高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)解題策略探究

黃小良

摘 要：抽象函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)。很多學(xué)生遇到相關(guān)習(xí)題，無法及時(shí)找到解題思路，在測試中的失分率較高。教學(xué)中為使學(xué)生掌握抽象函數(shù)解題技巧，應(yīng)做好解題策略的總結(jié)，并在課堂上為學(xué)生展示解題策略的具體應(yīng)用，使學(xué)生積累解題策略應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，更好的突破這一難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);抽象函數(shù);解題策略;探究

高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)習(xí)題的類型靈活多變，解題思路多種多樣。其中模型策略、賦值策略、性質(zhì)策略、構(gòu)造函數(shù)策略、數(shù)形結(jié)合策略等，能夠解答大多數(shù)高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)類型的習(xí)題。授課中為使學(xué)生更好的掌握這些策略，應(yīng)注重篩選經(jīng)典例題，為學(xué)生逐一講解這些策略的應(yīng)用，指引其以后更好的解題。

一、模型策略

解答部分抽象函數(shù)習(xí)題時(shí)可根據(jù)已知條件給出的等式聯(lián)想已學(xué)的函數(shù)模型，將抽象函數(shù)具體化，能夠迅速的得出正確結(jié)果。如遇到x，y∈R恒有f（x+y）=f（x）+f（y），可聯(lián)想f（x）=kx;遇到x，y∈R恒有f（x+y）=f（x）+f（y），可聯(lián)想f（x）=ax（a>0且a≠1）;遇到x>0，y>0恒有f（x·y）=f（x）+f（y），可聯(lián)想f（x）=logax（a>0且a≠1）。教學(xué)中為提高學(xué)生應(yīng)用模型策略解題的意識(shí)，可在課堂上為學(xué)生展示如下習(xí)題，要求其運(yùn)用常規(guī)思路以及模型策略進(jìn)行求解，對比解題的效率：

已知函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x，y均有滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0，f（-1）=2，則函數(shù)f（x）在[-2，1]上的值域?yàn)椋?）

A.[-2，1] B.[-1，2] C.[-4，2] D.[2，4]

如采用常規(guī)思路需要根據(jù)已知條件，設(shè)出相關(guān)參數(shù)先證明該抽象函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，而后證明其為奇函數(shù)，最后根據(jù)f（-1）=2進(jìn)行解答，步驟較為繁瑣。如采用模型法，將抽象函數(shù)看出具體的函數(shù)，問題便可迅速得到解決。認(rèn)真觀察題干中給出的等式關(guān)系，其滿足模型“y=kx”，又∵，又因?yàn)閒（-1）=2，則其過點(diǎn)（-1，2），容易得到k=2，而y=2x為增函數(shù)，則在[-2，1]上的值域?yàn)閇-4，2]，選擇C項(xiàng)。

二、賦值策略

部分抽象函數(shù)習(xí)題給出的表達(dá)式中自變量具有一般性，因此可采用賦值策略求解出相關(guān)函數(shù)的值，更好地揭示相關(guān)規(guī)律，從而實(shí)現(xiàn)順利求解的目的。因賦值策略具有一定的技巧性，不能隨意的賦值。為使學(xué)生更好的掌握這一解題策略應(yīng)注重結(jié)合學(xué)生實(shí)際，優(yōu)選精講典型例題，拓展學(xué)生視野，并給學(xué)生預(yù)留一定的反思與總結(jié)時(shí)間，使其更好的把握賦值的技巧，尤其鼓勵(lì)學(xué)生相互交流，使其能夠當(dāng)堂掌握這一策略。如下題：

設(shè)定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，f（x）+>0恒成立，且f（x）滿足f（x）·f[f（x）+]=4，則f（2）=（ ）

A.1± B.1+ C.1- D.2-

該題難度較大，具有一定的技巧性。結(jié)合已知條件，可令x=2，∵f（x）·f[f（x）+]=4，則f（2）·f[f（2）+1]=4，令m=f（2），則m·f（m+1）=4，則f（m+1）=。令x=m+1，則f（m+1）·f（f（m+1）+）=4，則·f（+）=4，f（+）=m=f（2），又∵在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，則+=2，解得m=1±，但m=1+不滿足題意，∴m=1-，選擇C項(xiàng)。

三、性質(zhì)策略

抽象函數(shù)屬于函數(shù)的范疇，因此可運(yùn)用函數(shù)的一些性質(zhì)解答相關(guān)習(xí)題，包括單調(diào)性、奇偶性、周期性等。解題的關(guān)鍵在于能夠運(yùn)用題干中給出的表達(dá)式，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，推導(dǎo)出正確的結(jié)論，如奇、偶函數(shù)的表達(dá)式，周期函數(shù)的表達(dá)式等，尤其在求解參數(shù)范圍時(shí)，應(yīng)注重運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行靈活的轉(zhuǎn)化，從而順利的去掉函數(shù)的對應(yīng)法則。為使學(xué)生能夠正確、熟練的運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求解抽象函數(shù)習(xí)題，應(yīng)注重為學(xué)生在課堂上講解如下習(xí)題：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），若f（3）=1，且f（a）>f（a-1）+2，則a的取值范圍為（）

