操千曲而后曉聲 觀千劍而后識(shí)器
——用對(duì)數(shù)平均不等式妙解導(dǎo)數(shù)題

盧會(huì)玉

(甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué) 735100)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中提出：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)和未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).其中“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”在筆者看來就是從對(duì)知識(shí)的點(diǎn)滴積累再升華為能力的過程.高中數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是高三后期的教學(xué)中，解題教學(xué)成為了不可缺少的環(huán)節(jié)，那么積累經(jīng)驗(yàn)、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、提升思想就成為每一個(gè)高三人必須要做的事情.對(duì)于學(xué)生而言，他們?cè)讵?dú)立思考的過程中，在聽老師講授的過程中以及和同學(xué)相互探究的過程中所獲得的解題經(jīng)驗(yàn)，就成為思考下一個(gè)問題的利劍.

很顯然，只有不斷積累、不斷提升，才能觸類旁通.在距離高考越來越近的日子里，筆者認(rèn)為，基于“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的解題不失為高效率的學(xué)習(xí)方法之一.基于這個(gè)理念，設(shè)計(jì)了以導(dǎo)數(shù)為背景的專題課.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1和x2，記過點(diǎn)A(x1，f(x1)),B(x2，f(x2))的直線的斜率為k，問：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1和x2，記過點(diǎn)A(x1，f(x1)),B(x2，f(x2))的直線的斜率為k，問：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

很明顯這三個(gè)題的相似度非常高，所以筆者刻意地將這三道題的第二問放在一起進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)基本相同，都是已知f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1和x2，都是要研究斜率k與2-a的關(guān)系.

第一問比較常規(guī)，求導(dǎo)之后通分發(fā)現(xiàn)分子上面是二次函數(shù)，所以我們既要考慮判別式，還要考慮定義域，綜合討論得出結(jié)論.解法如下：

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0，此時(shí)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，判別式Δ=a2-4，

①當(dāng)Δ≤0，即0

當(dāng)x∈(0,x1),(x2,+∞)時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在(x1,x2)上單調(diào)遞增.

綜上可知，當(dāng)a≤2時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>2時(shí)，f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上單調(diào)遞減，在(x1,x2)上單調(diào)遞增.

2018年高考Ⅱ卷21題的第二問相對(duì)要有難度一些，但是也有幾種適合學(xué)生的做法.

對(duì)數(shù)平均不等式讓很多學(xué)生的眼前一亮，都覺得真是一個(gè)解題神器！話說回來，導(dǎo)數(shù)題確實(shí)讓很多學(xué)生望而生畏，但它又不是那么不可高攀.如果在平時(shí)的學(xué)習(xí)中善于學(xué)習(xí)，善于積累，更能做到觸類旁通的話，那學(xué)習(xí)就會(huì)更輕松,所以必要的練習(xí)還是要有的.于是筆者又設(shè)計(jì)了如下的題目讓學(xué)生挑戰(zhàn).

練習(xí)已知函數(shù)f(x)=ex-x-m(m∈R)，若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1和x2，求證x1+x2<0.

本題乍一看去并不像對(duì)數(shù)平均不等式的直接應(yīng)用，甚至有學(xué)生懷疑筆者是不是把題寫錯(cuò)了，然而還是有學(xué)生能看破玄機(jī)的.

2019年考試大綱中提到的“能力”是指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).很顯然，今天所遇見的問題除了沒有涉及空間想象能力，其他的都進(jìn)行了深入的考查，甚至對(duì)學(xué)生的意志品質(zhì)也是一種考驗(yàn).那么如何才能有能力？怎么才能有很好的個(gè)性品質(zhì)？唯有一如既往地重視學(xué)生所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).因?yàn)閯③牡摹段男牡颀垺ぶ簟分性缇驼f過“操千曲而后曉聲，觀千劍而后識(shí)器.”正所謂十年磨一劍，一朝試鋒芒，我們要不斷積蓄力量，保持長(zhǎng)久的激情，方可到達(dá)勝利的彼岸.