時滯半Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)事件驅(qū)動故障檢測濾波器設計

林文娟何 勇

(1.中國地質(zhì)大學自動化學院,湖北武漢 430074;2.復雜系統(tǒng)先進控制與智能自動化湖北省重點實驗室,湖北武漢 430074)

1 引言

人工神經(jīng)網(wǎng)絡是一類模仿人腦神經(jīng)突觸連接進行信息處理,模仿其記憶、推理和計算能力的數(shù)學型.近年來,人工神經(jīng)網(wǎng)絡逐漸成為機器學習、人工智能等領域的熱點研究話題[1].在實現(xiàn)人工神經(jīng)網(wǎng)絡過程中,由于硬件電路中放大器開關速率和信號傳輸速度的限制,不可避免地會遇到時滯現(xiàn)象[2].時滯的存在往往會導致系統(tǒng)性能下降,給系統(tǒng)分析設計以及應用帶來困難__[3].因此,考慮時滯對神經(jīng)網(wǎng)絡的影響,并對其進行分析與綜合具有重要理論價值和實際意義.鑒于Markov過程在刻畫實際動力系統(tǒng)的有效性,以及其在工業(yè)過程、生物醫(yī)療、社會經(jīng)濟等領域中強大的建模能力,在對人工神經(jīng)網(wǎng)絡建模時引入Markov跳變特性具有重要的實際意義[4].近年來,學者們也因此開展了大量關于Markov跳變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的研究,包含耗散性分析[2]、可達集估計[3]、穩(wěn)定性分析[4]、同步問題[5]、狀態(tài)估計[6]等.

傳統(tǒng)控制系統(tǒng)都是采用時間驅(qū)動的方式,即周期性地更新控制信號、采集信息.這種基于時間驅(qū)動的控制策略通常會造成不必要的通信資源浪費[7],而為了降低這種浪費,有學者提出了事件觸發(fā)機制[8].在這種機制下,只有在滿足預定義的事件觸發(fā)條件時才傳輸信號.受此啟發(fā),學者們又提出了許多改進的事件觸發(fā)機制,如動態(tài)事件觸發(fā)機制[9]、切換事件觸發(fā)機制[10]、自適應事件觸發(fā)機制[11]等.

近年來,隨著實際工業(yè)過程中對安全性和可靠性要求的提高,故障檢測技術被廣泛應用于航天、汽車和制造業(yè)等領域,各類控制系統(tǒng)的故障檢測問題也受到了學者們越來越多重視.目前關于各類控制系統(tǒng)故障檢測問題的研究已有不少成果,如非線性系統(tǒng)[12–13]、Markov 跳變系統(tǒng)[14]、網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)[15–16]、T–S模糊系統(tǒng)[17].同時,由于事件觸發(fā)機制的優(yōu)點,事件觸發(fā)機制下的故障檢測問題同樣引起了學者們濃厚興趣,并開展了大量的研究工作[18–20].

在將Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡應用于實際問題時,可能會遇到元器件失調(diào)、參數(shù)漂移、環(huán)境突然變化等意外現(xiàn)象,這就導致許多Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡在實際應用中不可避免地會遇到故障.例如,在Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡的模擬電路中,通常需要用到運算放大器等無法在高溫高壓下工作的電路元器件,因此當溫度突然升高時,Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡電路就會發(fā)生元器件故障,因而導致Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡電路無法達到預期的目的.因此,研究Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的故障檢測問題具有重要的實際意義.而考慮到Markov切換系統(tǒng)的逗留時間是一個服從指數(shù)分布的隨機變量,這就使其轉(zhuǎn)移概率矩陣是時不變函數(shù)矩陣,許多實際的神經(jīng)網(wǎng)絡常常不能滿足這一理想假設.相比較Markov過程,半Markov跳變過程放寬了轉(zhuǎn)移概率的限制條件,半Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的故障檢測也就具有更重要的研究價值.但目前還并沒有出現(xiàn)針對這一問題的相關研究.

