基于熵和關(guān)聯(lián)系數(shù)的概率對(duì)偶猶豫模糊多屬性決策方法

蘇冰杰, 盧方元, 朱 峰

(1.廈門大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，福建 廈門 361001; 2.鄭州大學(xué) 商學(xué)院，河南 鄭州 450001; 3.鄭州大學(xué) 管理工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

0 引言

猶豫模糊集[1]可以有效地包含多個(gè)不同的隸屬度，目前已經(jīng)被成功地應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)管理決策問(wèn)題中，但卻認(rèn)為每一個(gè)隸屬度發(fā)生的概率是一致的。為了有效地測(cè)量不同隸屬度的概率，Zhang等[2]定義了概率猶豫模糊集。概率猶豫模糊集不僅給出了每一個(gè)隸屬度發(fā)生的概率，同時(shí)解決了決策群體的意見存在不一致的情況，已經(jīng)引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[3～6]。由于決策過(guò)程中存在非隸屬度信息，Hao等[7]根據(jù)對(duì)偶猶豫模糊集[8]和概率猶豫模糊集提出了概率對(duì)偶猶豫模糊集，不僅給出了多種隸屬度和非隸屬，也考慮了二者的概率，與概率猶豫模糊集相比包含的信息更全面，更符合實(shí)際情況。

目前，概率對(duì)偶猶豫模糊集的研究引起了越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注。Hao等[7]首次定義了概率對(duì)偶猶豫模糊熵，但熵的公理化定義和計(jì)算公式存在缺陷。Garg等[9]定義了2種概率對(duì)偶猶豫模糊集距離測(cè)度和一系列概率對(duì)偶猶豫模糊集結(jié)算子，但是需要根據(jù)實(shí)際需求進(jìn)行人為添加數(shù)據(jù)。Garg等[10]首次提出了概率對(duì)偶猶豫模糊集的關(guān)聯(lián)系數(shù)，但并未考慮數(shù)據(jù)的負(fù)相關(guān)情況?？紤]到概率對(duì)偶猶豫模糊元的概率存在未知的情況，Garg等[11]基于最大熵原理提出了概率確定模型，然后與概率對(duì)偶猶豫模糊麥克勞林對(duì)稱平均(PDHFMSM)算子結(jié)合建立多屬性決策模型。Ren等[12]提出了概率對(duì)偶猶豫模糊AHP方法，并基于VIKOR方法提出了概率對(duì)偶猶豫模糊多屬性決策模型。Liu等[13]對(duì)概率對(duì)偶猶豫模糊集進(jìn)行了拓展提出了區(qū)間概率對(duì)偶猶豫模糊集。

以上文獻(xiàn)表明，概率對(duì)偶猶豫模糊多屬性決策問(wèn)題研究還有待完善。鑒于此，本文研究了屬性值為概率對(duì)偶猶豫模糊元，屬性權(quán)重完全未知的多屬性決策問(wèn)題。本文首先提出概率對(duì)偶猶豫模糊熵，其次考慮到目前概率對(duì)偶猶豫模糊關(guān)聯(lián)系數(shù)存在的缺陷，基于熵測(cè)度和信息特征向量定義了概率對(duì)偶猶豫模糊集的關(guān)聯(lián)系數(shù)。最后本文將概率對(duì)偶猶豫模糊集的熵測(cè)度和關(guān)聯(lián)系數(shù)結(jié)合運(yùn)用到屬性權(quán)重完全未知的多屬性決策問(wèn)題中，并通過(guò)具體案例進(jìn)行了驗(yàn)證分析。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[7]設(shè)一個(gè)非空集合為X，則在X上的一個(gè)概率對(duì)偶猶豫模糊集(PDHFS)為

A={|x∈X}

若X={x}，則A退化為α={h(p),g(q)}，一般稱α為概率對(duì)偶猶豫模糊元(PDHFE)，且h(p)中的元素γλ|pλ按照隸屬度γλ從小到大排列，g(q)中的元素ηλ|qλ按照非隸屬度ηλ從小到大排列。α的補(bǔ)集為αc={g(q),h(p)}。

