離散分布“兩兄弟”

林益強(qiáng)

摘 要：在人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)·選修2-3》課本中，第二章的2.1.2節(jié)末尾，教材用具體實(shí)例引出了“超幾何分布（hyper-geometric distribution）”的概念，而在2.2.3節(jié)中，教材也是在介紹“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”的前提下，通過實(shí)例探究引出了“二項(xiàng)分布（binomial distribution）”的定義。作為離散型隨即變量的兩種重要分布，教材的設(shè)計(jì)很明顯是希望通過實(shí)例，讓學(xué)生認(rèn)識模型所刻畫的隨機(jī)變量的共同特點(diǎn)，從而建立新的模型，并能運(yùn)用兩模型解決一些實(shí)際問題。然而學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況是怎樣的呢？

關(guān)鍵詞：離散分布;超幾何分布;二項(xiàng)分布;比較學(xué)習(xí)

階段性測試題：某公司生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，從產(chǎn)品中抽取100件作為樣本，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖。從指標(biāo)值落在[215，235]的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件做進(jìn)一步檢測，設(shè)抽取的產(chǎn)品的指標(biāo)在[225，235]的件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

參考答案：指標(biāo)值落在[215，235]的產(chǎn)品有件，產(chǎn)品的指標(biāo)落在[225，235]的件數(shù)為100×0.02=2.所以X的取值為0，1，2;，

，所以X的分布列為：

X的數(shù)學(xué)期望

X 0 1 2

P

學(xué)生的解答：指標(biāo)值落在[215，235]的產(chǎn)品有（件），產(chǎn)品指標(biāo)落在[225，235]的有100×0.02=2件，所以產(chǎn)品指標(biāo)落在[225，235]的概率，∴，則

單從最后的結(jié)果來看，數(shù)學(xué)期望是一樣的，但過程顯然是完全兩回事，學(xué)生誤將超幾何分布問題當(dāng)成二項(xiàng)分布問題來解了，而根本原因是對這兩模型的定義不能很好的理解。我們先一起來看看課本對這兩個(gè)模型的定義：

超幾何分布

一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則，k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列

X 0 1 … m

P …

為超幾何分布列。如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布。

二項(xiàng)分布

一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則。此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B（n，p），并稱p為成功概率。

從兩個(gè)模型的定義來看，隨機(jī)變量X都是在整數(shù)值1，2，3…中取值，所以兩者都屬于離散型隨機(jī)變量。超幾何分布模型的建立是利用抽取產(chǎn)品中次品數(shù)的問題，即在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，無放回的抽取n件，其中恰有的次品數(shù)X服從超幾何分布。而二項(xiàng)分布模型是建立在拋擲圖釘?shù)脑囼?yàn)上，即拋擲圖釘n次，針尖向上的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，其中1次試驗(yàn)過程中，針尖向上的概率即相當(dāng)于N件產(chǎn)品中的次品數(shù)。所以，我們也可以把這個(gè)模型敘述為：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，有放回的抽取n件，其中恰有的次品數(shù)X服從二項(xiàng)分布。這時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)兩種分布的區(qū)別主要是在“有放回”和“無放回”的問題上，即放不放回是區(qū)別的關(guān)鍵。文章開頭引入的測試題，學(xué)生就是將“隨機(jī)抽取2件”當(dāng)成“進(jìn)行2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”來考慮，導(dǎo)致解題的錯(cuò)誤。那為什么在計(jì)算數(shù)學(xué)期望的問題上，兩種的計(jì)算結(jié)果卻是一樣的，難道只是“偶然”嗎？還是兩者之間有什么聯(lián)系呢？

課本中只對二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望做了推導(dǎo)，并沒有對超幾何分布的數(shù)學(xué)期望做介紹，這跟課程對兩種分布的要求不同有關(guān)。我們先來看看課本對于二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望的介紹：如果X～B（n，p），那么由，可得

于是有：若X～B（n，p）則E（x）=np.

接下來，我們試著推導(dǎo)下超幾何分布的數(shù)學(xué)期望：根據(jù)課本定義，若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則：

因此，.

（注：利用恒等式的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)相等可證。）

這時(shí)候，我們會發(fā)現(xiàn)表示的是抽取的這N件產(chǎn)品中的次品率，當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量無限多的話，放不放回對的值幾乎沒有影響的，即=p。這也就是為什么使用不同的分布方法，數(shù)學(xué)期望的結(jié)果卻有可能是相同的。

超幾何分布和二項(xiàng)分布這兩種離散型隨機(jī)變量的概率分布表面上看來風(fēng)馬牛不相及：

1.一種是不放回的隨機(jī)試驗(yàn)，一種是有放回的隨機(jī)試驗(yàn)。

2.二項(xiàng)分布的概率公式的等號右邊可以看成二項(xiàng)展開式的一般項(xiàng)，而超幾何分布的概率公式的等號右邊是超幾何級數(shù)一般項(xiàng)的系數(shù)。

