基于函數(shù)極值的多極化MIMO系統(tǒng)性能研究

蔣躍宇 承昊新 錢瑛 王春潔 海凜

【摘要】? ? 基于信道模型提取出多極化MIMO系統(tǒng)所有相關(guān)系數(shù)的表達(dá)式，將其與相關(guān)系數(shù)和容量因子的關(guān)系式結(jié)合起來(lái)，獲得描述多極化MIMO系統(tǒng)性能的確切表達(dá)式。該式作為散射體擴(kuò)展方位角和俯仰角的多元函數(shù)，可以通過(guò)求函數(shù)極值以得到在何種散射環(huán)境下能夠獲取最佳的系統(tǒng)性能。

【關(guān)鍵詞】? ? MIMO? ? 多極化? ? 相關(guān)系數(shù)? ? 信道容量? ? 角度擴(kuò)展

引言：

關(guān)于MIMO系統(tǒng)的研究由來(lái)已久，但通常采用的一些對(duì)系統(tǒng)性能衡量的標(biāo)準(zhǔn)比如EDOF[1]、相關(guān)矩陣秩[2]、信道矩陣乘以其共軛轉(zhuǎn)置的特征值[3] 等等。但這些標(biāo)準(zhǔn)均不夠直觀或?qū)ο到y(tǒng)性能的表征不足，例如EDOF和特征值都是一系列隨機(jī)數(shù)值，矩陣秩僅僅適用于判斷收發(fā)端的相關(guān)矩陣。

在過(guò)去的研究中，Oestges等人提出了容量影響因子[4-5]，并指出相關(guān)系數(shù)實(shí)際上可以分成交叉相關(guān)系數(shù)和收發(fā)相關(guān)系數(shù)兩類[6-7]，其數(shù)值的降低對(duì)系統(tǒng)容量分別起到增加和降低的作用。容量影響因子直接表征了MIMO系統(tǒng)的容量大小，其表達(dá)式也直觀地體現(xiàn)了各相關(guān)系數(shù)對(duì)容量的影響，因此，只需要獲取相關(guān)系數(shù)關(guān)于散射體分布參數(shù)的確切表達(dá)式，將其代入容量因子與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系式，就可以得到容量和傳播環(huán)境的直接關(guān)系。

一、相關(guān)系數(shù)表達(dá)式的獲取

1.1 MIMO系統(tǒng)的物理模型

對(duì)MIMO系統(tǒng)相關(guān)性的計(jì)算，一般通過(guò)對(duì)接收信號(hào)在散射體擴(kuò)展角度范圍內(nèi)進(jìn)行積分獲取。然而[8-9]等采用的模型僅能描述發(fā)射天線之間的相關(guān)性或接收天線之間的相關(guān)性，所以必須采用Kronecker積方法對(duì)交叉相關(guān)系數(shù)進(jìn)行估算。為避免這種情況，我們選擇了一種描述信號(hào)整個(gè)傳播過(guò)程的信道模型[10]。在前期的工作中，我們同樣應(yīng)用了該模型，且本文的模型設(shè)置都和前期工作[11]所采用的設(shè)置完全一致：

令和為方位面內(nèi)的散射體平均入射角和入射角度擴(kuò)展范圍，θ0和Δθ分別為俯仰面內(nèi)的散射體平均入射角和入射角度擴(kuò)展范圍，Ω為當(dāng)前入射信號(hào)所在方向的立體角。接收信號(hào)來(lái)自于方位面和俯仰面，如圖1所示，令散射體相對(duì)收發(fā)端的立體角一一對(duì)應(yīng)。

令散射矩陣S（Ω）描述發(fā)射信號(hào)的電場(chǎng)經(jīng)由Ω方向的散射體發(fā)生的變化，即

（1）

令第k個(gè)天線元的方向圖函數(shù)為，在θ和方向上的分量分別是和。則信號(hào)從第m號(hào)發(fā)射天線發(fā)出再由第n號(hào)接收天線接收，其信道響應(yīng)為

（2）

而子信道之間的相關(guān)性系數(shù)可以寫成

（3）

其中

（4）

通過(guò)式（2）～式（4），我們就能夠計(jì)算出任意入射角譜擴(kuò)展下各子信道之間的相關(guān)系數(shù)。

1.2相關(guān)系數(shù)的計(jì)算

給定入射角分布，即和、θ0和Δθ，則各子信道之間的相關(guān)系數(shù)計(jì)算舉例如下：

（5）

通過(guò)類似式（5）的進(jìn)一步計(jì)算，可以分別求出式（3）的分子和分母各項(xiàng)，即可得到子信道之間的相關(guān)性系數(shù)。而完整的相關(guān)矩陣可以由計(jì)算完成的相關(guān)系數(shù)組合而成，以2×2 MIMO系統(tǒng)為例，相關(guān)矩陣可以寫成：

（6）

式（1～4）所描述的信道模型僅僅是一種比較方便獲得相關(guān)系數(shù)與散射體分布之間聯(lián)系的模型。如果采用其它模型，可能得到不同的表達(dá)式，但同樣可以進(jìn)行下一步的代入過(guò)程。

