結(jié)構(gòu)化教學(xué)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向縱深處

高麗君

[摘 要]深入分析多個版本教材的正方形數(shù)相關(guān)內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)正方形數(shù)的教學(xué)具有復(fù)合性、系統(tǒng)性、連貫性的特點。在此基礎(chǔ)上，重新定位教學(xué)目標，調(diào)整教學(xué)策略，從整體視角上引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)乘法表的對稱性，認識正方形數(shù)，豐富學(xué)生對乘法的認識，培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維。

[關(guān)鍵詞]正方形數(shù);結(jié)構(gòu)化;數(shù)形結(jié)合;探究意識

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）23-0010-04

【課前慎思】

北京版教材數(shù)學(xué)百花園“有趣的數(shù)”位于表內(nèi)乘除法之后，教學(xué)內(nèi)容是正方形數(shù)，標題里有兩個關(guān)鍵詞——有趣、數(shù)?！坝腥ぁ斌w現(xiàn)在數(shù)形結(jié)合，并以形命名數(shù);“數(shù)”則特指正方形數(shù)。為什么要講正方形數(shù)呢？因為學(xué)生已掌握表內(nèi)乘除法，具備了初步的計算能力，很顯然，這里的計算并不是簡簡單單的口訣計算，還需要兼顧知識要素和推理、驗證等能力要素。

為什么北京版教材有這個內(nèi)容呢？它是獨立的設(shè)計嗎？查閱了各個版本教材（如圖1-1、1-2、1-3）后發(fā)現(xiàn)，雖然其他版本教材沒有把正方形數(shù)的內(nèi)容作為獨立課時，但在期末復(fù)習(xí)或單元復(fù)習(xí)時都或多或少地體現(xiàn)了正方形數(shù)，說明這一內(nèi)容并不是孤立存在的，而是學(xué)習(xí)完表內(nèi)乘法之后需要掌握的知識。顯然，這節(jié)課具有復(fù)習(xí)鞏固作用的復(fù)合功能，它是以正方形數(shù)作為媒介，培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維，促使學(xué)生主動遷移運用已學(xué)知識，打造知識網(wǎng)絡(luò)。

（2）5乘幾，積個位上的數(shù)字有哪些？

在這節(jié)課上學(xué)生需要形成哪些能力？數(shù)學(xué)課程標準指出：教師應(yīng)幫助學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。如課題所言，首先，這節(jié)課是有趣的，有趣是學(xué)習(xí)真正發(fā)生的土壤;其次，這節(jié)課要在輕松愉快的環(huán)境里培養(yǎng)學(xué)生提問的意識，提升學(xué)生的團隊合作能力、自主探索能力和獨立創(chuàng)造能力，使學(xué)生學(xué)會正方形數(shù)后能把這種學(xué)習(xí)的方法遷移到三角形數(shù)、五角形數(shù)等的學(xué)習(xí)中，并在這個過程中學(xué)會猜測、驗證、推理，畢竟知識易得，能力難培。

【教學(xué)目標】

1.從整體視角上引導(dǎo)學(xué)生了解乘法表的填數(shù)規(guī)則，溝通乘法口訣與乘法表的聯(lián)系，豐富學(xué)生對乘法的認識，進一步鞏固表內(nèi)乘法的運用。

2.在研究乘法表的過程中讓學(xué)生用語言表述探究過程，發(fā)現(xiàn)乘法表的對稱性，認識正方形數(shù)，及其在乘法表中的分布特點，滲透數(shù)形結(jié)合思想。

3.以學(xué)生為中心，在分享、交流、互動、質(zhì)疑中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力和思維水平，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

【教學(xué)過程】

1.在更“大”的范圍里，認識乘法表的填數(shù)規(guī)則

師（板書“數(shù)”）：這節(jié)課我們將認識一個偉大的數(shù)，大家在小學(xué)中學(xué)的第一個數(shù)就是它，其他數(shù)都是在它的基礎(chǔ)上一點一點加出來的，知道它是誰嗎？

生（齊）：1。

師：1可以表示什么呢？（學(xué)生答，略）

師：1可以表示任何數(shù)量是1的東西，也能表示一個正方形，從乘法含義的角度來看，一個正方形就是1個一，對應(yīng)乘法算式1×1=1，口訣“一一得一”。

師：按照數(shù)數(shù)的規(guī)則，每次增加1，即可得到2、3、4、5、6、7、8、9。（數(shù)形結(jié)合，依次復(fù)習(xí)1的乘法口訣和含義）最后，在9的基礎(chǔ)上加1，就是10個一（鏈接一年級知識“10個一就是1個十，即10”）。因此，不管是1個十，還是10個一，都可以通過相同的乘法算式計算出來：1×10=10×1=10。

