基于隨機(jī)參數(shù)線性回歸的交通流速度-密度關(guān)系模型研究

管星宇，潘義勇

(南京林業(yè)大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，南京 210037)

0 引言

交通流基本圖模型是交通流理論的基礎(chǔ)，表征了交通流3個基本參數(shù)之間的關(guān)系：交通流量(輛/h)、速度(km/h)和密度(輛/km)。交通流速度-密度關(guān)系基本圖模型包括確定基本圖模型和隨機(jī)基本圖模型，對交通流基本圖的深入挖掘有利于在交通狀態(tài)識別、交通擁堵分析等領(lǐng)域發(fā)揮重要的作用[1-3]。

針對速度-密度關(guān)系確定基本圖模型研究，Greenshields等[4]提出開創(chuàng)性的速度-密度線性模型，其缺點是在密度值較大或較小時，模型的效果變差。為了克服這個缺點，Greenberg對數(shù)模型[5]、Underwood指數(shù)模型[6]和Northwestern指數(shù)模型相繼被提出[7]，這些模型都是單階段確定性模型。單階段確定性模型采用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)擬合，對數(shù)據(jù)集的分布特征要求較高；模型采用一條曲線表征速度-密度關(guān)系，忽略了交通流異質(zhì)性對速度-密度關(guān)系的影響[8]。

針對速度-密度關(guān)系隨機(jī)基本圖模型的研究，Muralidharan等[9]、Jabari等[10]和Fan等[11]分別針對Triangular模型、Newell模型和Aw-Rascle-Zhang(ARZ)模型推導(dǎo)出速度概率分布函數(shù)和密度關(guān)系模型，但是該方法只適用于特定模型，不能推廣到其他交通流模型。Qu 等[12]提出基于不同分位點構(gòu)建的交通流速度-密度關(guān)系基本圖模型，既解決了模型的適用性問題，又能反映交通流異質(zhì)性對速度-密度關(guān)系的影響，但是不能獲得速度-密度關(guān)系的概率分布特征。

本文采用隨機(jī)參數(shù)線性回歸獲得速度-密度關(guān)系隨機(jī)基本圖模型，隨機(jī)參數(shù)線性回歸在交通領(lǐng)域已經(jīng)有了很多的應(yīng)用[13-14]，該方法通過獲取變量系數(shù)的隨機(jī)概率分布特征，反映出交通流異質(zhì)性對交通流速度-密度關(guān)系的影響，這是本文研究的出發(fā)點。首先，基于隨機(jī)參數(shù)線性回歸建立交通流速度-密度關(guān)系隨機(jī)基本圖模型；其次，利用隨機(jī)參數(shù)線性回歸對實際交通流數(shù)據(jù)進(jìn)行速度-密度關(guān)系進(jìn)行參數(shù)擬合；再次，對隨機(jī)參數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗和誤差分析，并對結(jié)果進(jìn)行數(shù)值分析；最后，總結(jié)了本文的研究成果以及進(jìn)一步研究的方向。

1 隨機(jī)參數(shù)速度-密度基本圖

1.1 隨機(jī)參數(shù)線性回歸

隨機(jī)參數(shù)線性回歸是計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的數(shù)據(jù)分析方法[15]，現(xiàn)已獲得了廣泛的應(yīng)用，其基本的定義為：

yn=βn·xn+εn。

(1)

式中：yn、xn分別為連續(xù)型因變量和自變量數(shù)據(jù)；εn為服從正態(tài)分布N(0,σ2)誤差項；βn為解釋變量的隨機(jī)系數(shù)，隨著觀測值的不同而變化，函數(shù)形式為：

(2)

隨機(jī)參數(shù)的求解是基于Halton序列模擬極大似然估計[13]，Halton序列是一種為數(shù)值方法產(chǎn)生頂點的系列生成算法。

1.2 隨機(jī)參數(shù)速度-密度基本圖模型

將隨機(jī)參數(shù)線性回歸與傳統(tǒng)確定性交通流模型相結(jié)合構(gòu)建隨機(jī)交通流速度-密度基本圖模型，以Greenshields線性模型為例，所建立的隨機(jī)交通流速度-密度模型可以表示為:

vn=an-bn·kn。

(3)

(4)

式中：n為觀測數(shù)據(jù)索引值；an=(vf)n為隨觀測值隨機(jī)變化的自由流速度；bn=(vf/kj)n為自由流速度與堵塞密度的比值，kn為第n個觀測數(shù)據(jù)的交通流密度值。

非線性兩參數(shù)模型的隨機(jī)建模思想是通過對速度、密度數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)的對數(shù)、冪指數(shù)變換，將非線性模型轉(zhuǎn)換成線性模型進(jìn)行參數(shù)求解。表1為基于隨機(jī)參數(shù)線性回歸的速度-密度關(guān)系隨機(jī)基本圖模型。

