橢圓余弦波作用下海床響應(yīng)特征的有限體積法數(shù)值分析*

劉小麗，劉洪睿

(1.山東省海洋環(huán)境地質(zhì)工程重點實驗室，山東 青島 266100;2.中國海洋大學(xué)環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266100)

在近岸淺水海域，波浪是誘發(fā)海床液化的主要原因之一，研究波浪作用下海床響應(yīng)及其液化特征，對海底管線和防波堤等構(gòu)筑物的安全設(shè)計具有重要意義。

對于近岸淺水區(qū)，當(dāng)水深與波長之比小于0.125時，波浪特征已不再適合用斯托克斯波浪理論進(jìn)行描述，此時宜利用淺水非線性波理論進(jìn)行分析，而橢圓余弦波理論是最主要的淺水非線性波理論之一[1]。

Hsu等[2]對橢圓余弦波作用下海床瞬態(tài)響應(yīng)特征進(jìn)行了分析，結(jié)果表明，與線性波浪作用相比，橢圓余弦波作用下海床瞬態(tài)液化區(qū)的深度相對較淺，但寬度較大，這與橢圓余弦波在海床面上的波壓力分布特征有關(guān)。對橢圓余弦波和線性波作用下海床瞬態(tài)響應(yīng)的一系列對比研究表明，橢圓余弦波作用下海床中孔隙水壓力幅值增大顯著[3-6]。此外，徐云峰等[7]對橢圓余弦波作用下海床瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了參數(shù)分析，結(jié)果表明，海床的滲透性、剪切模量以及孔隙水的壓縮性對孔壓有明顯的影響，而海床的滲透各向異性對孔壓的影響較小。

上述研究都是針對橢圓余弦波作用下海床的瞬態(tài)響應(yīng)特征，目前仍缺乏對橢圓余弦波作用下海床累積響應(yīng)和漸進(jìn)液化特征的分析。為此，基于開源流體力學(xué)計算平臺OpenFOAM，根據(jù)有限體積法原理，利用C++語言開發(fā)了波浪作用下海床響應(yīng)數(shù)值計算求解器(SeabedFoam)，并結(jié)合OpenFOAM中波浪數(shù)值模擬求解器IHFOAM[8]，對橢圓余弦波作用下海床的瞬態(tài)響應(yīng)、累積響應(yīng)及漸進(jìn)液化特征進(jìn)行分析，并通過與線性波作用下海床響應(yīng)的對比，分析近岸淺水區(qū)波浪非線性的影響。

1 數(shù)值計算模型

1.1 波浪水動力模型

波浪水動力的模擬采用Higuera等[8]開發(fā)的波浪求解器IHFOAM進(jìn)行計算，該求解器基于OpenFOAM平臺，利用有限體積法求解。有限體積法的控制積分方程表征了求解變量在控制容積內(nèi)的通量守恒，離散后方程中的每一項都有明確的物理意義，這一點對于流動和傳熱問題而言，是有限元等其他數(shù)值方法所不具備的，因而有限體積法是目前求解流體流動和傳熱問題最有效的數(shù)值計算方法，得到了廣泛的應(yīng)用[9]。

波浪水動力控制方程為雷諾時均N-S方程(RANS方程)：

▽·U=0。

(1)

(2)

關(guān)于波浪水動力模型的詳細(xì)介紹可參見Higuera等[8]的文章，此處不再贅述。利用IHFOAM模擬近岸淺水區(qū)橢圓余弦波的傳播過程，可得到海床面上的波壓力分布。

1.2 波致海床響應(yīng)模型

圖1為橢圓余弦波作用下海床響應(yīng)計算模型示意圖。橢圓余弦波沿x軸的正向傳播，海床厚度為h，取一個波長L為水平方向計算域；水深為d，波高為H；海床底部為不透水基巖。本文重點對橢圓余弦波作用下海床的累積孔隙水壓力及漸進(jìn)液化特征進(jìn)行分析，海床響應(yīng)計算模型適用于砂土和粉土等無粘性土海床。

