用“思維”讓學(xué)生“看見”圖形
——兼評《認(rèn)識線段》教學(xué)設(shè)計(jì)

文|潘小福（特級教師）

幾何學(xué)概念的基礎(chǔ)是圖形，圖形相對于數(shù)量而言似乎更為直觀，因此在幾何圖形的概念教學(xué)中，我們一直存在一個(gè)認(rèn)知偏差，總認(rèn)為幾何學(xué)概念更容易感知對象，相對于代數(shù)而言更容易抽象。事實(shí)上，事物越是直觀，越是與日常生活聯(lián)系密切，抽象就越難。因此，在認(rèn)識圖形的教學(xué)過程中，尤其是低年級學(xué)生，需要通過豐富的實(shí)踐和操作活動，積極引導(dǎo)學(xué)生開展抽象、想象、描述等數(shù)學(xué)思維活動，才能用“思維”讓學(xué)生“看見”圖形。

一、現(xiàn)象與本質(zhì)的思考

復(fù)旦大學(xué)王德峰教授在一次“西方的知識是怎么來的”主題講座中，舉了“水結(jié)成冰”的例子，“水”和“冰”都可以通過感官知覺到，而“結(jié)成”是無法直接感知的，需要通過思維才能形成概念，并成為經(jīng)驗(yàn)。由“水結(jié)成冰”引發(fā)了我們關(guān)于幾何學(xué)概念教學(xué)的現(xiàn)象與本質(zhì)的思考與探討。

關(guān)于幾何學(xué)概念的抽象問題，數(shù)學(xué)歷史發(fā)展中有著“唯實(shí)論”和“唯名論”的爭論。柏拉圖認(rèn)為通過肉眼看到的圖形是一般意義上存在的圖形的影子，一般意義上的圖形是真正存在的，這種存在要通過“思想”才能“看”到。作為柏拉圖的學(xué)生，亞里士多德卻認(rèn)為，一般概念是人從感性的經(jīng)驗(yàn)中通過直觀和抽象獲得的，這些一般概念只存在于我們的主觀意識之中，而不是看得見摸得著的客觀存在。“唯實(shí)論”“唯名論”的爭論曠日持久，各有價(jià)值。但是從幾何學(xué)概念的教學(xué)角度而言，都要關(guān)注現(xiàn)象與本質(zhì)，讓學(xué)生從感性經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，然后通過數(shù)學(xué)的方法，經(jīng)歷思維的過程，獲得更為一般的幾何學(xué)概念。

歷來，小學(xué)數(shù)學(xué)教材也正是這樣進(jìn)行編寫的。以蘇教版教材為例。圖1為一年級下冊《認(rèn)識圖形（二）》的教材，先讓學(xué)生玩積木，積累起充分的感性經(jīng)驗(yàn)，再讓學(xué)生把長方體上的面畫下來，形成對圖形的直觀感知，為了讓學(xué)生初步形成長方形的概念，必須借助于數(shù)學(xué)的抽象，引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維：從長方體上畫下的面都是長方形嗎？從長方體不同的面上畫出的長方形是不一樣的，但都可以用怎樣的圖形來表示？長方形還可以有不一樣的嗎？幫助學(xué)生跳出“影子”或“客觀存在”，由現(xiàn)象至本質(zhì)，初步認(rèn)識到“長方形”是“一般概念”，不是某一具體的存在，是“思想”的“產(chǎn)物”。

圖1

類似的，蘇教版二年級上冊“厘米和米”單元第一課時(shí)《認(rèn)識線段》的教材（如圖2），也是通過“拉一拉”“找一找”“折一折”“畫一畫”等一系列活動，從感性的經(jīng)驗(yàn)中感悟、體驗(yàn)線段的本質(zhì)屬性，形成線段的一般概念。特別是“折一折”的活動，把線段置于平面圖形中，還原線段作為構(gòu)成平面圖形要素的本來面目，引導(dǎo)學(xué)生正確把握線段的概念恰到好處。

圖2

二、內(nèi)容到目標(biāo)的解析

基于小學(xué)生的年齡特點(diǎn)及認(rèn)知規(guī)律，以“思”“見”圖的要求是逐步遞進(jìn)的，“思”的方法，“見”的程度都是分階段達(dá)成的，不是一次性完成的。因此，每一幾何學(xué)概念的編排都是螺旋式的，教學(xué)目標(biāo)都是階段遞進(jìn)，其內(nèi)在存在著特定的結(jié)構(gòu)性與邏輯遞進(jìn)性。