為了使隸屬度集合和非隸屬度集合的元素個(gè)數(shù)和概率信息保持一致，本文根據(jù)調(diào)和概率語(yǔ)言集[14]提出內(nèi)部調(diào)和概率對(duì)偶猶豫模糊元。

定義4[7]設(shè)任意2個(gè)概率對(duì)偶猶豫模糊元分別是α1,α2，則

(1)若score(α1)>score(α2)，則α1>α2；(2)若score(α1)=score(α2)，則

根據(jù)例1可知內(nèi)部調(diào)和概率對(duì)偶猶豫模糊元中隸屬度集合和非隸屬度集合在元素個(gè)數(shù)和概率信息完全一致，對(duì)于后續(xù)的計(jì)算和研究更為方便。

2 概率對(duì)偶猶豫模糊元的熵和信息特征向量

2.1 概率對(duì)偶猶豫模糊熵

為了測(cè)量概率對(duì)偶猶豫模糊元的信息不確定性，本文在概率猶豫模糊熵[3]和對(duì)偶猶豫模糊熵[15]的基礎(chǔ)上提出了概率對(duì)偶猶豫模糊熵的公理化定義和計(jì)算公式。

(1)0≤e(α)≤1；

(2)當(dāng)e(α)=1且僅當(dāng)α={{0|0},{0|0}}；

(3)e(α)=0當(dāng)且僅當(dāng)α={{0|1},{1|1}}或α={{1|1},{0|1}}；

(4)e(αc)=e(α)；

(1)

其中函數(shù)f:[0,1]3→[0,1]滿足：(1)；f(x,y,z)=1?x=y=z=0:(2)；f(x,y,z)=0?x=y=z=1:(3)f(x,y,z)在x,y,z∈[0,1]上為單調(diào)遞減函數(shù)。

例2設(shè)2個(gè)概率對(duì)偶猶豫模糊元α1={{0.2|0.6,0.6|0.4},{0.3|0.4,0.4|0.6}}和α2={{0.2|0.3,0.6|0.2},{0.3|0.2,0.4|0.3}}，分別采取和分別計(jì)算得到

e′(α1)=e′(α2)=0.7043
e(α1)=0.3733

2.2 概率對(duì)偶猶豫模糊信息特征向量

對(duì)于一個(gè)概率對(duì)偶猶豫模糊元，它包含的最主要的信息是值的大小與不確定性程度，這也是在具體應(yīng)用中人們普遍關(guān)心的問(wèn)題。本文基于文獻(xiàn)[16]提出概率對(duì)偶猶豫模糊信息特征向量。

定義7設(shè)一個(gè)概率對(duì)偶猶豫模糊元為α={h(p),g(q)}，其中h(p)={γλ|pλ|λ=1,2,…,#h}和g(q)={ηλ|qλ|λ=1,2,…,#g}，則稱二維向量(s(α),e(α))為的信息特征向量，記作

vec(α)=(s(α),e(α))

(2)

其中s(α)=0.5(1+score(α))代表α的大小，e(α)代表α的熵。

3 概率對(duì)偶猶豫模糊集的關(guān)聯(lián)測(cè)度

基于猶豫模糊關(guān)聯(lián)系數(shù)[17,18]和定義7，本文定義概率對(duì)偶猶豫模糊集的關(guān)聯(lián)系數(shù)。

(1)A和B的期望關(guān)聯(lián)系數(shù)

(3)

(2)A和B的熵關(guān)聯(lián)系數(shù)

(4)

(3)A和B的綜合關(guān)聯(lián)系數(shù)

ρt(A,B)=aρs(A,B)+(1-a)ρe(A,B))

(5)