圖1 橢圓余弦波作用下海床響應(yīng)計算模型示意圖Fig.1 Sketch of the computational model for seabed response under cnoidal wave

1.2.1 控制方程及有限體積法求解 波浪作用下海床響應(yīng)主要體現(xiàn)在波壓力引起的土骨架應(yīng)力變形和孔隙水壓力的變化。Liu等[10]提出了一種考慮波致海床累積孔隙水壓力與應(yīng)力耦合的簡便計算方法，能較好的計算波浪作用下海床瞬態(tài)和累積響應(yīng)過程?；谠撃Ｐ停瑢４岔憫?yīng)控制方程進(jìn)行有限體積法求解。

根據(jù)Biot彈性多孔介質(zhì)理論，土體應(yīng)力平衡方程為：

(3)

式中：G為剪切模量；λ是拉梅系數(shù)；D是位移矢量；I為單位矩陣；tr表示矩陣的跡；ps為孔隙水壓力。

將方程(3)顯性項和隱性項分離，這種方法可以提高收斂性并減少計算時間，即：

▽·[(2G+λ)▽D]=▽ps-▽·[G(▽D)T+λItr(▽D)-(G+λ)▽D]。

(4)

方程(4)的左手項為：

(5)

式中的梯度項采用隱式離散方法，利用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格：

(6)

式中下標(biāo)f、N、P分別代表面心以及面兩側(cè)單元體中心，為兩個單元體中心的距離，s為面向量。

根據(jù)Liu等[10]，土體滲流連續(xù)控制方程為：

(7)

方程(7)的右手項為土骨架體積應(yīng)變率；ks為滲透系數(shù)；γw為水體重度；n為孔隙率；mv=(1-2μ)/G，為土骨架體積壓縮系數(shù)；ψ為波致循環(huán)剪切應(yīng)力引起的孔隙水壓力增長速率：

(8)

α=0.34Dr+0.084;β=0.37Dr-0.46。

(9)

βs是孔隙流體壓縮系數(shù)，表達(dá)式為：

(10)

式中：Kf為水的體積壓縮模量；Sr為飽和度；pow為絕對靜水壓。

方程(7)左手項隱式離散，右手項顯式離散，位移矢量D為前一步計算所得位移值，第一個時間步位移D為零。

在有限體積法框架下，采用應(yīng)力平衡方程和滲流連續(xù)方程分離求解的策略，具體可參見文獻(xiàn)[11-12]。

1.2.2 模型邊界條件 海床上表面豎向有效正應(yīng)力和剪應(yīng)力為0，在OpenFOAM中通過施加Neumann邊界實現(xiàn)這一條件：

(11)

式中：t為海床表面作用力，此處為0。此外，海床上表面的孔隙水壓力為波浪在海床面上的波壓力。對于橢圓余弦波，其波壓力通過水動力模型進(jìn)行數(shù)值計算得出；而對于線性波浪，則直接利用海床表面線性波壓力的解析解計算，具體為：

pb=p0cos(kx-ωt)。

(12)

式中：pb為海床表面波壓力;p0=(γwH)/[2cosh(kd)]為海床表面波壓力幅值；ω=2π/T為波浪圓頻率；k=2π/L為波數(shù)。

兩側(cè)采用周期性邊界條件。底部為不透水邊界，孔壓梯度和位移為零：?ps/?z=0,u=w=0。

2 數(shù)值計算模型的驗證

2.1 水動力模型驗證

波浪水動力模型(IHFOAM)模擬結(jié)果的可靠性已經(jīng)過大量實驗數(shù)據(jù)和解析結(jié)果的驗證[13-14]。此處對數(shù)值模擬橢圓余弦波傳播過程的適用性進(jìn)行驗證，將數(shù)值模擬結(jié)果與Chang等[15]波浪水槽試驗結(jié)果進(jìn)行對比。波浪水槽試驗中分別測量了距離造波板4.8和13.2 m處橢圓余弦波的波面高度，波浪參數(shù)為：波高3.6 cm，水深24 cm，周期2 s。