A.（1，） B.（1，+∞）

C.（，+∞） D.（-∞，1）∪（，+∞）

解答該題可運(yùn)用抽象函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推理、求解?！遞（xy）=f（x）+f（y），且f（3）=1，則2=2f（3）=f（3）+f（3）=f（9），又∵f（a）>f（a-1）+2，則f（a）>f（a-1）+f（9），又由f（xy）=f（x）+f（y）得到f（a）>f（9（a-1）），又∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，即，得出a>0，a-1>0，a>9（a-1），解得1

四、構(gòu)造函數(shù)策略

部分抽象函數(shù)習(xí)題與導(dǎo)數(shù)知識(shí)結(jié)合起來，難度較大，對學(xué)生分析以及解題能力要求較高。解答該類習(xí)題需要根據(jù)題干進(jìn)行函數(shù)的構(gòu)造，借助構(gòu)造的函數(shù)研究抽象函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，從而分析相關(guān)問題。構(gòu)造函數(shù)具有一定的技巧性，授課中既要注重為學(xué)生總結(jié)常用的構(gòu)造函數(shù)的方法與思路，在其頭腦中留下深刻的印象。同時(shí)，結(jié)合學(xué)生所學(xué)以及具體例題為學(xué)生展示構(gòu)造函數(shù)的具體過程，使其把握構(gòu)造函數(shù)時(shí)的相關(guān)細(xì)節(jié)，在解題中靈活應(yīng)用。如下題：

已知定義為R的奇函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為y=f'（x）。當(dāng)x≠0時(shí)，f'（x）+>0，若a=f（），b=-3f（-3），c=lnf（ln），則a、b、c的大小關(guān)系為（）

A.a

認(rèn)真觀察a、b、c三個(gè)參數(shù)的表達(dá)式，其形式較為統(tǒng)一，因此，可考慮通過構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行解答。令F（x）=xf（x），∵y=f（x）為奇函數(shù)，則F（x）為偶函數(shù)。對其求導(dǎo)得到F'（x）=f（x）+xf'（x），而當(dāng)x≠0時(shí)，f'（x）+>0，則xf'（x）+f（x）>0，因此，函數(shù)F（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則a=F（）=F（ln）、b=F（-3）=F（3）、c=F（ln）=F（ln3），∵ln

五、數(shù)形結(jié)合策略

部分抽象函數(shù)習(xí)題借助數(shù)學(xué)結(jié)合，能夠直觀的展示函數(shù)之間的關(guān)系，尤其在解答抽象函數(shù)有關(guān)交點(diǎn)、零點(diǎn)以及對應(yīng)方程根的問題時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合可獲得意想不到的解題效果。顯然圖形繪制的是否正確、合理關(guān)系著解題的正確與否，因此，解題時(shí)應(yīng)充分挖掘隱含條件，更加全面的掌握抽象函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。授課中為使學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合策略的應(yīng)用思路，可為學(xué)生展示如下習(xí)題：

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（3）=0，且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>-xf'（x）恒成立，則函數(shù)g（x）=xf（x）+lg|x+1|零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

根據(jù)已知條件需要掌握抽象函數(shù)h（x）=xf（x）的單調(diào)性、奇偶性，而后在平面直角坐標(biāo)系中畫出h（x）=xf（x）和m（x）=-lg|x+1|的圖像，圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)個(gè)數(shù)?！遞（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（3）=0，∴f（-x）=-f（x），f（0）=f（3）=f（-3）=0，又∵x>0時(shí)，f（x）>-xf'（x）恒成立，即，f（x）+xf'（x）>0，其剛好為h（x）=xf（x）的導(dǎo)數(shù)，即，當(dāng)x>0時(shí)，h（x）=xf（x）為增函數(shù)，又∵h(yuǎn)（-x）=-xf（-x）=xf（x），則h（x）為偶函數(shù)，即，當(dāng)x<0時(shí)h（x）=xf（x）為減函數(shù)。畫出兩個(gè)函數(shù)圖像如圖1所示，

圖1

又因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)均過原點(diǎn)，因此，函數(shù)g（x）=xf（x）+lg|x+1|零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)，選擇C項(xiàng)。

結(jié)束語

抽象函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位，是高考的熱門考點(diǎn)。教學(xué)中為使學(xué)生掌握相關(guān)的解題思路，提高學(xué)生的解題能力與效率，既要注重函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的講解，又要為學(xué)生灌輸相關(guān)的解題策略，展示相關(guān)習(xí)題的解題過程。另外還應(yīng)要求學(xué)生在解題的過程中多進(jìn)行總結(jié)與反思，掌握不同題型的特點(diǎn)，能夠靈活運(yùn)用所學(xué)的解題策略，實(shí)現(xiàn)高效快速解題。

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