內(nèi)容編排螺旋上升。小學(xué)階段教學(xué)幾何學(xué)的概念，都會根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，采用螺旋上升的方式分成幾段教學(xué)，讓認(rèn)識逐步深化。例如，蘇教版教材對幾何學(xué)概念的編排有著獨(dú)有的體系，先是直觀認(rèn)識立體圖形，整體感知立體圖形的形狀，識別這些圖形，形成初步的表象，并初步感知平面圖形和曲面圖形的區(qū)別；然后再通過在立體圖形上找平面圖形的方式，直觀認(rèn)識平面圖形，整體感知，形成初步表象，初步感知直邊圖形和曲邊圖形的區(qū)別；在此基礎(chǔ)上，直觀認(rèn)識“線段”和“角”，通過構(gòu)成圖形的要素——“邊”和“角”，認(rèn)識平面圖形；在認(rèn)識圖形的特征時(shí)，先認(rèn)識長、正方形的特征，繼而深入認(rèn)識“線段、直線、射線”“角”“垂直與平行”，再認(rèn)識平行四邊形、三角形、梯形、圓的特征，并把軸對稱圖形、旋轉(zhuǎn)與平移、圖形的放大與縮小穿插其中，形成對平面圖形的完整認(rèn)知。這樣的編排不追求一下子讓學(xué)生全部“看清”圖形，而是在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，開展適切的思維活動，恰當(dāng)?shù)亍耙姟钡綀D形。

教學(xué)目標(biāo)階段遞進(jìn)。循著螺旋上升的教學(xué)內(nèi)容的編排，相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)也是分學(xué)段邏輯遞進(jìn)的。第一學(xué)段的教學(xué)目標(biāo)主要是“辨認(rèn)”立體圖形或平面圖形，“初步認(rèn)識”長方形和正方形的特征，“了解”直角、銳角和鈍角。第二學(xué)段的教學(xué)目標(biāo)主要是“認(rèn)識”三角形、平行四邊形、梯形和圓，“認(rèn)識”長方體、正方體、圓柱和圓錐，“知道”平角與周角，“了解”平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。按照《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的設(shè)計(jì)，作為結(jié)果目標(biāo)的行為動詞，“了解”“知道”和“初步認(rèn)識”是同類詞，是指“從具體實(shí)例中知道或舉例說明對象的有關(guān)特征；根據(jù)對象的特征，從具體情境中辨認(rèn)或者舉例說明對象”?！罢J(rèn)識”和“理解”是同義詞，是指“描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別與聯(lián)系”。第一學(xué)段，學(xué)生對圖形的認(rèn)識主要定位于結(jié)合具體實(shí)例，能夠辨認(rèn)或舉例說明，即對圖形形成整體的、直觀的認(rèn)識。第二學(xué)段，學(xué)生對圖形的認(rèn)識不僅能夠描述圖形的特征，還要能夠闡述圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系，形成相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即對圖形形成分析的、抽象的甚至關(guān)聯(lián)的認(rèn)識。

基于此，對二年級上冊“認(rèn)識線段”的教學(xué)，要從整體上理清教材的編排，要依據(jù)學(xué)段把握“直觀認(rèn)識”的教學(xué)目標(biāo)。蘇教版教材對“線段的認(rèn)識”是分兩次編排的，一次是在二年級上冊“厘米和米”單元，第二次是在四年級上冊“垂線與平行線”單元。二年級時(shí)，通過豐富的“做數(shù)學(xué)”活動，在充分的直接經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，形成“直直的”“有兩個(gè)端點(diǎn)”的認(rèn)識，并據(jù)此能夠“辨認(rèn)”出線段來，特別是初步理解到線段是構(gòu)成其他平面圖形的要素，要能初步脫離具體事物“想象”出線段；而到四年級時(shí)，不再借助直觀感知經(jīng)驗(yàn)，通過線段的端點(diǎn)向一邊或兩邊無限延長，引出射線、直線，借助數(shù)學(xué)的思維，理解幾何概念之間的聯(lián)系。只有整體把握了教材的編排和教學(xué)目標(biāo)，才能在二年級時(shí)準(zhǔn)確定位目標(biāo)，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方式讓學(xué)生“思”得起來，也才能“見”得合理。

三、經(jīng)歷至思維的升華

以“思”“見”圖，“思”就是要培養(yǎng)學(xué)生對幾何學(xué)概念的抽象、歸納能力，這種能力不是與生俱來的，必須要系統(tǒng)培養(yǎng)，只有這樣，才能真“見”到幾何學(xué)概念的本質(zhì)，而不是只看到它們的“影子”，造成認(rèn)知上的偏差，也影響幾何學(xué)概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。因此，在小學(xué)階段要重視學(xué)生經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的過程，通過數(shù)學(xué)操作、數(shù)學(xué)體驗(yàn)及數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動，讓學(xué)生對幾何學(xué)概念形成豐富的感知經(jīng)驗(yàn)，但不能僅此而已，還要引發(fā)想象、比較、推理等數(shù)學(xué)思維，在動手動腦“做數(shù)學(xué)”的過程中以積極的“思維”去主動“看見”圖形。