其中a∈[0,1]。

性質(zhì)1設(shè)2個(gè)概率對(duì)偶猶豫模糊集A和B，二者的綜合關(guān)聯(lián)系數(shù)ρt(A,B)滿足

(1)-1≤ρt(A,B)≤1；

(2)ρt(A,B)=ρt(B,A)；

(3)ρt(A,A)=1。

考慮到權(quán)重的重要性，本文提出概率對(duì)偶猶豫模糊集的加權(quán)關(guān)聯(lián)系數(shù)。

(1)A和B的加權(quán)期望關(guān)聯(lián)系數(shù)

(6)

(2)A和B的加權(quán)熵關(guān)聯(lián)系數(shù)

(7)

(3)A和B的加權(quán)綜合關(guān)聯(lián)系數(shù)

ρwt(A,B)=aρws(A,B)+(1-a)ρwe(A,B))

(8)

其中a∈[0,1]。很容易證明ρwt(A,B)滿足性質(zhì)1。

4 構(gòu)建決策模型

設(shè)參與評(píng)價(jià)方案集Y={yi|i=1,2,…,m}，屬性集C={cj|j=1,2,…,n}和屬性權(quán)重w={w1,w2,…,wn}T，其中屬性權(quán)重完全未知。其相關(guān)決策步驟如下：

步驟2根據(jù)熵權(quán)法計(jì)算屬性cj的權(quán)重為：

(9)

步驟4根據(jù)公式(8)分別計(jì)算各個(gè)方案與y+和y-的加權(quán)關(guān)聯(lián)系數(shù)ρwt(yi,y+)和ρwt(yi,y-)，其中

(10)

(11)

步驟5根據(jù)文獻(xiàn)[18]得到方案yi(i=1,2,…,m)的貼進(jìn)度CIi，其中

(12)

其中

一般CIi越大代表yi越好。

5 案例分析

在一個(gè)智能醫(yī)療服務(wù)平臺(tái)下，一名患者尋求理療醫(yī)生的治療和幫助，在服務(wù)平臺(tái)下進(jìn)行掛號(hào)預(yù)約。在該網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)下患者根據(jù)醫(yī)生的聲譽(yù)(c1)、收費(fèi)(c2)、專業(yè)水平(c3)、治療效果(c4)從4名理療醫(yī)生yi(i=1,2,3,4)選擇一名合適自己的理療醫(yī)生進(jìn)行治療，其中收費(fèi)(c2)為成本型屬性，其余屬性均為利益型。評(píng)價(jià)結(jié)果如表1所示。

表1 評(píng)估信息矩陣D

步驟1由于收費(fèi)(c2)為成本型，為了計(jì)算方便，本文按照第4節(jié)中的步驟1對(duì)矩陣D進(jìn)行處理，得到概率對(duì)偶猶豫模糊多屬性決策矩陣M。

表2 概率對(duì)偶猶豫模糊多屬性決策矩陣M

步驟4利用公式(10)、(11)和(12)獲得每個(gè)方案的貼進(jìn)度，其中參數(shù)a=0.5。

其計(jì)算結(jié)果分別是CI1=1，CI2=0.6630，CI3=0，CI4=0.2977。因此最終的排序結(jié)果為y1?y2?y4?y3。即理療醫(yī)生y1最適合。

6 結(jié)論

本文研究了屬性權(quán)重完全未知的概率對(duì)偶猶豫模糊多屬性決策問(wèn)題，首先提出了概率對(duì)偶猶豫模糊集的熵，然后定義了考慮熵的概率對(duì)偶猶豫模糊關(guān)聯(lián)系數(shù)，最后將二者結(jié)合建立了一種新的決策方法，并通過(guò)具體案例進(jìn)行了驗(yàn)證分析?？紤]到目前關(guān)于概率對(duì)偶猶豫模糊集的集結(jié)算子研究甚少，因此在后續(xù)的研究中重點(diǎn)關(guān)注其他類型的概率對(duì)偶猶豫模糊集結(jié)算子。