深部富水巖石拱形隧道地震響應(yīng)解析解

禹海濤，陳功

(1.同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，上海，200092；2.同濟大學(xué)巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海，200092；3.同濟大學(xué)地下建筑與工程系，上海，200092)

隨著我國西部交通基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)的不斷推進，地下工程發(fā)展迅速，目前已建設(shè)大量山嶺隧道，這些隧道具有埋深大、地層條件復(fù)雜等特點。近年來地震頻發(fā)，如日本阪神地震[1]、中國臺灣地震[2]、中國汶川地震等[3]均對山嶺隧道造成了不同程度損壞，引起了研究者和工程設(shè)計人員的廣泛關(guān)注。在實際工程中，巖石隧道往往采用拱形斷面形式，其地震響應(yīng)特征與圓形隧道相比較復(fù)雜。而對于穿越富水地層的隧道，地下水的存在往往會使其地震響應(yīng)更加復(fù)雜，因此，研究深部富水巖石拱形隧道的地震響應(yīng)具有實際意義。目前，針對隧道結(jié)構(gòu)的抗震研究以數(shù)值模擬或模型試驗為主。如AMOROSI 等[4]采用有限元方法研究了黏性地層中圓形隧道的橫向地震響應(yīng)；PARK 等[5]通過在隧道地震響應(yīng)分析中引入擬靜力假定，提出了一種簡化的三維有限元分析方法；YU等[6?8]采用多尺度方法分析了長隧道在一致和非一致地震作用下的動力響應(yīng)規(guī)律；袁勇等[9?12]基于多臺面振動臺模型試驗，研究了長大隧道在非一致激勵下的地震響應(yīng)機制；對于拱形隧道，信春雷等[13]通過振動臺模型試驗研究了跨斷層拱形隧道的減隔震方法，施有志等[14]建立三維有限元模型研究了大斷面拱形雙隧道的地震響應(yīng)特征。采用數(shù)值方法進行隧道地震響應(yīng)分析耗時較長，同時計算結(jié)果易受地層的本構(gòu)參數(shù)、地層?結(jié)構(gòu)相互作用方式、人工邊界等多因素影響，而模型試驗方法成本較高且費時費力，故這2種方法均不便于直接應(yīng)用于實際工程設(shè)計。目前工程設(shè)計通常采用擬靜力法如自由場變形法、地層?結(jié)構(gòu)相互作用法進行隧道地震響應(yīng)分析。自由場變形法將地震動的自由場變形直接施加在襯砌上，然后計算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力?；诖朔椒?，KUESEL等[15]為舊金山的明挖與暗挖矩形隧道提出了一個通用的設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)。但隧道會改變地層的地震動特性，使得自由場變形法計算得到的結(jié)果往往誤差較大，因而，工程設(shè)計一般采用精度更高的地層?結(jié)構(gòu)相互作用法。目前，許多研究者基于該方法提出了計算地震響應(yīng)的解析方法。BOBET 等[16?18]考慮了隧道深埋與淺埋以及地層排水與不排水等條件，推導(dǎo)了圓形隧道的地震響應(yīng)解析解。針對矩形隧道，HUO等[19?20]對深埋條件下矩形隧道進行了解答。此類解析方法具有使用方便、計算效率高、參數(shù)易選取等優(yōu)點，在實際工程中備受設(shè)計人員青睞，但目前研究僅限于圓形或矩形等簡單截面形狀。本文基于地層?結(jié)構(gòu)相互作用的擬靜力方法，綜合考慮地層不排水(undrained)與全排水(drained)這2 種典型工況以及地層?結(jié)構(gòu)交界面上不滑移(no-slip)和全滑移(fullslip)這2種接觸條件，使用保角映射方法，推導(dǎo)深部富水巖石拱形隧道地震響應(yīng)解析解。通過與有限元模擬結(jié)果對比分析，驗證本文解析解的有效性。在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用該解析解對地層?結(jié)構(gòu)相對剛度比、地層?結(jié)構(gòu)接觸條件、地層排水條件、襯砌厚度等因素對深埋拱形隧道地震響應(yīng)的影響規(guī)律進行分析。

