基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的永磁同步電機(jī)重復(fù)學(xué)習(xí)控制

陳 強(qiáng),許昌源,孫明軒

(浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院,浙江杭州 310023)

1 引言

永磁同步電機(jī)由于其效率高、魯棒性強(qiáng)、轉(zhuǎn)矩慣量比高、功率密度高、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小等優(yōu)點(diǎn),在高精度伺服控制領(lǐng)域取得了廣泛應(yīng)用[1–2].與其他控制方法相比,滑?？刂品椒軌?qū)崿F(xiàn)對(duì)被控系統(tǒng)的降階控制,具有穩(wěn)定范圍寬、動(dòng)態(tài)響應(yīng)快、魯棒性強(qiáng)、控制實(shí)現(xiàn)簡單等優(yōu)點(diǎn),適用于永磁同步電機(jī)控制器設(shè)計(jì).在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)過程中,電機(jī)伺服系統(tǒng)往往執(zhí)行周期性重復(fù)作業(yè)任務(wù).然而,現(xiàn)有的非線性控制技術(shù)如滑?？刂芠3]、自適應(yīng)控制[4]、有限時(shí)間控制[5]和魯棒控制[6]等,在控制器設(shè)計(jì)中鮮有考慮和利用電機(jī)期望軌跡的周期特性.重復(fù)學(xué)習(xí)控制適用于在無限區(qū)間上周期運(yùn)行的被控對(duì)象,利用上一周期運(yùn)行的數(shù)據(jù)修正當(dāng)前周期的控制輸入,實(shí)現(xiàn)對(duì)周期軌跡的零誤差跟蹤.經(jīng)典的重復(fù)學(xué)習(xí)控制通常也被稱為重復(fù)控制,通過在頻域內(nèi)應(yīng)用內(nèi)模原理構(gòu)造周期為T的任意周期信號(hào)內(nèi)模,實(shí)現(xiàn)對(duì)周期信號(hào)的完全跟蹤[7–8].

近年來,基于Lyapunov方法的重復(fù)學(xué)習(xí)控制引起了廣泛關(guān)注[9–11].文獻(xiàn)[12]針對(duì)一類時(shí)變參數(shù)不確定非線性系統(tǒng),提出一種周期自適應(yīng)學(xué)習(xí)控制方法,并證明閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[13]針對(duì)一類非線性參數(shù)化系統(tǒng)提出一種自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法,在存在未知常數(shù)和周期時(shí)間函數(shù)的情況下,可以實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性和跟蹤誤差的漸近收斂.然而,永磁同步電機(jī)中存在的負(fù)載轉(zhuǎn)矩和未建模動(dòng)態(tài)等非參數(shù)不確定性使得參數(shù)化的重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法不能直接適用.

針對(duì)帶有非參數(shù)不確定性的非線性系統(tǒng),文獻(xiàn)[14]提出一種基于backstepping的重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法,實(shí)現(xiàn)對(duì)給定周期軌跡的精確跟蹤.文獻(xiàn)[15]針對(duì)分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng),考慮非參數(shù)化不確定、周期時(shí)變參數(shù)化不確定、常參數(shù)化不確定和外部擾動(dòng)等問題,設(shè)計(jì)自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)同步控制器,實(shí)現(xiàn)主系統(tǒng)和從系統(tǒng)的完全同步.文獻(xiàn)[16]針對(duì)帶有非參數(shù)不確定性的步進(jìn)電機(jī),設(shè)計(jì)魯棒重復(fù)學(xué)習(xí)控制器,保證轉(zhuǎn)子位置跟蹤誤差指數(shù)收斂到極小的范圍內(nèi).文獻(xiàn)[17]針對(duì)工業(yè)雙軸精密龍門提出一種自適應(yīng)魯棒重復(fù)控制方法,利用傅立葉級(jí)數(shù)展開估計(jì)和補(bǔ)償周期性不確定性,進(jìn)而設(shè)計(jì)非線性魯棒項(xiàng)減小輪廓誤差.上述文獻(xiàn)中,非參數(shù)不確定性的界限要求在控制器設(shè)計(jì)中已知或部分已知,且學(xué)習(xí)律大多設(shè)計(jì)為部分限幅學(xué)習(xí)律,難以保證將學(xué)習(xí)項(xiàng)限制在指定的界內(nèi).文獻(xiàn)[18]針對(duì)一類非參數(shù)不確定系統(tǒng)提出一種自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法,設(shè)計(jì)全限幅學(xué)習(xí)律對(duì)構(gòu)造的參考輸入信號(hào)進(jìn)行學(xué)習(xí),但其需要利用Lipschitz條件對(duì)非周期項(xiàng)進(jìn)行放縮且只給出仿真結(jié)果.

擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的基本思路是將外部干擾和系統(tǒng)不確定性擴(kuò)張為新的狀態(tài)變量,并通過設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器精確估計(jì)和補(bǔ)償系統(tǒng)不確定性[19–20].目前,基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的重復(fù)學(xué)習(xí)控制研究較少,且已有工作多基于內(nèi)模原理,在頻域下設(shè)計(jì)重復(fù)控制器.擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器可分為線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器和非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器,線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器由于其設(shè)計(jì)簡單和易于實(shí)現(xiàn)而引起廣泛關(guān)注和研究[21–22].文獻(xiàn)[23]針對(duì)直流電機(jī)伺服系統(tǒng),設(shè)計(jì)廣義線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)中的干擾進(jìn)行估計(jì),并設(shè)計(jì)重復(fù)控制器實(shí)現(xiàn)對(duì)周期信號(hào)的精確跟蹤.文獻(xiàn)[24]針對(duì)一類帶有周期性和非周期性干擾的二階系統(tǒng),設(shè)計(jì)線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)非周期性干擾進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償,并在頻域下設(shè)計(jì)重復(fù)控制器抑制周期性干擾,實(shí)現(xiàn)較好的跟蹤效果.

基于以上討論,本文針對(duì)非參數(shù)不確定永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng),提出一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的全限幅重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法,實(shí)現(xiàn)對(duì)周期性期望軌跡的高精度跟蹤.將永磁同步電機(jī)中的非參數(shù)不確定性分為周期性部分與非周期性部分,其中周期性部分通過設(shè)計(jì)重復(fù)學(xué)習(xí)律進(jìn)行處理,非周期性部分則由擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償,避免使用Lipschitz假設(shè)條件.此外,設(shè)計(jì)全限幅學(xué)習(xí)律估計(jì)周期性期望控制輸入,與已有的部分限幅學(xué)習(xí)律相比,該學(xué)習(xí)律可保證估計(jì)值被限制在指定界內(nèi).

2 問題描述

永磁同步電機(jī)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型可表示為[16]

其中:iq為q軸定子電流,J是慣性系數(shù),B為粘滯摩擦系數(shù),np是極對(duì)數(shù),?f是磁鏈,TL(θ)表示與位置有關(guān)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩.θ,ω分別是轉(zhuǎn)子位置和角速度,d表示除負(fù)載擾動(dòng)以外的非線性摩擦等時(shí)變非周期擾動(dòng).

本文永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示.

圖1 永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The schematic of the PMSM servo system

圖1中:RLC表示重復(fù)學(xué)習(xí)控制器(repetitive learning controller),LESO表示線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(linear extended state observer).為便于分析,令x1θ,x2ω,uiq,則式(1)可寫為

本文根據(jù)期望軌跡x1r的周期性,將α(x1)分為兩部分α(x1)α(x1r)+[α(x1)?α(x1r)].其中周期項(xiàng)α(x1r)可設(shè)計(jì)重復(fù)學(xué)習(xí)律進(jìn)行估計(jì);非周期項(xiàng)α(x1)?α(x1r)可設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償.

本文的控制目標(biāo)為,針對(duì)系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)重復(fù)學(xué)習(xí)控制器u,保證位置狀態(tài)x1能夠精確跟蹤周期性期望位置信號(hào)x1r.

3 基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的重復(fù)學(xué)習(xí)控制

3.1 誤差定義與滑模面設(shè)計(jì)

定義跟蹤誤差為

其中:x1r,x2r分別為期望位置信號(hào)與期望速度信號(hào),x1r,x2r滿足

其中ur表示期望控制輸入信號(hào),根據(jù)式(4)可得

由xir的周期性可知,ur同樣為周期性為T的周期信號(hào),即ur(t)ur(t ?T).