表1 隨機(jī)參數(shù)交通流速度-密度基本圖模型

2 數(shù)據(jù)來源與分析

TransGuide是德克薩斯州圣安東尼奧市的先進(jìn)交通管理系統(tǒng)，是基于環(huán)形探測器和攝像機(jī)檢測每20 s所有通過車輛的信息[16]，包括車輛的速度、20 s的交通流量以及每輛車通過檢測器的時間。通過TransGuide系統(tǒng)選取單向三車道I-10州際公路(中間車道，傳感器識別號：L2-0010E-562.581)的非開源交通流數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

(5)

k=ο/(l+d)。

(6)

通過對數(shù)據(jù)的篩選，獲取3 256對速度-密度數(shù)據(jù)。表2為不同密度值對應(yīng)的速度分布偏度(Skewness)系數(shù)值(Skewness=0表示對稱分布，Skewness<0表示左偏分布，Skewness>0表示右偏分布)，結(jié)果表明：k=5.03輛/km，速度服從正態(tài)分布；k∈[7, 38]，對應(yīng)速度服從左偏分布；k∈[40, 91]，對應(yīng)速度主要服從右偏分布。圖1選取了3種不同的概率分布形式，隨著密度值的增加，概率最高點的速度值呈現(xiàn)遞減趨勢，速度概率分布逐漸由右偏向左偏過渡。表2和圖1的信息說明在實測的交通流數(shù)據(jù)中，由于交通流異質(zhì)性的影響，不同密度值對應(yīng)的速度是隨機(jī)的，采用隨機(jī)參數(shù)線性回歸方法可以反映出速度-密度的隨機(jī)特性。

圖1 不同密度下的速度分布圖

表2 密度分布Skewness系數(shù)

3 數(shù)值實驗

3.1 參數(shù)擬合

利用LIMDEP 11軟件對表1中交通流速度-密度基本圖模型進(jìn)行固定/隨機(jī)參數(shù)擬合。固定參數(shù)模型擬合使用最大似然估計法來求解參數(shù)值，隨機(jī)參數(shù)模型通過模擬Halton序列最大似然估計法求解隨機(jī)參數(shù)值[11]，考慮計算時長和計算精度，Halton draws值設(shè)置為200。表3為固定/隨機(jī)參數(shù)擬合結(jié)果，表3中a為常系數(shù)、b為自變量系數(shù)，4個模型的參數(shù)a、b含義與表1一致。隨機(jī)參數(shù)線性回歸假定選取的隨機(jī)參數(shù)符合正態(tài)分布，并從3個角度進(jìn)行數(shù)值實驗：a隨機(jī)-b固定、a固定-b隨機(jī)、a隨機(jī)-b隨機(jī)。表3中小括號內(nèi)數(shù)值表示隨機(jī)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，方括號內(nèi)數(shù)值表示參數(shù)假設(shè)檢驗的P值，從表3中P值結(jié)果表明，固定/隨機(jī)參數(shù)模型的擬合結(jié)果較好。表4為固定/隨機(jī)參數(shù)模型的赤池信息準(zhǔn)則值(AIC)，AIC值越小說明模型的擬合優(yōu)良性越好。

表3 固定/隨機(jī)參數(shù)擬合結(jié)果

3.2 誤差分析

對擬合得到4個隨機(jī)參數(shù)交通流速度-密度基本圖模型(a隨機(jī)-b隨機(jī))進(jìn)行平均絕對誤差分析(MAE)，圖2—圖5為隨機(jī)參數(shù)模型的擬合值和實測值的散點圖，圖中紅色圓點表示觀測值散點圖，藍(lán)色圓點表示隨機(jī)參數(shù)模型擬合值的散點圖，綠色曲線表示固定參數(shù)擬合曲線圖，F(xiàn)P_MAE表示固定參數(shù)得到的MAE值，RP_MAE表示隨機(jī)參數(shù)得到的MAE值。

3.3 結(jié)果分析

(1)隨機(jī)參數(shù)交通流速度-密度基本圖模型較固定參數(shù)模型擬合效果好。從模型的擬合精度角度分析，表4的固定/隨機(jī)參數(shù)模型AIC值揭示了2種現(xiàn)象：第一，與傳統(tǒng)的固定參數(shù)回歸模型AIC值相比，a固定-b隨機(jī)、a隨機(jī)-b隨機(jī)所得到的隨機(jī)參數(shù)回歸模型AIC值較低，擬合精度較高；第二，a隨機(jī)-b固定得到的AIC值比固定參數(shù)回歸模型AIC值更高，擬合精度最低。從模型的誤差角度分析，隨機(jī)參數(shù)回歸模型(a隨機(jī)-b隨機(jī))的MAE值低于固定參數(shù)回歸模型的MAE值，4個隨機(jī)模型的MAE值分別降低了57.04%、81.30%、74.48%和52.27%，由圖2—圖5可以看出，與固定參數(shù)回歸得到的確定性曲線不同，隨機(jī)參數(shù)回歸模型可以得到不同密度值下的隨機(jī)速度分布，在密度值大于20輛/km時，隨機(jī)參數(shù)模型的速度擬合值與真實觀測值基本一致。