1 模型假定與控制方程

本文針對地震剪切波作用下的深部富水巖石拱形隧道結(jié)構(gòu)進行研究。隧道?地層相互作用體系和坐標(biāo)系如圖1所示，其中，Eg和El分別為地層和襯砌的彈性模量，vg和vl分別為地層和襯砌的泊松比，τ為地震荷載擬靜力等價的遠場剪應(yīng)力，φ為襯砌任一位置點關(guān)于x軸的夾角，δ為襯砌厚度。

圖1 遠場剪應(yīng)力作用下的深部富水巖石拱形隧道Fig.1 Deep arch tunnel subjected to far-field shear loading

1.1 基本假定

在推導(dǎo)計算中進行如下假定：

1)地層與襯砌沿縱向的應(yīng)變均為0，計算模型滿足平面應(yīng)變假設(shè)。

2)采用多孔介質(zhì)模型計算地層，地層為飽和各向同性線彈性體，襯砌為各向同性線彈性體。

3)鑒于隧道埋深較大，在地震響應(yīng)分析的擬靜力方法中，可將地震荷載簡化為遠場剪應(yīng)力。

4)襯砌厚度相比隧道高度可以忽略，采用殼體模型計算襯砌受力。

襯砌的控制方程可以由彈性力學(xué)中殼體的一般理論得到[23?24]。

1.2 控制方程

1.2.1 地層

根據(jù)多孔介質(zhì)理論[21]，平面應(yīng)變條件下地層的應(yīng)力可以通過Airy應(yīng)力勢函數(shù)φ表示。在圖1所示的xOy坐標(biāo)系下有

式中：σgx，σgy和τgxy為地層中任一點的應(yīng)力分量，σgx′和σgx′為地層中任一點的有效應(yīng)力分量，以受拉為正；u為地層中任一點的孔隙水壓力。在平面應(yīng)變條件下φ和u滿足如下關(guān)系

式中：K為地層的滲透系數(shù)；γw為水的重度；ζ為地層中任一點體積含水率的變化量；t為時間；?2為Laplace算子。

對飽和地層的地震響應(yīng)進行分析時，通常假設(shè)地層不排水和全排水這2個極端工況，以簡化分析過程[16?17,22]。對于不排水工況，即在地震作用的瞬間，地層中的超孔壓沒有來得及消散，此時地層中流體的體積變化為0(ζ=0)。則土骨架的體積應(yīng)變?yōu)?，有

將式(3)代入式(1)，有

對于全排水工況即地震引起的超孔壓完全消散，u為0，計算模型等價于地層無水條件，式(2)均退化為?2(?2φ)=0。

采用復(fù)應(yīng)力勢函數(shù)φ(z)和ψ(z)表示Airy應(yīng)力勢函數(shù)，則在不排水與全排水條件下，飽和地層的應(yīng)力與位移可以表示為[22]

式中：z=x+iy，i為虛數(shù)單位；Gg為地層的剪切模量。對于不排水條件，κ=1，對于全排水條件，κ=3-4vg；vg為地層的泊松比。

1.2.2 襯砌

襯砌的控制方程可以由彈性力學(xué)中殼體的一般理論得到[23]。

式中：T與M分別為襯砌單位縱截面上的軸力與彎矩；s為襯砌的弧長；δ為襯砌的厚度；El與vl分別為襯砌的彈性模量與泊松比。襯砌的平衡方程為

將式(6)代入式(7)，可以得到襯砌受力與位移之間的關(guān)系：

式中：σlρ和σlθ為襯砌與地層的法向和切向接觸應(yīng)力；ulρ和ulθ分別為襯砌的法向和切向位移；K為襯砌上任一點的曲率；K′=dK/ds。襯砌受力與位移如圖2所示。

圖2 襯砌受力與位移Fig.2 Stresses and displacements of liner

1.2.3 邊界條件

對于遠場邊界條件，根據(jù)擬靜力假定，地震剪切波可以簡化為遠場剪應(yīng)力，剪應(yīng)力為[17?19]