以二年級上冊《認(rèn)識線段》一課為例，從“看見”圖形的角度，有這樣三層目標(biāo)：第一層是判斷畫出的線是不是線段（根據(jù)是不是直直的來判斷）；第二層是數(shù)出已知的平面圖形中由幾條線段圍成；第三層是數(shù)一數(shù)圖形中有幾條線段，并因此對圖形進(jìn)行命名或分類。畢竟是二年級的學(xué)生，從“思維”的角度而言，還只能從直觀例子中抽象出“直直的”“有刻畫長度的端點(diǎn)”，因此，通過拉一拉、找一找、折一折、畫一畫等具體動作思維進(jìn)行簡單的抽象、歸納，讓學(xué)生“看見”線段，形成適切的線段的認(rèn)知。

以王妍和王麗娟兩位教師的《認(rèn)識線段》教學(xué)設(shè)計(jì)為例。我們可以看到兩位教師是如何讓學(xué)生經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的過程，實(shí)現(xiàn)經(jīng)歷到思維的升華。

王妍老師在教學(xué)中有這樣幾個(gè)層次：第一層，通過拉、找、想，形成表象。以比較兩條隨意擺放在桌上的線的長短作為學(xué)習(xí)的開端，組織學(xué)生進(jìn)行“拉一拉”的活動，形成“線段是直直的”的表象，這是可以感知的經(jīng)驗(yàn)；繼而從表象出發(fā)，先引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)課本的封面上“找一找”，并從正確“比劃”的角度，幫助學(xué)生認(rèn)識線段的“兩個(gè)端點(diǎn)”，在此基礎(chǔ)上，通過“激光筆投射”“水滴的滴落”想象線段，雖然“看不見”，但可以“想象”，這一有創(chuàng)意的活動為學(xué)生今后形成對“線段”概念的科學(xué)認(rèn)知種下“慧根”。第二層，通過數(shù)、折、比，深化認(rèn)知。教師把線段置于平面圖形之中，回歸線段是構(gòu)成平面圖形的要素的本質(zhì)，通過數(shù)一數(shù)知道正方形是由四條線段圍成的平面圖形，并通過“折一折”“比一比”來深入認(rèn)識線段，理解線段“有長有短”。第三層，通過畫一畫，多元表征。在充分的實(shí)踐和操作活動之后，開展“畫一畫”活動，把實(shí)踐和操作的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行歸納抽象，把通過“思維”“看見”的圖形用圖表征出來，并通過方向、長短的變式多元化表征，幫助學(xué)生抽象成線段的概念。整節(jié)課，既有充分的操作、實(shí)踐活動，更有恰到好處的思維活動，有效地幫助學(xué)生形成“一般的概念”。

王麗娟老師的教學(xué)設(shè)計(jì)也有三個(gè)層次。第一層，試畫圖形，整體入手。從畫平面圖形開始，先讓學(xué)生感知到線段是構(gòu)成圖形的要素。第二層，拉、找線段，初步感知。這一層是結(jié)合實(shí)踐體驗(yàn)活動初步認(rèn)識線段，通過“拉一拉”“找一找”活動，用感知積累起線段是“直直的”的直接經(jīng)驗(yàn)。第三層，畫畫想想，深入建構(gòu)。這一層王老師重點(diǎn)放在了“畫線段”上，這是低年級學(xué)生很適合的幾何圖形抽象的有效方式，是把建立起來的感知經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過數(shù)學(xué)思維，用自己喜歡的方式表征出來，并通過與班級同學(xué)的互動交流，形成完整的概念。王老師在這一環(huán)節(jié)上，特別地跟進(jìn)了三個(gè)層次的問題探索：第一，你是怎么畫的？沿著直直的邊畫；第二，這些線段有什么相同點(diǎn)？都是直直的；第三，這些線段又有什么不同點(diǎn)？有直、有橫、有斜，方向不同；有長有短，長度不同。學(xué)生畫畫想想，多視角的思考表征，讓學(xué)生思維由單一走向縱深。最后規(guī)范畫法：畫出兩個(gè)端點(diǎn)。在教師針對性的引領(lǐng)之下，學(xué)生手腦并用，以做促思，對線段的認(rèn)識從經(jīng)驗(yàn)感知逐步上升至理性思維，進(jìn)而建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。

兩位教師的教學(xué)設(shè)計(jì)雖有不同，但都重視在充分感知、建立直接經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，融入抽象、想象、多元表征等思維活動，凸顯以“思”“見”圖意旨，有效建立起圖形的基本要素———“線段”這一概念。