二、求函數(shù)極值獲取最佳容量

2.1容量因子表達(dá)式的獲取

雖然本研究可以擴(kuò)展到正交三極化天線，但由于算式過(guò)于復(fù)雜，本文僅以2×2天線為例進(jìn)行說(shuō)明。根據(jù)文獻(xiàn)[4-5]，MIMO信道容量的上界與各種相關(guān)系數(shù)有著直接的關(guān)系，可以由下式描述2×2 MIMO系統(tǒng)的性能：

（7）

式中為容量影響因子，m為發(fā)射天線數(shù)量，ES/N0為信噪比，si為交叉相關(guān)系數(shù)，r和t為傳統(tǒng)收發(fā)相關(guān)系數(shù)。這個(gè)式子非常直觀地描述了不同相關(guān)系數(shù)對(duì)信道容量的影響。

如果已經(jīng)獲得式（6）中相關(guān)矩陣所有元素的其確切表達(dá)式，那么只要代入式（7），即可獲得容量影響因子和散射體分布即、、θ0、Δθ的關(guān)系。在我們的前期工作中，考慮了散射體分布關(guān)于收發(fā)端連線對(duì)稱的情況[11]，這種情況下θ0和定位在收發(fā)端連線上，取值固定，此時(shí)問(wèn)題變?yōu)榍蠖瘮?shù)極值。如果θ0和不固定，則問(wèn)題會(huì)變?yōu)榍笏脑瘮?shù)極值，更為復(fù)雜（但仍可求解）。

另外當(dāng)散射矩陣S（Ω）各元素方差取值不同時(shí)，表達(dá)式具有不同的結(jié)果。本文采用常見(jiàn)的歸一化設(shè)置，即所有方差均為1。在這種情況下，對(duì)相關(guān)系數(shù)的表達(dá)式進(jìn)一步推導(dǎo)，可以得到精確的解析式。例如和的計(jì)算結(jié)果為

（8）

以及

（9）

此時(shí)根據(jù)式（8）、（9）等解析式就可以得到容量影響因子的精確表達(dá)。因?yàn)樽罱K表達(dá)式的規(guī)模比較龐大，本文不再具體列出。

2.2容量因子與環(huán)境參數(shù)的關(guān)系

至此，信道容量的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為該表達(dá)式的極值問(wèn)題，而該表達(dá)式為俯仰角和方位角的函數(shù)，因此可以通過(guò)求函數(shù)極值的方法求解，例如采用求偏導(dǎo)等方法，可以解得系統(tǒng)在何種散射環(huán)境下取得最佳容量。但由于容量影響因子的具體表達(dá)式比較復(fù)雜，而且僅僅獲得極值并不足以滿足實(shí)際需求，本文采用程序進(jìn)行輔助計(jì)算。

在前期的研究中，我們僅僅指出了一些能夠獲得較優(yōu)秀系統(tǒng)性能的大致角度范圍，而本文可以通過(guò)精確的表達(dá)式給出更加精確的取值。并且前期我們僅僅能對(duì)散射環(huán)境對(duì)稱的情況進(jìn)行研究，現(xiàn)在可以研究任意取值的θ0和，只是計(jì)算更為繁瑣。具體結(jié)果如圖2和圖3所示，其中圖2仍然是散射環(huán)境對(duì)稱的情況，與[11]的結(jié)論相比完全相符;而圖3是θ0和任意取值例如、的情況。

θ0和任意取值的情況下，容量影響因子與和Δθ的關(guān)系各有不同，本文不再一一展示。但總體來(lái)說(shuō)可以得到統(tǒng)一的結(jié)論，就是一般都在和Δθ比較小的時(shí)候能夠獲得相對(duì)較高的容量因子;并且無(wú)論θ0、、和Δθ的取值如何，其交叉相關(guān)系數(shù)對(duì)容量上限的提升必然大于傳統(tǒng)收發(fā)相關(guān)系數(shù)對(duì)容量上限的削減，導(dǎo)致對(duì)應(yīng)的容量因子取值均大于1，而容量因子取1對(duì)應(yīng)著就是子信道之間完全不相關(guān)的理想情況。

更進(jìn)一步，我們對(duì)散射體任意分布的情況，即θ0、任意取值時(shí)容量因子的極值進(jìn)行研究，結(jié)果如圖4所示。

從圖4可以看出，容量因子的極值分布有著很強(qiáng)的規(guī)律性，總的來(lái)說(shuō)最大容量在=180°的情況下比較容易獲得，并且最大容量關(guān)于θ0呈周期性分布。這種周期性的原因有待進(jìn)一步研究，但參考本結(jié)論我們已經(jīng)可以解決整個(gè)系統(tǒng)在何種環(huán)境下可以獲得較佳容量甚至最大容量。

三、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)將MIMO系統(tǒng)的容量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的極值問(wèn)題進(jìn)行求解等相關(guān)計(jì)算，我們可以獲得正交極化分集在任意散射體擴(kuò)展角度范圍下對(duì)應(yīng)的容量因子取值的變化。

通過(guò)對(duì)這種變化的特征進(jìn)行歸納，一方面我們能夠通過(guò)適當(dāng)控制天線調(diào)整散射環(huán)境以獲得更好的系統(tǒng)性能;一方面我們發(fā)現(xiàn)無(wú)論散射體擴(kuò)展角度范圍如何分布，正交極化分集對(duì)應(yīng)的容量因子取值均大于1，也就是說(shuō)正交極化分集比起空間和角度等分集方式，在相關(guān)性取值上有著天生的優(yōu)越性。

參? 考? 文? 獻(xiàn)

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