基于此,本文將針對具有時滯的半Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng),研究其故障檢測問題.通過構造一個故障檢測濾波器,生成一個殘差信號,將故障檢測問題轉(zhuǎn)化成求解滿足H∞性能指標的濾波問題,然后基于Lyapunov-Krasovskii(L–K)泛函方法,解決時滯半Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的故障檢測問題.本文的主要創(chuàng)新點如下所示:

1) 首次考慮了時滯半Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的故障檢測問題;

2) 采用了一種事件驅(qū)動觸發(fā)機制以及一個加權故障模型,節(jié)約了網(wǎng)絡資源并提高了故障檢測精度;

3) 通過構造一個時滯乘積型L–K泛函,并利用Writinger積分不等式結合改進逆凸矩陣不等式的方法估計L–K泛函弱無窮小算子,得到了以線性矩陣不等式表達的故障檢測濾波器設計方法.

最終,通過數(shù)值仿真驗證所提方法的有效性和優(yōu)越性.

注1本文采用以下記號:Rn和Rm×n分別表示實數(shù)域的n維向量空間和m×n維矩陣空間,L2(0,∞)表示在(0,∞)上平方可積的函數(shù)集合,P >0(≥0)表示P是正定(半正定)矩陣,diag{···}表示塊對角矩陣,I表示適當維數(shù)的單位矩陣,?表示矩陣由對稱性得到的元素,Sym{X}X+XT.

2 系統(tǒng)與問題描述

本文研究基于模型的半Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡故障檢測問題,其結構圖如圖1所示.其主要思想是:系統(tǒng)的測量輸出以等周期的形式進行采樣后傳輸?shù)绞录|發(fā)器,依據(jù)事先設定的觸發(fā)條件對采樣信息進行篩選并選擇性發(fā)送,然后通過設計一個故障檢測濾波器來建立殘差信號,最后通過診斷邏輯比較殘差評估函數(shù)與閾值確定系統(tǒng)是否出現(xiàn)故障.

圖1 半Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡事件驅(qū)動故障檢測問題結構圖Fig.1 Framework of event-based fault detection filtering for S-MNNs

2.1 系統(tǒng)描述

考慮如下所示的半Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng):

其中:x(t)[x1(t)x2(t)··· xn(t)]T∈Rn是神經(jīng)元狀態(tài)向量,y(t),f(t)∈Rp分別是神經(jīng)元的測量輸出和故障信號,ω(t)∈Rp是隸屬于L2(0,∞)的外部擾動輸入,τ(t)為區(qū)間時變時滯,滿足

D(rt),A(rt),B(rt),M(rt),N(rt)和C(rt)是已知的模態(tài)相關系統(tǒng)矩陣,對于r(t)p ∈M,分別表示為Dp,Ap,Bp,Mp,Np和Cp.

注2半Markov過程的轉(zhuǎn)移概率是時變的,依賴于其駐留時間?,同時其駐留時間函數(shù)分布可以服從指數(shù)分布、韋伯分布、高斯分布等[21].而當它的駐留時間函數(shù)服從指數(shù)分布時,它的轉(zhuǎn)移概率就是常數(shù),也就退化為普通的Markov過程.另一方面,在很多實際過程中,半Markov過程的轉(zhuǎn)移概率πpq(?)通常是有界的,滿足在這種情況下,它就滿足如下的自然假設[22]:

為減少系統(tǒng)中冗余控制信號的發(fā)送頻率、有效節(jié)約網(wǎng)絡資源,在故障檢測濾波器與傳感器之間添加了事件觸發(fā)器.系統(tǒng)由采樣周期為h的傳感器進行周期采樣,傳輸給事件觸發(fā)器,事件觸發(fā)器將按照事件觸發(fā)條件傳輸信號.記事件觸發(fā)器的觸發(fā)時刻為t0,t1,t2,···,事件觸發(fā)器最新傳輸出去的狀態(tài)為y(tk),當前的采樣信號y(tk+ih)只有在滿足如下的事件觸發(fā)條件時才會傳輸?shù)焦收蠙z測濾波器

