HP-Prime技術(shù)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中的應(yīng)用

張玲玲 羅程

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)、探索并解決問題，如利用圖形計(jì)算器繪制冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等的圖象，探索、比較它們的變化規(guī)律，研究函數(shù)的性質(zhì).

HP-Prime圖形計(jì)算器是目前應(yīng)用比較廣泛的一種現(xiàn)代教學(xué)儀器，具有數(shù)據(jù)處理、圖形繪制、簡單編程等功能，可以用來繪制各種函數(shù)圖形，并進(jìn)行動態(tài)演示、跟蹤軌跡.學(xué)生利用HP-Prime圖形計(jì)算器，在教師的問題引導(dǎo)下自主進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，直觀體驗(yàn)知識生成過程，能有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作探究的學(xué)習(xí)態(tài)度.

本文以人教A版高中數(shù)學(xué)選修1-1“3.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)”教學(xué)為例，介紹如何借助HP-Prime圖形計(jì)算器開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”.

一、基于學(xué)情的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)解析

“函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，是人教A版高中數(shù)學(xué)選修1-1第三章《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》中“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”的第一課時(shí)，教學(xué)內(nèi)容主要是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及幾何意義后需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)的知識.單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，在人教A版數(shù)學(xué)必修1中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會從定義的角度判定在給定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，但在作差變形環(huán)節(jié)，由于變形比較煩瑣，學(xué)生往往難以完成.學(xué)習(xí)“函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)”這一課，可以很好地解決這一問題，能夠加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的極值和最值奠定基礎(chǔ).

教學(xué)前，我們明確了如下教學(xué)目標(biāo)：①通過具體實(shí)例，使用HP-Prime圖形計(jì)算器繪制函數(shù)圖形，讓學(xué)生學(xué)會從“形”到“數(shù)”、從“數(shù)”到“形”的思維方法，探究函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，發(fā)展直觀想象數(shù)學(xué)素養(yǎng);②通過實(shí)驗(yàn)探究，讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)自身發(fā)展的一般規(guī)律;③開展實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，通過合作探究、觀察、分析、歸納、總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、一絲不茍的研究精神，提高分析和解決問題的能力.

本課需要學(xué)生了解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，但由于學(xué)生剛接觸導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力和意識還不強(qiáng)，因此，教師在教學(xué)中運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段、工具，可以讓學(xué)生的知識學(xué)習(xí)變得更為直觀形象.在本課教學(xué)中，教師借助HP-Prime圖形計(jì)算器開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究，先讓學(xué)生用HP-Prime圖形計(jì)算器畫出函數(shù)f （x）=x3-3x的圖象，觀察圖象的單調(diào)性;然后用HP-Prime圖形計(jì)算器找出函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的切線，觀察切線的傾斜角和斜率值的情況，從導(dǎo)數(shù)幾何意義的角度研究函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)關(guān)系;再用HP-Prime圖形計(jì)算器畫出函數(shù)f （x）=x3-3x和其導(dǎo)函數(shù)f （x）=3x2-3的圖象，通過觀察兩個(gè)圖象，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系，嘗試歸納結(jié)論;最后，學(xué)生在不借助相關(guān)儀器的情況下，運(yùn)用自己所歸納的結(jié)論求出函數(shù)f （x）=[exx]的單調(diào)區(qū)間.在這個(gè)教學(xué)過程中，我們進(jìn)一步向?qū)W生滲透了化歸的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生解決實(shí)際問題的意識和能力.

二、基于HP-Prime的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法應(yīng)用

本課教學(xué)，我們在遵循“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法的“問題導(dǎo)向、實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)、目標(biāo)解惑”教學(xué)路徑，通過引入HP-Prime圖形計(jì)算器，設(shè)計(jì)有梯度的問題，讓學(xué)生大膽猜想并操作儀器進(jìn)行驗(yàn)證，體會了知識生成的過程，感受了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.

（一）問題導(dǎo)向：引導(dǎo)學(xué)生自主展開數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

問題導(dǎo)向，就是提出有啟發(fā)性的問題，使學(xué)生明確學(xué)習(xí)方向.在該教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師可這樣提問：導(dǎo)數(shù)可以描述函數(shù)的變化趨勢，函數(shù)的單調(diào)性可以呈現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢，那么導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性一定存在某種聯(lián)系，它們之間會有怎樣的聯(lián)系呢？學(xué)生基于這一問題，以學(xué)習(xí)小組為單位，將函數(shù)f （x）=x3-3x作為研究對象，實(shí)驗(yàn)探究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的聯(lián)系，然后借助HP-Prime圖形計(jì)算器畫出該函數(shù)的圖象，嘗試求出它的導(dǎo)函數(shù).