然而，我們通過剛剛的推導(dǎo)分析也發(fā)現(xiàn)，當(dāng)抽取的樣本容量無限大的時(shí)候，放不放回產(chǎn)生的區(qū)別已經(jīng)不是那么明顯了，即兩者所計(jì)算出來的概率值相差無幾了，換而言之超幾何分布的極限就是二項(xiàng)分布！人們在實(shí)際工作中常利用這一點(diǎn)，把抽取對象數(shù)量較大時(shí)的無放回抽樣（例如破壞性試驗(yàn)發(fā)射炮彈;產(chǎn)品的壽命試驗(yàn)等），當(dāng)作有放回來處理。

但是，作為高中教學(xué)的兩個(gè)知識點(diǎn)，本質(zhì)上是不一樣的，如何進(jìn)行區(qū)分顯得更為重要。我們是否能在題目的敘述中找到一些分辨的“蛛絲馬跡”呢？讓我們一起來分析下2020年福州市質(zhì)檢中一道概率統(tǒng)計(jì)題。

（2020·福州質(zhì)檢）某工廠對A，B兩種型號的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，從檢測的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取6次，記錄數(shù)據(jù)如下：

A：8.3，8.4，8.4，8.5，8.5，8.9;

B：7.5，8.2，8.5，8.5，8.8，9.5.（注：數(shù)值越大表示產(chǎn)品質(zhì)量越好）

（1）若要從A，B中選一種型號產(chǎn)品投入生產(chǎn)，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度考慮，你認(rèn)為生產(chǎn)哪種型號產(chǎn)品合適？簡單說明理由;

（2）若將頻率視為概率，對產(chǎn)品A今后的4次檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，記這4次數(shù)據(jù)中不低于8.5分的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及期望E（ξ）.

試題第一問主要是考查了統(tǒng)計(jì)學(xué)中的均值和方差的計(jì)算，通過均值和方差計(jì)算的結(jié)果判定哪種型號產(chǎn)品合適。

參考答案：

（1）A產(chǎn)品的平均數(shù)：.

B產(chǎn)品的平均數(shù)：

A產(chǎn)品的方差：sA2=[（8.3-8.5）2+（8.4-8.5）2+（8.4-8.5）2+（8.5-8.5）2+（8.5-8.5）2+（8.9-8.5）2]≈0.037.

B產(chǎn)品的方差：sB2=[（7.5-8.5）2+（8.2-8.5）2+（8.5-8.5）2+（8.5-8.5）2+（8.8-8.5）2+（9.5-8.5）2]=0.363.

因?yàn)?，sA2<sB2，所以兩種產(chǎn)品的質(zhì)量平均水平一樣，A產(chǎn)品的質(zhì)量更穩(wěn)定，選擇A產(chǎn)品合適。

試題的第二問顯然是考查了隨機(jī)變量的分布問題。題目敘述中“若將頻率視為概率，對產(chǎn)品A今后的4次檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測”這些字眼很關(guān)鍵。為什么要“將頻率視為概率”？因?yàn)槲覀兂槿〉臉颖局挥?個(gè)，但是要預(yù)測的是整條產(chǎn)品線，即檢測的產(chǎn)品有無限多，這些不都體現(xiàn)著二項(xiàng)分布的基本前提，所以參考答案是這么給定的。

（2）由題意得ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，數(shù)據(jù)不低于8.5的頻率為，將頻率視為概率，則ξ～B，所以E（ξ）=.

如果我們把第二問做如下的修改：從已知的6次檢測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取4次，記這4次數(shù)據(jù)中不低于8.5分的次數(shù)為η，求η的分布列及期望E（η）。這樣不就跟我們超幾何分布的模型是一樣的，都是一種不放回的抽樣問題，所以區(qū)分的關(guān)鍵還是在于能否通過字眼的區(qū)別，判斷出是否放回，有放回即體現(xiàn)抽取前后是獨(dú)立的，互不影響的，這是二項(xiàng)分布的前提，而如果是不放回，即體現(xiàn)前面的抽取結(jié)果對后面的抽取是有影響的，這也是超幾何分布模型的特點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)

[1]高延軍.由兩道模擬考試題引發(fā)的思考——超幾何分布與二項(xiàng)分布辨析[J].中國數(shù)學(xué)教育，2013，000（009）：9-10.

[2]匡婷、葛雙林.抓定義透實(shí)質(zhì)——二項(xiàng)分布及其應(yīng)用重難點(diǎn)解析[J].高中生學(xué)習(xí)：試題研究，2017.

[3]賀艷.《超幾何分布與二項(xiàng)分布》教學(xué)設(shè)計(jì)[J].科普童話，2019，000（003）：P.96-96.