其中:?是待定的正定矩陣,?是閾值.定義網(wǎng)絡通信中存在網(wǎng)絡誘導時滯dk,其中dk ∈是已知正實數(shù).那么事件觸發(fā)器傳輸出去的數(shù)據(jù)到達零階保持器的時刻分別為t0+d0,t1+d1,t2+d2,···.接著,根據(jù)零階保持器的性質(zhì),故障檢測濾波器的輸入信號就可以表示為

注3注意到當研究對象在當前時刻沒有顯著變化時,采用時間驅(qū)動的控制策略就會造成很大程度上的資源浪費.基于此本文采用了事件驅(qū)動的觸發(fā)機制,使采樣間隔視系統(tǒng)性能所達需求而定,也就是只有在滿足事件觸發(fā)條件(5)時才傳輸信號,節(jié)約了網(wǎng)絡資源.

注4考慮到式(6)中輸入向量?y(t)的存在給濾波器設計帶來一定困難,基于文獻[23]提出的思想,通過定義狀態(tài)誤差函數(shù)ek(t)和網(wǎng)絡允許的等效時延d(t),其中0 ≤d(t)≤h+事件驅(qū)動條件(5)就可以表示為

為實現(xiàn)對半Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(1)的故障檢測,本文引入具有如下形式的濾波器:

其中:xf(t)∈Rn,∈Rp分別表示濾波器的狀態(tài)向量和輸入向量,rf(t)表示與故障維數(shù)相容的殘差向量,Afp,Bfp,Cfp是待求的濾波器增益矩陣.

同時,為提高故障檢測性能,本文引入一個故障的加權矩陣函數(shù)fw(t),定義為fw(s)W(s)f(s),其中W(s)是給定的加權矩陣,f(s)和fw(s)分別為f(t)和fw(t)的Laplace變換.函數(shù)fw(s)的一個狀態(tài)空間實現(xiàn)可以表示為

其中:xw(t)∈Rp為狀態(tài)向量,Aw,Bw,Cw,Dw為常數(shù)矩陣.

2.2 問題描述

本文的目的在于設計形如式(9)的故障檢測濾波器,使得:

1) 殘差系統(tǒng)(11)在v(t)0情況下全局漸近穩(wěn)定;

2) 在零初始條件下,對于給定的γ >0以及非零v(t),冗余誤差滿足如下的H∞性能:

除此之外,本文將采用以下殘差評估機制檢測故障是否發(fā)生:

其中:

這里,t1為事件觸發(fā)機制下的初始評價時刻,t2為最后一次評價時刻.

下面給出本文推導主要結果時用到的主要引理.

引理1[24]對于在[β,α]→Rn內(nèi)變化的可微函數(shù)?及正定對稱矩陣R,下列不等式成立:

引理2[25]對于正實數(shù)0<α<1,正定對稱矩陣X,Y,以及任意矩陣N,下列不等式成立:

其中:T1X ?NY ?1NT,T2Y ?NTX?1N.

3 故障檢測濾波器設計

本節(jié)將基于L–K泛函方法,研究半Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)(1)的故障檢測問題.為了簡化推導中的表示,首先定義如下向量和符號:

3.1 殘差系統(tǒng)H∞性能分析

本節(jié)將給出殘差系統(tǒng)(11)的H∞性能分析,為后面的故障檢測濾波器設計提供基礎.

定理1對于給定標量如果存在正實數(shù)?,正定對稱矩陣Pp,Zp,Wp,Up,R1,R2,Q1,Q2,Q3,正定對角矩陣Hidiag{?i1,?i2,···,?in},Λi(i1,2),以及任意矩陣Gp,X,Y,使得如下的線性矩陣不等式對于?p ∈M,?u ∈U成立:

那么,殘差系統(tǒng)(11)在v(t)0情況下漸近穩(wěn)定,同時在零初始條件下滿足H∞性能指標γ.

