面積大小究竟是怎樣描述的？

陽(yáng)海林 章勤瓊 王圣昌

【摘 ? 要】小學(xué)階段面積概念的學(xué)習(xí)，需要從度量的角度厘清面積概念的內(nèi)涵，從明確面的屬性、比較面的大小、描述面的大小三個(gè)層面進(jìn)行。在教學(xué)中可以從以下兩個(gè)方面入手：第一，關(guān)注如何描述面的大小，讓學(xué)生對(duì)面積的理解走向深刻;第二，加強(qiáng)操作經(jīng)驗(yàn)的積累，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)度量本質(zhì)的感悟。

【關(guān)鍵詞】度量;面積教學(xué);大小描述

面積是幾何學(xué)基本度量之一。對(duì)于面積的學(xué)習(xí)，是學(xué)生空間形式認(rèn)識(shí)發(fā)展上的一次飛躍。[1]面積概念的理解一直是教學(xué)中的難點(diǎn)。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生更關(guān)注“面”在哪里，而忽略對(duì)“面”的大小的描述;容易受經(jīng)驗(yàn)的影響，一看到求面積，首先想到的是用尺子去度量長(zhǎng)度，而不是找一個(gè)單位面去覆蓋它。這主要是因?yàn)閷W(xué)生缺乏對(duì)面積度量、面積概念的深刻理解。

一、面積的定義和大小描述

面積是幾何學(xué)基本度量（測(cè)量或計(jì)量）之一，厘清度量的內(nèi)涵，對(duì)于面積的教學(xué)有重要啟示。

（一）度量的含義

關(guān)于度量，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此都有研究。史寧中認(rèn)為，度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來(lái)的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)進(jìn)而認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的工具。度量的本質(zhì)在于表現(xiàn)事物某些指標(biāo)的順序。所有度量中的量，最后一定要通過(guò)數(shù)進(jìn)行表達(dá)，而且都是在1度量單位的基礎(chǔ)上進(jìn)行描述。度量單位的形成大致可以分為以下兩類：一類是通過(guò)抽象得到的，是人思維的結(jié)果;另一類是借助工具得到的，是人實(shí)踐的結(jié)果[2]。

西方學(xué)者指出，從技術(shù)上來(lái)說(shuō)，測(cè)量（measurement）是一個(gè)數(shù)，用以表明測(cè)量物體的屬性，以及測(cè)量給定單位的相同屬性之間的比較。我們一般用小單位進(jìn)行實(shí)測(cè)，決定被測(cè)量物體和測(cè)量單位之間的數(shù)字關(guān)系。對(duì)學(xué)校課程中測(cè)量的屬性而言，我們可以說(shuō)測(cè)量的意思是屬性被相同屬性的測(cè)量單位“填滿”。為了測(cè)量某物體，必須完成三個(gè)步驟：（1）決定測(cè)量的屬性;（2）選擇該屬性的單位;（3）比較這些單位，通過(guò)填滿、覆蓋、相匹配或者其他方法，測(cè)量物體的屬性。

可見(jiàn)，國(guó)內(nèi)外關(guān)于度量的研究都認(rèn)為，度量在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用中有重要的意義和價(jià)值，且特別關(guān)注借助度量工具度量物體的屬性，并用一個(gè)數(shù)去描述度量對(duì)象的大小。與國(guó)內(nèi)研究不同的是，國(guó)外更加關(guān)注借助工具得到的度量，本文也是談?wù)勍ㄟ^(guò)工具得到的度量。

（二）面積的含義

面積（area）是計(jì)量中的基本概念之一，空間在兩個(gè)不同方向上同時(shí)延展的可能性及程度在人腦中的反映，形成了面積的概念。平面圖形的大小，是從這個(gè)平面圖形占有空間的范圍大小的比較中產(chǎn)生的，因此表示平面圖形大小的數(shù)量也是在比較中產(chǎn)生的。[3]張奠宙認(rèn)為，面積是幾何度量領(lǐng)域的概念，其具有“數(shù)”的基本屬性，即找到一個(gè)合適的數(shù)對(duì)其數(shù)學(xué)屬性進(jìn)行描述。[4]244