式中：vmax為地震動的峰值速度；vS為場地剪切波速。地層與襯砌不滑移時，即地層與襯砌的應(yīng)力與位移在接觸面上連續(xù)，有

地層?結(jié)構(gòu)完全滑移即地層與襯砌的法向應(yīng)力與法向位移在接觸面上連續(xù)，且切向應(yīng)力為0時，有

2 解析解

2.1 保角變換

使用保角變換方法，將z平面上的拱形隧道映射成ζ平面上的單位圓Θ=eiθ，建立地層的應(yīng)力與位移的解析表達式。保角映射的一般表達式為[25]

式中：R和Ck為實常數(shù)。將ζ平面上的極坐標(biāo)ζ=ρeiθ代入式(12)，可以得到z平面上一個正交坐標(biāo)系{ρ,θ}，如圖3所示。

圖3 {ρ,θ}坐標(biāo)線Fig.3 Coordinate lines of{ρ,θ}

地層受遠場剪應(yīng)力τ作用，地層的復(fù)勢函數(shù)可以表達成如下形式[25]：

式中：ak和bk為實數(shù)；i 為虛數(shù)單位。為了簡化分析，在計算中只考慮級數(shù)中的前N項，本文取N=100，并記

根據(jù)彈性力學(xué)中的轉(zhuǎn)軸公式，{x,y}坐標(biāo)系與{ρ,θ}坐標(biāo)系下的應(yīng)力與位移有如下關(guān)系：

將式(12)與式(16)代入式(7)，可以求解出{ρ,θ}坐標(biāo)系中地層?結(jié)構(gòu)交界面上的應(yīng)力與位移分量：

式(17)中應(yīng)力位移均為φ1(Θ)，ψ1(Θ)及其導(dǎo)數(shù)與共軛函數(shù)的線性組合。因此，和ugθ關(guān)于Θ的Laurent 級數(shù)展開式的各階系數(shù)可以表示為Xk的線性組合：

式中：為k階Laurent 系數(shù)中Xj的系數(shù)；為常數(shù)項。

式(18)給出了{ρ,θ}坐標(biāo)系下地層?結(jié)構(gòu)接觸面上地層的應(yīng)力與位移，可結(jié)合襯砌的控制方程與邊界條件建立σρg，，ugρ和ugθ之間的關(guān)系式。為此，將式(8)改寫成{ρ,θ}坐標(biāo)系下的微分方程，有

式中：A*k和Kk分別為1/|ω′(Θ)|和K的各階傅里葉系數(shù)；i 為虛數(shù)單位；1/|ω′(Θ)|和K可以由式(13)計算。

2.2 求解待定系數(shù)

2.2.1 地層?結(jié)構(gòu)不滑移條件

當(dāng)?shù)貙?結(jié)構(gòu)不滑移時，將式(10)，(18)和(19)代入式(8)。因為式(8)是關(guān)于σρl，，ulρ和ulθ的線性微分方程，故該方程左側(cè)同樣可以展開為關(guān)于Θ的Laurent級數(shù)，其各階系數(shù)為Xk的線性組合，有

對于任意取值的Θ，式(20)均成立，故其中各階Laurent系數(shù)均為0，有

則待定系數(shù)Xk可由式(21)解出。

2.2.2 地層?結(jié)構(gòu)全滑移條件

當(dāng)?shù)貙?結(jié)構(gòu)全滑移時，將襯砌的切向位移ulθ進行傅里葉展開，有

記X2N+1+k=dk，其中，k=0,1,…,N。將式(11)，(18)，(19)和(22)代入式(8)，有

將地層?結(jié)構(gòu)接觸面切向應(yīng)力=0 代入式(18)，有

聯(lián)立式(23)和(24)，可求解出待定系數(shù)Xk。

2.3 襯砌與地層的地震響應(yīng)