橢圓余弦波的波面計算值與試驗值對比結(jié)果如圖2中所示。從中可以看出，水動力模型的計算結(jié)果與試驗結(jié)果較為一致，可用IHFOAM對橢圓余弦波傳播過程進(jìn)行模擬計算。

圖2 橢圓余弦波數(shù)值結(jié)果與試驗結(jié)果[15]對比Fig.2 Comparison of numerical and experimental results[15] for cnoidal wave propagation

2.2 海床響應(yīng)模型驗證

通過與Sumer等[16]進(jìn)行的波浪水槽試驗結(jié)果對比，驗證數(shù)值模型計算結(jié)果的正確性。采用與試驗中相同的波浪海床計算參數(shù)，其中波浪參數(shù)為：水深0.55 m，波高0.18 m，波浪周期1.6 s，波長3.18 m；海床參數(shù)見表1。

表1 水槽試驗中海床參數(shù)Table 1 Seabed parameters in flume experiment

圖3為數(shù)值模型計算結(jié)果與試驗結(jié)果的對比，從中可以看出波浪作用下數(shù)值模型計算得到的孔隙水壓力隨時間變化趨勢與試驗結(jié)果較一致，表明了基于有限體積法計算海床響應(yīng)的數(shù)值計算程序的可靠性。

圖3 海床孔壓數(shù)值結(jié)果與水槽試驗結(jié)果[16]對比Fig.3 Comparison of numerical and experimental results[16] for seabed pore water pressure

3 結(jié)果與討論

對橢圓余弦波作用下海床瞬態(tài)響應(yīng)、累積響應(yīng)和液化特征進(jìn)行分析，并與線性波結(jié)果進(jìn)行對比，分析近岸淺水區(qū)波浪非線性的影響。具體計算參數(shù)如表2中所示。

表2 波浪和土體參數(shù)Table 2 Parameters of wave and seabed

3.1 海床瞬態(tài)響應(yīng)

如圖4所示，為海床表面橢圓余弦波的波壓力與線性波的波壓力對比圖。從圖中可以看出，一個周期內(nèi)，相對于線性波浪，橢圓余弦波的波壓力分布表現(xiàn)為波峰更為尖銳，波谷則相對平坦，其波壓力幅值較線性波壓力的幅值高出約40%，波壓力最大值和最小值的絕對值相差較大，表面波壓力為正值的持續(xù)時間小于波壓力為負(fù)值的持續(xù)時間，這種時空非對稱性會直接影響海床孔壓響應(yīng)特征。

圖4 橢圓余弦波波壓力與線性波波壓力對比圖Fig.4 Comparison of cnoidal wave pressure and linear wave pressure

圖5 海床瞬態(tài)響應(yīng)變量沿深度分布圖Fig.5 Distribution of transient seabed variables along depth

通過表面波壓力的時空分布可以發(fā)現(xiàn)，橢圓余弦波的波峰作用時間相對于線性波較短，而波峰對應(yīng)的最大波壓力卻遠(yuǎn)大于線性波，這導(dǎo)致在橢圓余弦波向岸傳播過程中，特別是波谷向波峰變化的時間段內(nèi)，海床表面對應(yīng)的瞬時壓力梯度增大，這些都是導(dǎo)致橢圓余弦波非線性效應(yīng)顯著的重要因素。

3.2 海床累積響應(yīng)與漸進(jìn)液化

試驗研究表明，對于松砂或中等密實度的砂質(zhì)或粉質(zhì)土海床，當(dāng)其滲透系數(shù)較小時，在波浪循環(huán)荷載作用下海床內(nèi)的超靜孔隙水壓力會不斷累積，當(dāng)某點的超靜孔隙水壓力達(dá)到其上覆有效應(yīng)力時，即會引起該深度海床的液化[15-16]。對橢圓余弦波作用下海床孔壓累積和液化特征進(jìn)行分析，液化判別準(zhǔn)則為[17]：

ps-(γ′z+pb)>0。

(12)