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及的線、面、體，它們都是平直的，這些概念的特點(diǎn)是看得見(jiàn)、說(shuō)不清的。這是因?yàn)樵诿枋龅倪^(guò)程中無(wú)法借用其他相關(guān)概念，而小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及的概念基本都是這樣的，這就為小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)了難度。為了使這部分的教學(xué)更加生動(dòng)，可以把幾何概念的理解與計(jì)數(shù)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。[5]

北師大版教材三年級(jí)下冊(cè)用描述性的語(yǔ)言直接告知學(xué)生“物體的表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”。可見(jiàn)，教師在引導(dǎo)學(xué)生理解面積含義時(shí)，舉例說(shuō)明物體的表面是什么、封閉圖形是什么，并不能使學(xué)生真正理解面積的含義。

因此，在小學(xué)階段引導(dǎo)學(xué)生理解面積的含義，需要從度量的本質(zhì)出發(fā)，設(shè)計(jì)圖形面比較的活動(dòng)，并在比較的活動(dòng)中產(chǎn)生用“數(shù)”表述的需要，找到一個(gè)合適的數(shù)去描述面的大小。

（三）如何描述面的大小

學(xué)生對(duì)面積大小的理解，需要從定性認(rèn)識(shí)上升到定量認(rèn)識(shí)，即能用數(shù)描述面積的大小。度量一個(gè)圖形或物體表面的面積，通常使用一個(gè)邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)的正方形作為面積單位，以面積單位去度量，所得的量數(shù)，就是該圖形或物體表面的面積。一旦面積單位選定之后，表示一個(gè)圖形或物體表面的面積數(shù)就完全確定了。開(kāi)展比較活動(dòng)是描述面大小的基礎(chǔ)，在比較面大小任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生無(wú)法直接比較面大小，于是就自發(fā)地想到用小正方形作為標(biāo)準(zhǔn)單位去度量，從而得到面的大小。

因此，描述面的大小分為不同的層次：第一，首先需要引導(dǎo)學(xué)生理解面的屬性，即知道面在哪里，感知面是有大小的;第二，能夠選擇不同的方法比較面的大小，比如重疊比較，這些都屬于直接比較;第三，在不能直接比較的情形下，就需要運(yùn)用間接比較，即選擇一個(gè)合適的工具來(lái)度量，將待測(cè)面跟標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較，看包含了多少個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量，通過(guò)數(shù)來(lái)表述面的大小。

二、理解面積概念的教學(xué)

“面積的認(rèn)識(shí)”是人教版三年級(jí)下冊(cè)第五單元的內(nèi)容，面積概念是貫穿整個(gè)單元的核心內(nèi)容。劉加霞指出，生活中有6種常用的感官量：長(zhǎng)度、質(zhì)量、容積、角度、面積、體積，學(xué)生對(duì)于它們的學(xué)習(xí)以及理解，通常會(huì)經(jīng)歷下以下5個(gè)階段。階段1：量的初步認(rèn)識(shí);階段2：量的間接比較;階段3：認(rèn)識(shí)國(guó)際通用單位并能夠用其描述大小;階段4：國(guó)際通用單位體系的認(rèn)識(shí)與換算;階段5：利用公式求量的大小。[6]

在人教版教材中，對(duì)面積認(rèn)識(shí)的直觀感知涉及兩步：首先是認(rèn)識(shí)“面”，然后是比較“面”的大小。面積大小的比較，教材編排了比較兩個(gè)長(zhǎng)方形面積大小的活動(dòng)，學(xué)生在通過(guò)重疊不能比較出大小時(shí)，試圖尋找新的工具進(jìn)行比較。分析教材編排意圖，可以發(fā)現(xiàn)，其注重學(xué)生對(duì)面積概念的真正理解，以及引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)度量的意義。