表4 固定/隨機(jī)參數(shù)模型AIC值

圖2 隨機(jī)Greenshields模型擬合值

圖3 隨機(jī)Greenberg模型擬合值

圖4 隨機(jī)Underwood模型擬合值

圖5 隨機(jī)Northwestern模型擬合值

(2)隨機(jī)參數(shù)線性回歸方法通過參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差反映交通流異質(zhì)性對速度的影響，以Greenshields模型為例，表1中固定參數(shù)Greenshields模型表達(dá)式為：v=71.493 2-0.633 06·k，固定參數(shù)模型得到一條擬合曲線來表征I-10數(shù)據(jù)集的速度-密度變化特征，反映了不同密度的速度均值變化，無法體現(xiàn)出交通流異質(zhì)性對交通流的影響。而隨機(jī)參數(shù)模型將交通流中人、車、路和環(huán)境的異質(zhì)性對交通流的影響用概率分布的形式體現(xiàn)出來，隨機(jī)參數(shù)Greenshields模型常系數(shù)vf服從均值為68.166 1，標(biāo)準(zhǔn)差為0.966 75的正態(tài)分布，自由流速度有95%的概率落在66.271 3～70.060 9；變量系數(shù)vf/kj服從均值為-0.432 60，標(biāo)準(zhǔn)差為0.222 72的正態(tài)分布，說明97.395%的變量系數(shù)值為負(fù)值，速度隨著密度的增大而降低，而2.605%的變量系數(shù)值為正值，表明在真實的交通流狀態(tài)下，由于交通流異質(zhì)性的影響，速度有2.605%的概率會隨著密度的增大而增大。

(3)隨機(jī)參數(shù)線性回歸方法適用于不同的交通流速度-密度基本圖模型，不同的隨機(jī)參數(shù)交通流速度-密度基本圖模型對數(shù)據(jù)的擬合效果也不同。從擬合結(jié)果分析，通過對模型進(jìn)行線性轉(zhuǎn)換，不同模型的常系數(shù)、變量系數(shù)結(jié)果完全不同，Underwood模型的常系數(shù)服從均值為4.227 41，標(biāo)準(zhǔn)差為0.002 70的正態(tài)分布，Northwestern模型的常系數(shù)服從均值為4.182 40，標(biāo)準(zhǔn)差為0.003 11的正態(tài)分布，相較于Underword模型，Northwestem模型對密度進(jìn)行平方化處理后，得到的自由流速度降低，但是自由流速度變化的范圍增大。從擬合散點圖來分析，不同的模型得到了不同的速度擬合值，在密度值較高時，4個模型都表現(xiàn)出了良好的擬合精度，而受到模型自身特點的影響，4個模型在低密度狀態(tài)下表現(xiàn)出了不同的速度變化特點，Greenberg模型對密度進(jìn)行了對數(shù)化處理，因此在低密度情況下，速度與密度對數(shù)化后的分布較為離散，低密度下得到的速度分布較為分散，比較貼近真實的數(shù)據(jù)分布；Northwestern模型在數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換后，低密度下的數(shù)據(jù)較為密集，因此其低密度下的速度值變化接近一條直線；而Underwood模型的數(shù)據(jù)經(jīng)過轉(zhuǎn)換后的分布與Greenshields模型類似，因此，兩者之間隨機(jī)參數(shù)擬合得到的散點圖最為相似。

4 結(jié)論

針對交通流速度-密度關(guān)系基本圖問題，引入隨機(jī)參數(shù)線性回歸建立隨機(jī)交通流速度-密度關(guān)系基本圖模型，數(shù)值實驗獲取隨機(jī)模型參數(shù)的概率分布函數(shù)，并進(jìn)行了參數(shù)檢驗和誤差分析，數(shù)值實驗結(jié)果表明：與固定參數(shù)交通流速度-密度關(guān)系基本圖模型相比，隨機(jī)參數(shù)交通流速度-密度基本圖模型考慮了影響交通流的異質(zhì)性因素，反映出交通流異質(zhì)性對交通流速度-密度關(guān)系的影響；提出的方法為交通流基本圖隨機(jī)模型構(gòu)建了一個方法論，可以與不同的交通流速度-密度關(guān)系基本圖模型相結(jié)合；隨機(jī)參數(shù)模型MAE值較低，擬合結(jié)果貼近于真實數(shù)據(jù)，可以考慮將隨機(jī)模型運用于交通流的建模和仿真中，提高仿真的維度和靈活性。本文提出的模型獲取的自由流速度變化范圍較小，無法反映低密度狀態(tài)異質(zhì)性對交通流速度-密度關(guān)系的影響，進(jìn)一步研究需要考慮數(shù)據(jù)不同分位區(qū)段的隨機(jī)交通流速度-密度關(guān)系分布特征。