證 構造如下形式的L–K泛函:

定義L為(x(t),rt,t≥0)的弱無窮小算子,沿殘差系統(tǒng)(11)計算LV(t),可得

借助Writinger不等式(引理1)估計式(21)中R1相關的積分項,可得

接著,利用改進逆凸矩陣不等式(引理2)對上式進行進一步估計可得

使用與上述相同方法估計式(21)中R2相關的積分項,可得:

聯(lián)合式(21)–(24),可得

接著,基于激勵函數(shù)假設條件(3),有如下不等式成立:

同時,基于事件通訊機制(7),如下不等式成立:

考慮殘差系統(tǒng)(11)的H∞性能,定義函數(shù)

聯(lián)合式(18)–(29)就有

這里ΥΦ0+Φ1+Φ2+Φ3++考慮到Υ是關于τ(t)和d(t)的線性函數(shù),就有

接著,由Schur補引理可知,如果不等式(13)–(16)成立,就有Υ≤0成立,也就有

在零初始條件下成立. 證畢.

注5本文考慮了一類具有半Markov跳變特性的神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng),其轉(zhuǎn)移概率πpq(?)是時變的,這給定理1的推導帶來了相當大不確定性,導致不能直接推導出可以直接求解的線性矩陣不等式.為解決這一問題,本文使用了一個關于轉(zhuǎn)移概率的自然假設,見注2.

注6定理1基于L–K泛函方法對殘差系統(tǒng)的H∞性能進行了分析.由于使用L–K泛函方法得到的結果都是充分非必要的,因此得到的結果都具有一定程度保守性.為了降低所得結果的保守性同時兼顧結果的計算復雜度,本文在定理1的求解過程中采用了時滯乘積型L–K泛函思想、積分不等式技術以及改進逆凸組合等方法.值得注意的是近年來,學者陸續(xù)提出了各種降低結果保守性的方法,如增廣型L–K泛函思想、輔助函數(shù)積分不等式、自由矩陣積分不等式等,但使用這些方法的同時也增加了所得線性矩陣不等式的維數(shù)或者是所得判據(jù)的決策變量數(shù),這樣就增加了判據(jù)的計算復雜度,從而降低了結果的優(yōu)越性.

3.2 故障檢測濾波器設計

基于上述定理,下面給出故障檢測濾波器增益矩陣求解方法.

定理2對于給定標量如果存在正實數(shù)?,正定對稱矩陣Pp,Pfp,Wp,Up,R1,R2,Q1,Q2,Q3,正定對角矩陣Hidiag{?i1,?i2,···,?in},Λi(i1,2),以及任意矩陣Afp,Bfp,Cfp,X,Y,使得如下的線性矩陣不等式對于?p ∈M,?u ∈U成立:

那么,殘差系統(tǒng)(11)在v(t)0情況下漸近穩(wěn)定,同時在零初始條件下滿足H∞性能指標γ,且故障檢測濾波器增益可由下式求得

證通過運算,定理1中的Υ可以寫為

接著,與定理1的證明相同,基于Schur補引理,不等式(30)–(33)成立就保證Υ≤0成立,也就保證殘差系統(tǒng)(11)在v(t)0情況下漸近穩(wěn)定,且在零初始條件下滿足H∞性能指標γ.證畢.

注7定理2給出了事件驅(qū)動機制下故障檢測濾波器的設計方法,它不僅依賴于時變時滯τ(t),還依賴于網(wǎng)絡誘導時滯d(t),以及事件觸發(fā)參數(shù)?和?.

注8與本文相同,文獻[14,16,19]均基于L–K泛函方法,對連續(xù)時間系統(tǒng)展開了基于濾波器的故障檢測問題研究.不同的是在濾波器的求解過程中,文獻[16]和文獻[19]分別利用了自由權矩陣想和Jensen不等式結合逆凸矩陣不等式的泛函導數(shù)界定方法,這些方法均存在一定的保守性.相比之下,本文所使用的時滯乘積型L–K泛函思想、Writinger不等式結合廣義逆凸矩陣不等式的方法,可以有效降低結果的保守性.

為驗證注8中的結論,通過使用Jensen積分不等式和逆凸矩陣不等式替換定理1推導過程中使用的Writinger積分不等式和廣義逆凸矩陣不等式,基于定理2就可以得到如下推論.