將式(2)與式(4)相減可得

為估計(jì)系統(tǒng)中的非周期性擾動(dòng),設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器,定義觀測(cè)誤差為

其中zi為狀態(tài)xi的觀測(cè)值.設(shè)計(jì)滑模面為

其中λ為大于0的常數(shù).對(duì)式(8)求導(dǎo),并由式(6)可得

根據(jù)式(9),設(shè)計(jì)控制器u為

注1相較于文獻(xiàn)[25]的滑模面設(shè)計(jì),即σ本文設(shè)計(jì)的滑模面(8)中不含狀態(tài)變量x2,因此,在控制器設(shè)計(jì)中能夠避免使用系統(tǒng)狀態(tài)x2,從而有效降低擾動(dòng)對(duì)速度測(cè)量精度的影響.

3.2 重復(fù)學(xué)習(xí)律設(shè)計(jì)

根據(jù)期望控制輸入ur的周期特性,設(shè)計(jì)以下全限幅重復(fù)學(xué)習(xí)律用以精確估計(jì)ur,即

其中:μ>0為學(xué)習(xí)增益,sat(·)為限幅函數(shù),對(duì)于任一標(biāo)量a有

將式(10)代入式(6),可得

注2為處理非周期不確定項(xiàng)α(x1)?α(x1r),現(xiàn)有文獻(xiàn)[26–27]多采用局部Liptchiz條件將其放縮為參數(shù)不確定進(jìn)行處理.與文獻(xiàn)[26–27]不同,本文采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器直接估計(jì)該非周期不確定項(xiàng),從而避免使用Lipschitz假設(shè)條件.

注3為保證估計(jì)值的有界性,現(xiàn)有文獻(xiàn)[16,26]中多采用部分限幅形式的學(xué)習(xí)律,形式為

然而,未限幅項(xiàng)φ(t)μσ的存在,使得難以被限制在指定界內(nèi).與文獻(xiàn)[16,26]不同,本文設(shè)計(jì)的全限幅學(xué)習(xí)律(11)由于對(duì)和(t ?T)分別進(jìn)行限幅,因此能夠確保被有效限制在指定的界內(nèi).

3.3 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

其中:b0>0為大于0的正常數(shù),可以根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)得到;h為連續(xù)有界函數(shù).

針對(duì)系統(tǒng)(15),設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器為

其中ω0表示擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的帶寬.將式(15)–(16)相減可得

根據(jù)式(17),未知?jiǎng)討B(tài)h和觀測(cè)器輸出誤差?z1之間的傳遞函數(shù)可以計(jì)算為

因此,式(17)的特征多項(xiàng)式為

其中:A為Hurwitz矩陣,M[0 0 1]T.

引理1[22]針對(duì)系統(tǒng)(15),在擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(16)作用下,存在正常數(shù)ρi >0,c>0,以及有限時(shí)間T >0,使得

成立.

注4引理1可以保證觀測(cè)誤差的有界性,且通過增大帶寬參數(shù)ω0可以減小觀測(cè)器誤差.然而,過大的ω0可能會(huì)降低擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的魯棒性和產(chǎn)生高頻振蕩.因此,參數(shù)ω0設(shè)置應(yīng)綜合考慮觀測(cè)精度與魯棒性.

3.4 重復(fù)學(xué)習(xí)控制器設(shè)計(jì)

定義如下Lyapunov函數(shù):

對(duì)式(21)求導(dǎo),并將式(9)代入可得

4 收斂性分析

引理2[8]對(duì)于給定標(biāo)量a和b,若|a|≤,其中為b的上界,以下不等式成立

定理1針對(duì)系統(tǒng)(1),給定周期性期望軌跡x1r,設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(16)、重復(fù)學(xué)習(xí)控制器(10)以及學(xué)習(xí)律(11),則系統(tǒng)的跟蹤誤差可收斂至原點(diǎn)附近的鄰域內(nèi).