將式(12)代入式(5)，有

將所求Xk代入式(12)，可以計算地層任意一點上的φ1(ζ)和ψ1(ζ)。則地層中各點的應(yīng)力與位移分量可由式(23)求得。

當(dāng)?shù)貙?結(jié)構(gòu)不滑移時，將所求Xk代入式(15)可求出襯砌的法向與切向位移ulρ和ulθ。當(dāng)?shù)貙?結(jié)構(gòu)全滑移時，將Xk分別代入式(15)和(20)可求出ulρ和ulθ，則襯砌的軸力T與彎矩M可以由式(6)計算[20]。

3 數(shù)值驗證

建立基于ABAQUS 有限元軟件的基準(zhǔn)模型，以驗證本文解析解的正確性。假設(shè)某拱形隧道高為6.45 m，寬為7.3 m，襯砌厚度δ為0.5 m，彈性模量El為30 GPa，泊松比vl為0.2。圍巖彈性模量Eg為10 GPa和5 GPa，泊松比vg為0.25。隧道映射函 數(shù)ω(ζ)的各項系數(shù)為[26]：R=3.409，C0=-0.067 3，C1=-0.059 3，C2=0.067 2，C3=-0.002 8，C4=-0.0211，C5=0.007 4。

隧道襯砌用梁單元模擬，富水地層用四結(jié)點平面應(yīng)變孔壓單元模擬，遠場剪應(yīng)力取為τ=1 MPa。對于不排水條件，采用soil 分析步計算地震荷載施加的瞬態(tài)響應(yīng)；對于不滑移條件，地層?結(jié)構(gòu)接觸面使用綁定約束；對于全滑移條件，地層?結(jié)構(gòu)間法向為硬接觸，切向為無摩擦接觸面。襯砌內(nèi)邊界的切向正應(yīng)力為σθ=T/δ+Mδ/(2I)(式中，I為襯砌單位縱截面的轉(zhuǎn)動慣量，I=δ3/12)。

圖4所示為不排水不滑移、不排水全滑移、全排水不滑移、全排水全滑移條件下有限元數(shù)值方法與本解析方法的結(jié)果對比。從圖4可以看出本文解析解與數(shù)值解基本一致，從而驗證了本文解析解的正確性。

圖4 拱形隧道地震響應(yīng)對比驗證Fig.4 Comparisons of seismic responses of arch tunnels between FEM model and analytical solutions

4 參數(shù)化分析

應(yīng)用本文解析解可以方便地分析各關(guān)鍵參數(shù)對隧道內(nèi)力響應(yīng)的影響，本節(jié)選取地層?結(jié)構(gòu)相對剛度比、襯砌厚度等關(guān)鍵參數(shù)進行敏感性分析，并比較地層不同排水條件、地層?結(jié)構(gòu)不同接觸條件下隧道的地震響應(yīng)特性。

4.1 地層?結(jié)構(gòu)相對剛度比的影響

通常隧道的地震響應(yīng)主要受控于結(jié)構(gòu)?地層相對剛度比。地層?結(jié)構(gòu)相對剛度一般由柔度比(flexibility ratio)或剛度比(stiffness ratio)描述，兩者互為倒數(shù)。參考圓形隧道柔度比的定義[16]，定義拱形隧道的柔度比F為

通過改變地層的彈性模量，分析柔度比對隧道地震響應(yīng)的影響，地層彈性模量取0～7.703 GPa。圖5所示為柔度比對襯砌內(nèi)邊界上歸一化切向正應(yīng)力σθ/τ最大值的影響規(guī)律。從圖5可見：隨著柔度比增大，隧道的最大內(nèi)力響應(yīng)逐漸減小，且最大內(nèi)力響應(yīng)在柔度比較小時速率降低較快，而隨著柔度比增大趨于平緩；當(dāng)柔度比F較大時，隧道的最大內(nèi)力響應(yīng)對柔度不太敏感；在地層?結(jié)構(gòu)不滑移條件下，當(dāng)柔度比較小時，隧道的最大內(nèi)力響應(yīng)受地層排水條件影響較小，而當(dāng)柔度比較大時，隧道的最大內(nèi)力響應(yīng)在全排水條件下較大；在地層?結(jié)構(gòu)全滑移時，全排水條件時的響應(yīng)均略大于不排水條件時的響應(yīng)；在相同的地層排水條件下，地層?結(jié)構(gòu)不滑移時的響應(yīng)大于全滑移時的響應(yīng)。