然而，考慮到學(xué)生用面積單位進(jìn)行測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)比較少，教材使用直接提示，即“可以選用一種圖形作單位來(lái)進(jìn)行測(cè)量”來(lái)替代學(xué)生思考，讓學(xué)生錯(cuò)失了一次自主選擇測(cè)量工具對(duì)二維事物進(jìn)行度量的契機(jī)，從而使得學(xué)生難以真正體會(huì)到面積度量的意義。學(xué)生雖然有用尺子度量長(zhǎng)度的經(jīng)驗(yàn)，但是面對(duì)二維的面，他們很難把這種經(jīng)驗(yàn)遷移運(yùn)用。而且，學(xué)生已經(jīng)學(xué)了周長(zhǎng)，片面地認(rèn)為“周長(zhǎng)長(zhǎng)的圖形，面積也大”，導(dǎo)致學(xué)生始終認(rèn)為可以用尺子去測(cè)量面積的大小。顯然，這樣的經(jīng)驗(yàn)，是不利于學(xué)生進(jìn)行面積的度量的。

因此，對(duì)于理解面積含義的教學(xué)，需要從以下幾個(gè)層面進(jìn)行：第一，初步認(rèn)識(shí)面積的屬性，包括知道面在哪里;第二，會(huì)用觀察、重疊、剪拼等直接比較的方法來(lái)比較兩個(gè)圖形的大小，感受比較面的大小需要同時(shí)從“長(zhǎng)”與“寬”兩個(gè)維度進(jìn)行考慮;第三，在直接比較下無(wú)法確定兩個(gè)圖形的大小時(shí)，產(chǎn)生描述圖形大小的需求，并能想到用一種新的工具來(lái)度量圖形的大小，即用小正方形作為度量單位來(lái)度量。學(xué)生只有完整經(jīng)歷度量面積的過(guò)程，想辦法去度量面積，自主選擇工具去度量，對(duì)于他們理解面積的含義、滲透度量的意識(shí)才是有效的。

三、兩點(diǎn)教學(xué)建議

（一）關(guān)注如何描述大小，對(duì)面積的理解走向深入

為了更好地滲透度量的意識(shí)，幫助學(xué)生深刻理解面積的含義，面積的教學(xué)可以從以下3個(gè)層面展開(kāi)。

1.感知“面”在哪里

為了幫助學(xué)生感知“面”在哪里，教師需注意以下兩點(diǎn)：一是結(jié)合學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn);二是設(shè)計(jì)多種感官活動(dòng)，幫助學(xué)生積累感性經(jīng)驗(yàn)。比如引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“看一看、說(shuō)一說(shuō)、指一指”等活動(dòng)準(zhǔn)確指出“面”所在的區(qū)域;在“涂一涂”“說(shuō)一說(shuō)”的活動(dòng)中，可以讓學(xué)生找出哪些圖形是有面或有面積的，對(duì)“面”有全面的認(rèn)識(shí);還可以通過(guò)交流活動(dòng)讓學(xué)生明確只要是封閉圖形（包括規(guī)則、不規(guī)則的），且面的大小是確定的，都是有面積的。

2.比較面的大小

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要有問(wèn)題和任務(wù)驅(qū)動(dòng)。學(xué)習(xí)測(cè)量，首先要解決“為什么測(cè)量”這一問(wèn)題。[4]257面積教學(xué)，需要注重設(shè)計(jì)有層次的比較圖形大小的活動(dòng)，讓學(xué)生掌握直接比較面的大小的方法。在面積的教學(xué)中，教師可設(shè)計(jì)給圖形大小排序的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體的情境，靈活選擇合適的方法進(jìn)行比較，體現(xiàn)比較的層次。比如有些圖形是能通過(guò)直接觀察比較的，有些圖形是需要通過(guò)重疊的方法比較的，還有些圖形是需要通過(guò)重疊一次后把多余部分剪下來(lái)再次重疊比較的。