推論1對于給定標量如果存在正實數(shù)?,正定對稱矩陣Pp,Pfp,Wp,Up,R1,R2,Q1,Q2,Q3,正定對角矩陣Hidiag{?i1,?i2,···,?in},Λi(i1,2),以及任意矩陣Afp,Bfp,Cfp,X,Y,使得如下的線性矩陣不等式對于?p ∈M,?u ∈U成立:

4 數(shù)值仿真

考慮具有如下參數(shù)的半Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng):

轉(zhuǎn)移概率滿足π12∈[0.3 0.6],π21∈[0.35 0.55].

通過求解定理2中給出的線性矩陣不等式,可得殘差系統(tǒng)的最優(yōu)H∞性能指標γmin2.接著,選取γ2.2,可得事件驅(qū)動閾值?0.0389,以及故障檢測濾波器(9)增益矩陣

為了驗證上述所得故障檢測濾波器的有效性,假設激勵函數(shù)g1(x(t))0.3 tanhx1(t),g2(x(t))0.8 tanhx2(t),時滯d(t)0.75+0.75 sint,外部擾動輸入ω(t)0.5 sinte?0.1t,故障信號為

圖2給出了半Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)(1)的一種模態(tài)切換策略.在此切換策略下,半Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡如圖3所示.圖4給出了閾值?0.0389時的事件觸發(fā)圖,在評估時間50 s里,采樣次數(shù)為501次,而傳遞到故障檢測濾波器的次數(shù)為227次,傳感器數(shù)據(jù)傳送率為45.3%,這也就說明了事件觸發(fā)機制可以很大程度上減少數(shù)據(jù)發(fā)送量,節(jié)約網(wǎng)絡資源.圖5和圖6分別給出了殘差響應rf(t)和殘差評價函數(shù)J(r)隨時間變化曲線.從圖5和圖6可以看出當故障發(fā)生時,殘差信號和殘差評價函數(shù)均有明顯變化.

圖2 半Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)(1)的模態(tài)切換策略Fig.2 Random jumping mode of S-MNN(1)

圖3 半Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)(1)的狀態(tài)軌跡Fig.3 System response of S-MNN(1)

圖4 事件觸發(fā)時刻與觸發(fā)間隔Fig.4 Event-triggered release instants and intervals

圖5 殘差信號rf(t)Fig.5 Residual response rf(t)

圖6 殘差評價函數(shù)J(r)和閾值JthFig.6 Residual evaluation function J(r)and threshold Jth

根據(jù)殘差評估機制(12),通過計算可得故障檢測機制的閾值Jth1.6208×e?6,殘差評價函數(shù)

也就是說本文設計的故障檢測濾波器可以在故障發(fā)生后的0.5 s時檢測出故障,由此可以看出本文設計的故障檢測濾波器可以在故障發(fā)生后及時檢測出來,驗證了本文所提方法的有效性.

除此之外,為了驗證文本提出方法的優(yōu)越性,使用推論1重新對半Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)(1)在上述情況下進行了故障檢測.通過求解推論1,可得故障檢測濾波器(9)增益矩陣為

閾值Jth6.7736×e?7,殘差評價函數(shù)

表明推論1得到故障檢測器的故障檢測時間為0.9 s,晚于定理2得到故障檢測器的故障檢測時間,這也就驗證了定理2的優(yōu)越性.由于推論1采用了文獻[19]中故障檢測濾波器的設計方法,同時,文獻[19]與本文所使用的故障檢測機制相同,這也就驗證了本文所提故障檢測方法的有效性.

5 結論

本文針對一類具有半Markov跳變特性的時滯經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng),提出了基于濾波器的故障檢測方法.首先,文章通過引入了一種事件驅(qū)動觸發(fā)機制和一個加權故障模型,并設計一個濾波器并利用增廣技術,將故障檢測問題轉(zhuǎn)化成了H∞濾波問題,利用H∞性能指標來分析故障對殘差的影響.接著,通過使用L–K泛函方法和線性矩陣不等式技術,得到了故障檢測濾波器增益矩陣的求解方法.最后,數(shù)值仿真結果表明本文所設計故障檢測濾波器可以及時檢測出故障發(fā)生,與現(xiàn)有文獻比較顯示本文可以更快地檢測出故障發(fā)生,從而驗證所設計故障檢測濾波器的有效性與優(yōu)越性.