滯性以及氣缸摩擦力等因素,導致了氣動加載系統(tǒng)的強非線性、強耦合性,從而給氣動加載系統(tǒng)的建模和控制帶來許多困難[33].一般來說,建立系統(tǒng)模型有兩種方法:一是完全了解系統(tǒng)的運行規(guī)律,根據(jù)物理規(guī)律建立模型;另一種是根據(jù)系統(tǒng)的運行和實驗數(shù)據(jù)來識別系統(tǒng)模型.本文采用考慮重要輸入變量選擇的模糊辨識方法,建立氣動變載荷加載系統(tǒng)的T–S模糊模型.

氣動變載荷加載試驗機適用于小載荷的精確加載和數(shù)值連續(xù)可變的變載荷加載,可模擬地面和空間機構活動界面的運動行為,實現(xiàn)重力和微重力環(huán)境下多種活動界面間的摩擦磨損模擬試驗.圖8為試驗用氣動變載荷加載系統(tǒng)結構圖.

圖8 氣壓加載系統(tǒng)結構簡圖Fig.8 Structural diagram of the variable load pneumatic loading system

圖8系統(tǒng)包括穩(wěn)壓氣源、氣動聯(lián)軸器、SMC先導電比例壓力閥、SMC單桿雙作用氣缸等氣動元件,氣缸直徑40 mm、行程50 mm.測控系統(tǒng)包括用于實時壓力測量的拉力壓力傳感器、用于模擬輸入的研華PCI–1710數(shù)據(jù)采集卡、用于控制輸出的研華PCI–1720模擬輸出卡,系統(tǒng)控制器為IPC–610研華工控機.在系統(tǒng)的動態(tài)響應范圍內,以偽隨機方波序列作為激勵信號,在開環(huán)狀態(tài)下連續(xù)作用于系統(tǒng),采集系統(tǒng)的輸入和輸出數(shù)據(jù).采樣周期為0.1 s,采樣時間為100 s,得到1000個采樣點,其中u(k)為氣動比例閥電流輸入,y(k)為氣動加載系統(tǒng)實際壓力輸出.

4.3.1 基于TSFC選擇輸入變量

利用采集到的1000組數(shù)據(jù),根據(jù)本文第2部分描述的TSFC方法對輸入變量進行排序,它們的重要性如表8所示,選擇u(k ?1),u(k ?2),u(k ?3),u(k ?4),y(k ?1)和y(k ?2)6個變量作為模糊模型的重要輸入變量.

表8 氣動變載荷加載系統(tǒng)輸入變量性能指標列表Table 8 List of performance index for variable load pneumatic loading system

4.3.2 預測模型建立

為了說明輸入變量選擇在實際非線性動態(tài)系統(tǒng)建模中的作用,分別采用常規(guī)輸入變量u(k ?2),u(k ?1),u(k),y(k ?1),y(k ?2),y(k ?3)和 重 要輸入變量建立T–S模糊模型進行比較,設模糊規(guī)則數(shù)為3.采用本文提出的T–S模糊模型建模方法建立氣動變載荷加載系統(tǒng)的模糊模型,并通過實驗數(shù)據(jù)建立的逼近實際系統(tǒng)的模糊模型性能結果和逼近誤差分別如圖9(a)–9(b)所示,可見構建的T–S模糊模型輸出能夠很好地逼近實際氣動加載系統(tǒng)的輸出.氣動加載系統(tǒng)輸入變量選擇模型性能比較如表9所示,從表9中可以看出,在輸入變量數(shù)為4時,考慮重要輸入變量選擇的性能指標MSE為3.7864,不考慮重要輸入變量選擇的性能指標MSE為19.4820;在輸入變量數(shù)為6時,考慮重要輸入變量選擇的性能指標MSE為1.8307,不考慮重要輸入變量選擇的性能指標MSE為14.7006,可見本文提出的模糊建模方法的逼近誤差評價指標遠低于常規(guī)輸入變量的選擇方法,重要輸入變量的選擇對于實際動態(tài)系統(tǒng)的建模是比較重要的.

圖9 應用實驗數(shù)據(jù)建立的氣動系統(tǒng)模糊模型和實際系統(tǒng)輸出比較Fig.9 Square wave loading test results for the variable load pneumatic loading system

表9 氣動加載系統(tǒng)輸入變量選擇結果比較Table 9 Comparison of the results of selecting input variables for variable load pneumatic loading system

5 結論

本文提出了一種新的模糊辨識方法,研究了重要輸入變量的選擇對模糊建模精度的影響.首先利用TSFC方法選取重要輸入變量并進行結構辨識,然后利用FCM與高斯函數(shù)相結合的方法進行前提參數(shù)辨識;最后為了避免矩陣求逆,利用遞推最小二乘方法進行結論參數(shù)辨識.通過重要輸入變量的選擇,不僅可以解決模型精度與模糊規(guī)則庫大小的矛盾,而且可以避免復雜的參數(shù)尋優(yōu)過程.與以往的模糊模型相比,TSFC模型簡化了結構識別的復雜性,通過對重要的輸入變量進行離線預處理,實現(xiàn)了結構辨識的簡捷性和較高的識別精度.仿真實驗部分,通過兩個國際標準例題的辨識結果表明,基于TSFC的模糊建模方法大大提高了模型的精度.此外,在氣動變載荷加載系統(tǒng)中的實際應用結果驗證了輸入變量選擇的實用性.本文的研究結果對模糊辨識在非線性動態(tài)系統(tǒng)中的應用具有重要的理論意義.