證定義類Lyapunov函數(shù)為

由式(41)可知,在誤差上界δk,ρ2,τ恒定時(shí),可以保證最終收斂到原點(diǎn)附近的鄰域內(nèi),且該鄰域隨著增益k1以及滑模面參數(shù)λ的增大而減小.然而,參數(shù)k1與λ選取過大將引起高轉(zhuǎn)矩和高頻振蕩,因此,選定控制器增益k1以及滑模面參數(shù)λ應(yīng)綜合考慮跟蹤精度與高頻振蕩. 證畢.

5 仿真分析

為驗(yàn)證本文所提控制方法的有效性,本節(jié)給出了基于永磁同步電機(jī)模型(1)的仿真結(jié)果.仿真中永磁同步電機(jī)參數(shù)與初始條件設(shè)置均與實(shí)驗(yàn)分析中實(shí)際永磁同步電機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的電機(jī)參數(shù)相同,如表1所示.其中,負(fù)載TL關(guān)于位置相關(guān),為不失一般性,設(shè)置負(fù)載TL為0.5 sinx1.控制器、重復(fù)學(xué)習(xí)律和擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的表達(dá)式分別為式(10)–(11)和式(16).

表1 永磁同步電機(jī)模型參數(shù)Table 1 Parameters of the PMSM

仿真中設(shè)置轉(zhuǎn)子位置的參考軌跡為x1r(t)0.2π×sin(2πt),其周期為T1 s.永磁同步電機(jī)的初始狀態(tài)設(shè)置為x1(0)0,x2(0)0.控制參數(shù)設(shè)置為b04000,k0.1,λ50,其他參數(shù)設(shè)置為μ1,ω05.時(shí)變干擾d設(shè)置為d0.1 rand.

仿真結(jié)果如圖2–6所示.其中,圖2–3分別為位置跟蹤效果及跟蹤誤差圖.從圖2–3可以看出,本文所提重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)給定周期位置信號(hào)的精確跟蹤.圖4給出擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)永磁同步電機(jī)狀態(tài)x1,x2,x3的觀測(cè)效果,由圖可知本文設(shè)計(jì)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(16)能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)x1,x2,x3的精確估計(jì).圖5可以看出本文設(shè)計(jì)的重復(fù)學(xué)習(xí)律(11)可實(shí)現(xiàn)對(duì)周期性期望控制輸入的準(zhǔn)確估計(jì).圖6給出了本文所提重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法的控制輸入.從圖2–6可看出,本文設(shè)計(jì)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器和重復(fù)學(xué)習(xí)控制器能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的準(zhǔn)確估計(jì)以及對(duì)周期性期望軌跡的精確跟蹤.

圖2 位置跟蹤效果Fig.2 Position tracking performance

圖3 位置跟蹤誤差Fig.3 Position tracking error

圖4 x1,x2,x3的觀測(cè)效果Fig.4 Observation performance of x1,x2,x3

圖5 期望控制輸入ur的估計(jì)Fig.5 Estimation of the desired control input ur

圖6 控制輸入Fig.6 Control input

6 實(shí)驗(yàn)分析

為了顯示本文所提出方法(M1)的有效性,實(shí)驗(yàn)中將本文方法與文獻(xiàn)[25]中的基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的滑模控制方法(M2)以及文獻(xiàn)[16]的魯棒重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法(M3)進(jìn)行對(duì)比.實(shí)驗(yàn)中永磁同步電機(jī)平臺(tái)參數(shù)以及初始狀態(tài)設(shè)置均與仿真中一致.M1方法的重復(fù)學(xué)習(xí)控制器、重復(fù)學(xué)習(xí)律以及擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)與仿真中一致,表達(dá)形式如式(10)–(11)和式(16)所示.M1方法的參數(shù)設(shè)置為μ0.15,b04000,ω010,k0.1,λ50.

M2方法的滑模面定義為

控制器設(shè)計(jì)為

擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)為

設(shè)置M2方法的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器增益為ω050,其他參數(shù)選取與M1方法一致,即b04000,k0.1,λ50.

M3方法的控制器設(shè)計(jì)為

其中:kv0.02,kω0.01,而與其他參數(shù)設(shè)置均與M1方法一致,即μ0.15,b04000,k0.1,λ50.