圖5 柔度比對拱形隧道最大內(nèi)力響應(yīng)的影響Fig.5 Effects of flexibility ratio on the maximum stress responses of arch tunnels

圖6所示為柔度比對隧道歸一化法向位移2Gulρ/(τR)最大值的影響規(guī)律。從圖6可見：與隧道的內(nèi)力響應(yīng)不同，隧道的最大位移響應(yīng)隨著柔度比增大而增大；當(dāng)柔度比F較大時，隧道的最大位移響應(yīng)受地層排水條件影響較大，全排水條件下隧道的位移響應(yīng)顯著大于不排水條件的響應(yīng)；當(dāng)?shù)貙硬慌潘畷r，不滑移與全滑移接觸條件下隧道的最大位移響應(yīng)差別很小。

圖6 柔度比對隧道最大法向位移響應(yīng)的影響Fig.6 Effects of flexibility ratio on the maximum displacement responses of arch tunnels

4.2 襯砌厚度的影響

圖7所示為不排水不滑移條件下，不同厚度隧道的彎矩、軸力、襯砌內(nèi)邊界切向應(yīng)力的分布關(guān)系。由圖7可見：隨著襯砌厚度增大，隧道的彎矩響應(yīng)顯著增大，不同厚度下隧道的彎矩響應(yīng)相差較大；對于軸力響應(yīng)，襯砌厚度增大會導(dǎo)致軸力逐步增大，但增大速率較??；而對于襯砌內(nèi)邊界切向應(yīng)力與襯砌的法向位移，增大襯砌的厚度并不會使其出現(xiàn)較大變化。因此，在巖石地層隧道結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計中，應(yīng)綜合考慮結(jié)構(gòu)內(nèi)力、應(yīng)力與位移響應(yīng)選擇合適的襯砌厚度。

圖7 不排水條件下襯砌厚度對拱形隧道內(nèi)力響應(yīng)的影響Fig.7 Effects of thickness of liner on stress responses of arch tunnels with undrained condition

5 結(jié)論

1)基于保角映射與復(fù)變函數(shù)方法推導(dǎo)出深部富水巖石拱形隧道地震響應(yīng)解析解，并綜合考慮了地層不排水與全排水以及地層?隧道接觸面上不滑移與全滑移等條件。通過與有限元數(shù)值結(jié)果對比分析，驗證了本解析方法的正確性，表明本解析解可以精確描述拱形隧道的地震響應(yīng)，從而為深部富水巖石拱形隧道地震響應(yīng)分析和抗震設(shè)計提供了新的快速計算方法。

2)隨著地層?結(jié)構(gòu)柔度比增大，隧道的最大內(nèi)力響應(yīng)減小，而最大位移響應(yīng)增大。相比地層不排水條件，全排水條件下隧道地震響應(yīng)均較小，因此，富水巖石地層隧道結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計應(yīng)重視排水條件的影響。

3)地層?結(jié)構(gòu)不滑移條件的隧道內(nèi)力響應(yīng)大于全滑移條件的響應(yīng)。在地層全排水時，不滑移條件的隧道位移響應(yīng)小于全滑移時的位移響應(yīng)，而在地層不排水時，不滑移與全滑移接觸條件下隧道的位移響應(yīng)基本接近。因此，實際隧道抗震設(shè)計應(yīng)綜合考慮地層?結(jié)構(gòu)之間的全滑移和不滑移這2種極端接觸狀態(tài)。

4)襯砌厚度對襯砌的內(nèi)力與彎矩響應(yīng)均有顯著影響，但對襯砌的最大法向位移和內(nèi)邊界切向應(yīng)力影響可以忽略不計。因此，在結(jié)構(gòu)設(shè)計中應(yīng)該合理選取襯砌厚度，避免通過盲目提高襯砌厚度來提高結(jié)構(gòu)的抗震性能。