在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生借助圖形計(jì)算器畫出函數(shù)f （x）=x3-3x的圖象，通過探究圖象上任意一點(diǎn)的切線的斜率情況，比較分析研究原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象，從而歸納出每一個(gè)指定函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系.學(xué)生在親身經(jīng)歷從形到數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，領(lǐng)會了數(shù)形結(jié)合的重要思想.

（二）實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)：通過表述實(shí)驗(yàn)結(jié)論，感悟其中的數(shù)學(xué)思想

實(shí)驗(yàn)操作是學(xué)生獲取新知，構(gòu)建知識體系的重要途徑.在本環(huán)節(jié)教學(xué)中，我們設(shè)計(jì)了3個(gè)探究實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)論證過程中，領(lǐng)悟函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系.

[實(shí)驗(yàn)探究一]利用HP-Prime圖形計(jì)算器研究選定函數(shù)的單調(diào)性.

教師提出問題：若已知函數(shù)f （x）=x3-3x，你能根據(jù)它的圖象說出它的單調(diào)性嗎？（師提示操作步驟，如圖1.）學(xué)生兩兩合作繪制函數(shù)圖象（如圖2），并結(jié)合圖象說出了函數(shù)的單調(diào)性.其間，教師巡視每個(gè)小組的操作情況，對個(gè)別出現(xiàn)操作錯(cuò)誤的小組給予幫助.這樣設(shè)計(jì)，有助于學(xué)生學(xué)會利用圖形計(jì)算器直觀感知函數(shù)圖象，從整體上分析函數(shù)的單調(diào)性，為后續(xù)研究函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系做鋪墊.

教師提出問題：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用HP-Prime圖形計(jì)算器畫出原函數(shù)f （x）=x3-3x的切線，然后觀察切線的斜率情況，你們有什么發(fā)現(xiàn)呢？（師提示操作步驟，如圖3.）學(xué)生兩兩合作，利用圖形計(jì)算器按步驟繪制函數(shù)圖象（如圖4），觀察圖形，完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告.從導(dǎo)數(shù)的幾何意義入手，研究分析函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系，讓學(xué)生初步體會到數(shù)形結(jié)合的思想.

[? 操作步驟：在彈出的函數(shù)圖象下方點(diǎn)擊“菜單”中的“分析”，在“分析”中找到“切線”（手機(jī)版為“正切”），在相應(yīng)單調(diào)區(qū)間上任意選取一點(diǎn)，畫出該點(diǎn)的切線.通過改變同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)的位置，觀察各點(diǎn)的切線的變化.

結(jié)論：①當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，曲線上任意一點(diǎn)的切線的傾斜角為? 角，k切? 0，函數(shù)遞增，相應(yīng)的有f ′（x）? 0;②當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，曲線上任意一點(diǎn)的切線的傾斜角為? 角，k切? 0，函數(shù)遞減，相應(yīng)的有f ′（x）? 0;③當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，曲線上任意一點(diǎn)的切線的傾斜角為? 角，k切? 0，函數(shù)遞增，相應(yīng)的有f ′（x）? 0. ]

教師提出問題：利用HP-Prime圖形計(jì)算器畫出導(dǎo)函數(shù)f （x）=3x2-3的圖象，通過觀察思考，你認(rèn)為原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)存在什么樣的關(guān)系？（師提示操作步驟，如圖5.）學(xué)生根據(jù)步驟完成導(dǎo)函數(shù)圖象繪制，嘗試歸納其與原函數(shù)的關(guān)系.

[? 操作步驟：點(diǎn)擊“Apps”，進(jìn)入“函數(shù)”功能，輸入函數(shù)f （x）=x3-3x和f （x）=3x2-3，點(diǎn)擊“Plot”，觀察原函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象，在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)分別嘗試歸納其聯(lián)系.

結(jié)論：①在（-∞，-1），f ′（x）? 0，f （x）在（-∞，-1）內(nèi)單調(diào)遞? ?;②在（-1，1），f ′（x）? 0，f （x）在（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞? ?;③在（1，+∞），f ′（x）? 0，f （x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞? ?. ]

（三）目標(biāo)解惑：探幽入微，深化理解，發(fā)展學(xué)生思維能力

教學(xué)提問能讓學(xué)生更加明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生開展有效的學(xué)習(xí).在本教學(xué)環(huán)節(jié)中，我們設(shè)計(jì)了4個(gè)有梯度的問題，讓學(xué)生對上一環(huán)節(jié)的結(jié)論進(jìn)行反復(fù)驗(yàn)證，不斷深化學(xué)生對原函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間等知識的認(rèn)識和理解.