實(shí)驗(yàn)裝置如圖7所示,其中三相PMSM額定負(fù)載、電壓和功率分別為1.5 N·m,220 V和550 W.用于驅(qū)動(dòng)PMSM的逆變器是智能電源模塊(IPM)PS21765,100 V的DC總線電壓由DC電源MP3003D產(chǎn)生.實(shí)驗(yàn)中使用的控制板是TI的DSP TMS320F28335,它通過CCS6.0編程環(huán)境連接到PC.相電流通過霍爾電流傳感器測(cè)量,轉(zhuǎn)子位置通過編碼器測(cè)量(分辨率:2500脈沖/轉(zhuǎn)).實(shí)驗(yàn)是基于單位系統(tǒng)進(jìn)行的,基線值設(shè)置為x1B2πrad,x2B100πrad/s,UBIB10 A.實(shí)驗(yàn)中采用場(chǎng)定向控制(field oriented control,FOC)方案.d軸參考電流將設(shè)置為零以解耦速度和電流,并且q軸參考電流為外環(huán)自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制器輸出,即u.id和iq由兩個(gè)PI控制器調(diào)節(jié),則電流瞬變相對(duì)于機(jī)械瞬變可以忽略不計(jì),且控制參數(shù)設(shè)置為kp0.8706和ki0.0136.PWM切換頻率為20 kHz,死區(qū)時(shí)間為2μs.電流環(huán)和位置環(huán)的采樣頻率分別設(shè)置為20 kHz和1 kHz.

圖7 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.7 The experimental setup

給定周期性期望軌跡x1r(t)0.2πsin(2πt),其周期為T1 s,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8–10所示.圖8為M1–M3方法的位置跟蹤誤差對(duì)比圖,通過M1和M2的對(duì)比可看出,M2方法的跟蹤誤差仍具有一定的周期性.與M2相比,M1方法和M3方法由于能夠有效補(bǔ)償周期不確定性,因而可以減小穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差,實(shí)現(xiàn)對(duì)給定周期性期望軌跡的精確跟蹤.此外,在ESO對(duì)系統(tǒng)不確定性的補(bǔ)償作用下,M1方法相比M3方法具有更好的瞬態(tài)性能和更小的穩(wěn)定誤差.

圖8 跟蹤誤差效果Fig.8 Position tracking error performance

圖9給出了M1方法的重復(fù)學(xué)習(xí)律對(duì)期望控制輸入ur的估計(jì)圖,可看出由于式(11)的φ(t)的設(shè)計(jì),使得參考輸入的估計(jì)值保持連續(xù)性,且看出重復(fù)學(xué)習(xí)律(11)對(duì)于周期性非參數(shù)不確定性實(shí)現(xiàn)了較好的補(bǔ)償性能.圖10給出了M1–M3這3種方法的控制輸入,可以看出,3種方法的控制信號(hào)幅值較為接近.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文所提出的M1方法能夠較好地補(bǔ)償系統(tǒng)中的非參數(shù)不確定性,實(shí)現(xiàn)對(duì)給定周期期望軌跡的精確跟蹤,與仿真結(jié)果描述一致.

圖9 期望控制輸入ur的估計(jì)Fig.9 Estimate of the desired control input ur

圖10 控制輸入Fig.10 Control input

7 總結(jié)

本文針對(duì)一類具有非參數(shù)化不確定性的永磁同步電機(jī)系統(tǒng)提出一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法.利用期望周期軌跡的周期特性構(gòu)造周期控制輸入信號(hào),并設(shè)計(jì)全限幅學(xué)習(xí)律進(jìn)行估計(jì),保證學(xué)習(xí)項(xiàng)的有界性.基于Lyapunov方法設(shè)計(jì)重復(fù)學(xué)習(xí)控制器,并設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)非周期不確定性及干擾進(jìn)行估計(jì),使跟蹤誤差收斂于零點(diǎn)附近的鄰域內(nèi),實(shí)現(xiàn)高精度跟蹤.最后,基于Lyapunov方法對(duì)誤差收斂性進(jìn)行了分析,并通過仿真以及電機(jī)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文所提方法的有效性.