“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法在數(shù)學(xué)命題課中的應(yīng)用

沈林霏 曾蓓莉

數(shù)學(xué)命題課的基本教學(xué)任務(wù)，是使學(xué)生認(rèn)識(shí)形成命題的條件，掌握數(shù)學(xué)命題的表達(dá)形式、內(nèi)容和含義，及其推理過程、證明方法，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)命題進(jìn)行計(jì)算、推理和論證，弄清各個(gè)數(shù)學(xué)命題間的關(guān)系，并將學(xué)過的命題系統(tǒng)化處理，形成結(jié)構(gòu)緊密的知識(shí)體系，熟悉基本的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，提高數(shù)學(xué)基本能力.

我們所研究的“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法，是一種以關(guān)鍵“問題”為導(dǎo)向，通過創(chuàng)設(shè)能夠激發(fā)學(xué)生再創(chuàng)造活力的問題情境，借助信息技術(shù)、實(shí)物教具等，讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)驗(yàn)過程中觀察、猜想、推理、驗(yàn)證，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的教學(xué)方法.采用這種教學(xué)方法能有效達(dá)成數(shù)學(xué)命題課的教學(xué)目標(biāo).

本文以人教A版高中數(shù)學(xué)必修2“2.3.1 直線與平面垂直的判定”教學(xué)為例，闡述“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法在數(shù)學(xué)命題課中的應(yīng)用.

一、教學(xué)內(nèi)容分析及教學(xué)策略設(shè)計(jì)

“直線與平面垂直的判定”一課的主要教學(xué)內(nèi)容，有直線與平面垂直的定義、直線與平面垂直的判定定理及其應(yīng)用.直線與平面垂直是直線和平面相交的一種特殊情況，是直線與直線垂直位置關(guān)系在立體空間中的拓展，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間中垂直位置關(guān)系轉(zhuǎn)化、平面與平面垂直等知識(shí)的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)直線和平面所成的角、直線與平面和平面與平面間的距離等內(nèi)容的前提.因而，直線與平面垂直是空間點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系中的核心概念之一.

仔細(xì)研讀教材可以發(fā)現(xiàn)，課本對“直線與平面垂直”這一概念的表述比較抽象，適宜采用發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)法促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)識(shí)和理解.也就是說，教師在教學(xué)中要有目的地提出一些能夠促進(jìn)學(xué)生探究的問題，讓學(xué)生在有啟發(fā)性的問題情境中獨(dú)立思考，對學(xué)生進(jìn)行必要的啟示引導(dǎo)，使其經(jīng)過運(yùn)算、作圖、觀察、類比、分析、實(shí)踐、歸納等步驟，能夠提出猜想、探索規(guī)律、形成命題、實(shí)驗(yàn)證明，最終獲得相關(guān)定理.于是，我們構(gòu)建了本課“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”的教學(xué)路徑（如圖1）.

二、“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法在數(shù)學(xué)命題課中的實(shí)踐應(yīng)用

沿著“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”的基本路徑，我們設(shè)計(jì)了“創(chuàng)設(shè)生活情境，實(shí)踐問題導(dǎo)向→設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想→遷移應(yīng)用，拓展提升”3個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，循序漸進(jìn)地展開教學(xué).

（一）創(chuàng)設(shè)生活情境，實(shí)踐問題導(dǎo)向

師課件出示圖片（如圖2），并提問：①隨著太陽高度角的變化，太陽光線與地面所成的角也在變，其中有沒有比較特殊的位置關(guān)系？②觀察圖片，你發(fā)現(xiàn)旗桿與地面、高樓側(cè)棱與地面的位置有什么關(guān)系？

生：會(huì)發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的特殊位置關(guān)系.

師：你可以畫出旗桿與地面的垂直關(guān)系的幾何圖形嗎？（生作圖，如圖3.）

師：一條直線與平面垂直時(shí)，這條直線與平面內(nèi)的其他直線有怎樣的位置關(guān)系？

生：是垂直嗎？

師：請把你的數(shù)學(xué)課本打開，讓它直立在桌面上.現(xiàn)在你是否可以肯定自己的結(jié)論？

生：一條直線與平面垂直時(shí)，這條直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直.

師：根據(jù)以上實(shí)例，你能不能給“直線與平面垂直”下一個(gè)定義？

生：當(dāng)一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的所有直線（有學(xué)生會(huì)說是“無數(shù)條直線”）時(shí)，這條直線與這個(gè)平面垂直.

師：“所有或任意”與“無數(shù)”有什么區(qū)別？為什么說是“所有或任意”，而不說“無數(shù)”？（生通過幾何畫板作圖比較，如圖4.）

在以上教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師通過展示現(xiàn)實(shí)生活里線面垂直的例子創(chuàng)設(shè)情境，然后以一系列問題引導(dǎo)學(xué)生將這些實(shí)例串聯(lián)起來，真實(shí)地探究直線與平面垂直的概念.學(xué)生對直線與平面垂直有了直觀理解，自行總結(jié)出結(jié)論：如果直線[l]與平面[α]內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線[l]與平面[α]互相垂直，記作[l⊥α].在教師的進(jìn)一步引導(dǎo)下，學(xué)生認(rèn)識(shí)到了線線垂直與線面垂直可以相互轉(zhuǎn)化，然后得出一個(gè)命題：[a⊥αb?α?a⊥b.]