3.描述面的大小

為了讓學(xué)生在比較活動(dòng)中感悟“面積”的本質(zhì)含義，還需要設(shè)計(jì)通過(guò)“直接比較”難以獲得比較結(jié)果的圖形，借助非標(biāo)準(zhǔn)單位（中間量）進(jìn)行比較，即在比較a、b的大小時(shí)，借助任意的一個(gè)c作為中間量進(jìn)行比較。比如教師在教學(xué)中設(shè)計(jì)了比較兩個(gè)“L”形圖形的大小，學(xué)生發(fā)現(xiàn)無(wú)法直接進(jìn)行比較時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換比較的策略“想辦法描述面的大小”，學(xué)生很自然地想到鋪的方式，用小正方形把這兩個(gè)圖形鋪滿，數(shù)出小正方形的數(shù)量，就可以知道這兩個(gè)圖形究竟有多大。

基于以上三個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)，設(shè)計(jì)豐富的、有層次的操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生深入感知面在哪里;學(xué)會(huì)直觀地比較面的大小;逐步過(guò)渡到用非標(biāo)準(zhǔn)單位度量，間接描述面的大小。

（二）加強(qiáng)操作經(jīng)驗(yàn)積累，感悟度量的本質(zhì)

關(guān)于度量的教學(xué)，包含了三個(gè)方面的內(nèi)容：認(rèn)識(shí)、描述、用公式計(jì)算?？梢詮娜齻€(gè)角度來(lái)考慮：第一，認(rèn)識(shí)它、知道它在哪里;第二，正確描述它的大小，即用非標(biāo)準(zhǔn)單位和標(biāo)準(zhǔn)單位來(lái)表達(dá)它;第三，在計(jì)算的時(shí)候，能夠理解為什么這樣計(jì)算。在教學(xué)中需要突出以下兩點(diǎn)：一是要加強(qiáng)學(xué)生自主操作、探索的機(jī)會(huì);二是理解度量的本質(zhì)。

1.積累操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

對(duì)于度量教學(xué)三個(gè)方面的內(nèi)容，需要學(xué)生在具體的操作過(guò)程中去感悟、探索和優(yōu)化。明確量的屬性，學(xué)生需要通過(guò)觀察、操作、表達(dá)等活動(dòng)去感受;描述量的大小，學(xué)生需要在比較量的操作活動(dòng)中由“直接比較”過(guò)渡到“間接比較”，進(jìn)而“生發(fā)”出描述量大小;用公式計(jì)算時(shí)，同樣要經(jīng)歷不斷操作和優(yōu)化的過(guò)程。比如面積的計(jì)算，首先是全鋪，然后只鋪一邊，再到測(cè)量長(zhǎng)度，最后幫助學(xué)生從格子的數(shù)量過(guò)渡到“線段長(zhǎng)度的乘積”。

2.理解度量的本質(zhì)

數(shù)本質(zhì)上是一種度量，數(shù)的本質(zhì)是大小關(guān)系，需要在比較的活動(dòng)中去感悟度量對(duì)象的大小關(guān)系，進(jìn)而選擇度量單位去準(zhǔn)確描述量的大小。在教學(xué)中，首先，要明確度量的屬性是什么。例如，面積度量的屬性是指面的大小，而表示平面圖形大小的數(shù)量也是在比較中產(chǎn)生的。其次，在比較大小任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下，實(shí)現(xiàn)比較方法的優(yōu)化，由“直接比較”過(guò)渡到“間接比較”，即選擇合適的非標(biāo)準(zhǔn)單位去比較，進(jìn)而掌握用標(biāo)準(zhǔn)單位度量的方法。最后，讓學(xué)生感受到，在度量單位確定后，依據(jù)度量的方法就可以度量大小，用數(shù)來(lái)描述大小。

參考文獻(xiàn)：

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（1.廣東省東莞市松山湖第一小學(xué) ? 523808 2.溫州大學(xué)教育學(xué)院 ? 325035 3.清華大學(xué)附屬中學(xué)朝陽(yáng)學(xué)校 ? 100027）