[問題一]思考以上實(shí)驗(yàn)探究中得出的結(jié)論，你覺得這一結(jié)論是否具有一般性？

教師先讓學(xué)生利用HP-Prime圖形計(jì)算器，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出下列原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象：①y=x，②y=x2，③y=x lnx，④[y=1x.]再讓學(xué)生獨(dú)立思考，小組討論，對這些圖象進(jìn)行對比分析，驗(yàn)證上一環(huán)節(jié)得出的結(jié)論，嘗試自行歸納一般性規(guī)律.最后，師生共同研討，得出如下結(jié)論：一般地，對于函數(shù)f （x），如果在某區(qū)間上單調(diào)遞增，那么f （x）為該區(qū)間上的增函數(shù);如果在某區(qū)間上單調(diào)遞減，那么f （x）為該區(qū)間上的減函數(shù).

[問題二]根據(jù)上述結(jié)論，我們該如何用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間呢？在不借助儀器的情況下，你能求出函數(shù)[f（x）=exx]的單調(diào)區(qū)間嗎？該函數(shù)的定義域是什么？你能求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)嗎？

學(xué)生展開計(jì)算：首先，令f ′（x）>0或f ′（x）<0，求出x的取值范圍，即函數(shù)單調(diào)遞增或遞減的區(qū)間;然后將函數(shù)[f（x）=exx]的定義域設(shè)為（-∞，0）∪（0，+∞），求出其導(dǎo)函數(shù)為f ′（x）=[ex（x-1）x2]，畫出此函數(shù)的大致圖象.在此基礎(chǔ)上，學(xué)生總結(jié)出求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟：①令f ′（x）>0或f ′（x）<0，求x的取值范圍，明確單調(diào)區(qū)間;②求函數(shù)的定義域;③求導(dǎo)函數(shù)f ′（x），作圖分析;④下結(jié)論.

[問題三]你能否先用代數(shù)法求解下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后畫出函數(shù)的大致圖象，并用HP-Prime圖形計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)證？

教師出示例題：①f （x）=x3+x，②f （x）=2x3-6x2+7.學(xué)生通過完成例題，進(jìn)一步驗(yàn)證了以上結(jié)論，鞏固了所學(xué).

[問題四]通過本課學(xué)習(xí)，你有什么收獲？如果給出一個(gè)函數(shù)的解析式，你會求它的單調(diào)區(qū)間嗎？你能畫出它的大致圖象嗎？

用問題四引導(dǎo)學(xué)生回顧本課所學(xué)，既驗(yàn)證了所得出的結(jié)論，又將分散的知識點(diǎn)串聯(lián)了起來，總結(jié)出了一般性規(guī)律.這是對上述教學(xué)環(huán)節(jié)的思維過程的反思，對完善學(xué)生的知識體系、提高學(xué)生的思維水平有重要促進(jìn)作用.

在本課中，教師先讓學(xué)生利用HP-Prime圖形計(jì)算器畫出函數(shù)f （x）=x3-3x的圖象，在觀察圖象得出函數(shù)的極值后，再讓學(xué)生利用儀器分析圖象上任意一點(diǎn)的切線的斜率值，順理成章地引出函數(shù)極值與導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系.緊接著，教師進(jìn)一步讓學(xué)生借助圖形計(jì)算器繪制其他函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)在某點(diǎn)上極值的圖象特征，然后借助圖形計(jì)算器的數(shù)字視圖功能，觀察f ′（x）、f （x）隨著x的變化而變化的規(guī)律，驗(yàn)證函數(shù)在極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零及在極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)變化的關(guān)系，進(jìn)而歸納總結(jié)出求函數(shù)極值的步驟，以及函數(shù)在單調(diào)區(qū)間內(nèi)變化的一般規(guī)律.

在本課教學(xué)中，學(xué)生基于教師所創(chuàng)設(shè)的問題情境，利用HP-Prime圖形計(jì)算器動手實(shí)踐、自主探究、合作交流，大膽猜測、小心驗(yàn)證，不僅經(jīng)歷了知識生成的全過程，體會了學(xué)習(xí)的樂趣，而且構(gòu)建了自己的知識體系，認(rèn)識了數(shù)學(xué)的本質(zhì).可以說，基于HP-Prime圖形計(jì)算器的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，實(shí)現(xiàn)了以“教”為中心向以“學(xué)”為中心的課堂模式轉(zhuǎn)型.（題圖左為作者張玲玲，右為作者羅程）

（責(zé)編 蒙秀溪）