（二）設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想

師：如果用定義去判定直線與平面是否垂直，在實(shí)際操作中能否實(shí)現(xiàn)？

生：很難，無法說明直線l與平面[α]內(nèi)的任意一條直線都垂直.

師：請大家回憶一下判定直線與平面平行的方法，然后想一想，一條直線最少要與平面內(nèi)多少條直線垂直，才能判定這條直線與平面垂直？

生：一條不行，最少要兩條，而且是兩條相交的直線才可以.

師：請你們拿出事先準(zhǔn)備好的三角形紙片，我們一起來做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎立放置在桌面上，BD、DC與桌面接觸（如圖5）.觀察并思考：①折痕AD與桌面垂直嗎？②如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

生：（動(dòng)手實(shí)驗(yàn)后）當(dāng)[AD⊥CD，][AD⊥BD，]并且CD、BD要相交，才能說AD垂直于桌面，如果CD、BD是平行的就不行.

師：那么，要判斷一條直線與一個(gè)平面是否垂直需要什么條件？

生：（大膽猜想）判斷這條直線是否與這個(gè)平面內(nèi)兩條相交的直線都垂直.

師：請用語言和圖形表述你們的猜想.

生：（作圖論證，如圖6）從圖中我們可以看出，一條直線與一個(gè)平面內(nèi)兩條相交的直線都垂直，則直線與平面垂直.

師：我們通過分析生活實(shí)例和動(dòng)手實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論一定是正確的嗎？我們是否可以用具體的數(shù)據(jù)來驗(yàn)證剛才折紙實(shí)驗(yàn)的猜想呢？

生1：我們可不可以借助電腦軟件來模擬呢？現(xiàn)在的數(shù)學(xué)軟件不是可以測量角度嗎？

師：你們想如何進(jìn)行操作？需要測量哪些數(shù)據(jù)？

生2：我們需要在空間中先確定一個(gè)平面，然后在平面外找到一條直線，再在平面內(nèi)找到多條相交的直線.

生3：我們可以借助Hawgent軟件測量出平面外這條直線與平面內(nèi)相交直線所成的角（如圖7），當(dāng)它們所成的角的度數(shù)都為90°時(shí)，我們繼續(xù)測量平面外這條直線與平面內(nèi)其他直線所成的角，如果這些角的度數(shù)都是90°，就可以判定平面外這條直線與這個(gè)平面垂直，從而驗(yàn)證了之前的猜想.

生1：在圖中，我們測量出平面外一條直線 l 與平面內(nèi)兩條相交直線 l1、l2 所成的角度.滑動(dòng)操作桿，我們還能得到直線 l 與平面內(nèi)另外任意一條直線 l3 所成的角的度數(shù).

生2：因?yàn)橹本€ l3 是任意的，也就是說，當(dāng)直線 l 與平面內(nèi)兩條相交直線 l1、l2 都垂直時(shí)，它就可以和這個(gè)平面內(nèi)任何一條直線垂直了.

生3：按照線面垂直的定義，我們就可以說直線和平面互相垂直了.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的完成離不開電腦軟件的支持，我們利用Hawgent數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)軟件完成了測量三維空間中的角度的度數(shù)，學(xué)生直觀形象地認(rèn)識(shí)了“直線與平面垂直”這一概念，并學(xué)會(huì)了如何判定.

（三）遷移應(yīng)用，拓展提升

為了進(jìn)一步加深學(xué)生對“直線與平面垂直”這一概念的理解，讓學(xué)生學(xué)會(huì)更多判定直線與平面垂直的方法，我們設(shè)計(jì)了以下3道例題.

[例題1]求證：與三角形的兩條邊同時(shí)垂直的直線一定與第三條邊垂直.

[例題2]如圖，有一根旗桿AB高8m，在它的頂端A上掛有兩條長10m的繩子，拉緊繩子并把它的下端固定在地面上的C、D兩點(diǎn)（和旗桿腳B不在同一條直線上）.如果C、D兩點(diǎn)和B的距離都是6m，那么旗桿就和地面垂直.為什么？

通過生活實(shí)例引入和問題串聯(lián)，我們完成了“問題導(dǎo)向”;通過猜想和實(shí)驗(yàn)，借助Hawgent軟件進(jìn)行驗(yàn)證，我們完成了“實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)”;通過設(shè)計(jì)練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生遷移、運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，我們完成了“目標(biāo)解惑”.整個(gè)教學(xué)過程，較好地闡釋了“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法在數(shù)學(xué)命題課中的應(yīng)用，讓學(xué)生理解了“直線與平面垂直”的概念，歸納出判定直線與平面垂直的一些方法（如圖8）.

數(shù)學(xué)命題課具有較強(qiáng)的抽象性，需要教師采取發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)方法，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)定理、概念、公式等的直觀認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力.“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法倡導(dǎo)利用有效的信息技術(shù)手段、實(shí)驗(yàn)工具，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)生動(dòng)活潑的實(shí)驗(yàn)情境，引導(dǎo)學(xué)生通過猜想、實(shí)驗(yàn)、論證、總結(jié)，最終獲得知識(shí)并解決實(shí)際問題.在本課教學(xué)中，學(xué)生在教師的指引下，親歷了知識(shí)學(xué)習(xí)的全過程，構(gòu)建了較為完整的知識(shí)體系，充分體現(xiàn)了“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法在數(shù)學(xué)命題課教學(xué)中的優(yōu)勢.（題圖左為作者沈林霏，右為作者曾蓓莉）

（責(zé)編 蒙秀溪）