圖6分別為距海床面1、4和8 m深度處海床中孔壓隨時間變化曲線，從圖中可以看出，橢圓余弦波作用下孔壓累積速度明顯快于線性波。1 m深度處，1 000 s時累積孔壓相較于初始時刻增長了50%，其中0～200 s 增長速度最快，孔壓增長了35%，900 s以后孔壓不再增長；而線性波作用下孔壓累積緩慢，1 000 s時孔壓增幅不到10%。波浪作用100個周期時，橢圓余弦波作用下海床的累積孔壓約是線性波作用下的3倍。

從圖6中可以看出，橢圓余弦波作用下海床孔壓累積速率明顯快于線性波作用下海床孔壓的累積速率，這進(jìn)一步導(dǎo)致了橢圓余弦波和線性波作用下海床液化區(qū)發(fā)展的差異。

圖6 孔壓隨時間發(fā)展變化圖Fig.6 Development of pore water pressure over times

如圖7所示，為橢圓余弦波作用下海床液化區(qū)在不同波浪作用時間的分布圖。從橢圓余弦波導(dǎo)致的液化發(fā)展圖中可以看出，液化首先發(fā)生在波谷區(qū)，25個波浪作用周期時的海床最大液化深度為1.05 m。隨著時間的推進(jìn)，液化區(qū)逐漸向水平和深度方向發(fā)展，50、100和200 T時對應(yīng)的最大液化深度分別為2.38、3.64和4.98 m，最大液化深度發(fā)展速率呈逐漸減緩的趨勢。當(dāng)前算例中，線性行進(jìn)波作用下孔壓增長緩慢，波浪作用200個周期時海床仍未發(fā)生液化。

圖7 橢圓余弦波作用下海床液化區(qū)分布圖Fig.7 Cnodial wave-induced seabed liquefied zone

線性波浪荷載引起的海床剪應(yīng)力相對較小，而橢圓余弦波具有較強的非線性，其波致海床循環(huán)剪應(yīng)力幅值相對較大，能夠顯著促進(jìn)海床中累積超靜孔隙水壓力的發(fā)展。橢圓余弦波的波峰尖銳對應(yīng)的海床表面波壓力幅值較大，引起向下的滲流，導(dǎo)致波峰作用處海床相對較難液化，而波谷處波壓力引起向上的滲流，隨著累積孔隙水壓力的不斷發(fā)展，其液化深度發(fā)展較為顯著。

從孔壓累積發(fā)展過程和液化區(qū)分布特征可以看出，淺水區(qū)波浪的非線性效應(yīng)對于海床累積響應(yīng)表現(xiàn)得更為顯著。

4 結(jié)語

基于OpenFOAM開源流體力學(xué)計算平臺，利用C++語言開發(fā)了波致海床響應(yīng)的有限體積法數(shù)值計算程序，通過與試驗結(jié)果的對比，驗證了數(shù)值計算程序的可靠性。

對橢圓余弦波和線性波作用下海床響應(yīng)和液化特征的計算分析表明，橢圓余弦波作用下海床瞬態(tài)孔壓和應(yīng)力幅值明顯偏大，瞬態(tài)孔壓差異可達(dá)30%，剪應(yīng)力差異可達(dá)40%。剪應(yīng)力的差異進(jìn)一步導(dǎo)致海床累積孔壓和液化區(qū)的顯著差異，波浪作用100個周期時，橢圓余弦波作用下海床累積孔壓約為線性波作用下累積孔壓的3倍。

近岸淺水區(qū)波浪的非線性效應(yīng)明顯，特別是對細(xì)砂或粉質(zhì)土海床累積孔隙水壓力和液化區(qū)的發(fā)展，其影響尤為顯著，不容忽視。