師：如果現(xiàn)在有100個方塊，是一直往后擺容易看出來，還是用其他方法更好呢？

生1：《蟻國遷徙記》有一句經(jīng)典臺詞——哇，好長的隊！另起一行擺放會更容易看出來是多少個方塊。

師（一行一行出示方格圖，讓學(xué)生數(shù)，如圖3）：2個十是2×10=20，3個十是3×10=30，4個十是4×10=40……9個十是9×10=90，10個十即10×10=100，說明這個大正方形里有100個格子。

師：如果要把它們編成口訣，該怎么編？

生2：一十得十，二十二十……十十一百。（學(xué)生編著編著便笑了）

師：笑什么？知道為什么沒有10的乘法口訣嗎？

生3：它比乘法口訣更簡單，所以不用專門學(xué)啦！

師：剛才是橫著一行一行地看，由橫豎相乘算出的，豎著看呢？

（學(xué)生再次一列一列地數(shù)，并熟悉計算法則，結(jié)合整十數(shù)的含義，得到最上一行乘法表的結(jié)果，鞏固乘法表的計算規(guī)則。）

【設(shè)計意圖：國內(nèi)任何版本教材均不直接教1的乘法口訣，默認學(xué)生會在2～9的口訣學(xué)習(xí)過程中自然習(xí)得，但對于低年級學(xué)生來說，至少需要有鏈接的過程，才能鞏固其對知識的理解能力;同樣，除了滬教版教材有專門的除數(shù)是10的除法這一課，國內(nèi)大部分版本教材也不專門教10的乘法口訣，默認學(xué)生學(xué)習(xí)100以內(nèi)數(shù)的認識時已掌握，但低年級學(xué)生的認知情況顯示，知識的遷移運用需要教師專門引導(dǎo)，不應(yīng)認為學(xué)生理所應(yīng)當掌握。此外，這里通過數(shù)形結(jié)合的方式正好可以解釋九九乘法口訣表為什么沒有10的乘法口訣?！霸诟蟮姆秶铩本褪侵冈?0×10的乘法表里進行探究?！?/p>

師：這里的大表格是10×10的正方形，請用前面的規(guī)則填寫剩下的空格。（給學(xué)生2分鐘時間自主完成，能填多少是多少）

師：運用1的乘法口訣觀察圖5最左一列和最下一行的空格的填法，再用2的乘法口訣驗證發(fā)現(xiàn)。

生4：不管是豎著填，還是橫著填，算出來的結(jié)果都一樣。

生5：這讓我想起了乘法口訣，乘法口訣都是小的數(shù)在前，一句口訣可以替代兩個乘法算式，所以不需要全部都寫上。

師（對稱軸用紅線，表示乘法表的對稱性）：這個對稱軸很了不起啊，沿著它對折，你發(fā)現(xiàn)什么？

生6：兩邊的數(shù)剛好能重合。

【設(shè)計意圖：在鞏固乘法表的填寫規(guī)則的過程中，從特殊到一般，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)乘法表中的對稱現(xiàn)象，進而將這一發(fā)現(xiàn)與乘法口訣的編制法則結(jié)合起來。學(xué)生通過深度思考，理解了九九乘法口訣表為什么是“三角形”，而不是“長方形”，從而深入理解知識。此外，通過橫、豎兩個方向鞏固乘法表填寫規(guī)則的過程，表面上看是計算小正方形的數(shù)量，實際上是加強乘法口訣與面積的關(guān)系，為學(xué)生學(xué)習(xí)三年級的面積打好基礎(chǔ)?！?/p>

2.數(shù)形結(jié)合，探索正方形數(shù)

師：先看對稱軸上的數(shù)，看看有沒有特殊的地方。左下角是1，表示1個1，1×1=1，是一個小“正方形”;2個2，2×2=4，也是圍成“正方形”;這里是10個10，即為100，對應(yīng)的是這100個小正方形格子，它們現(xiàn)在圍成了一個大“正方形”。對稱軸上的其他數(shù)呢？用同樣的方式圍一圈，可能是什么形狀？大膽地猜一猜，它們可能是哪些數(shù)。

生1：我猜可能還是“正方形”，但我有點不確定是哪些數(shù)。

師：數(shù)學(xué)上的猜測非常重要，它是通往真理的必要途徑。有了方向，現(xiàn)在就在練習(xí)單上試一試吧。

生2：橫豎各折疊起一行方格，剩下邊長為9的正方形，它有9×9=81個方格，圍成一個大“正方形”。

生3：剩下的“正方形”應(yīng)該是8×8、7×7、6×6、5×5、4×4、3×3。

師：通過前面的探索，大家發(fā)現(xiàn)對稱軸上的1、4、9、16……這些數(shù)圍起來的都是“正方形”，能給它們?nèi)€名字嗎？

生4：要不叫“正方形數(shù)”？

師：你們都是小數(shù)學(xué)家，它們的名字就是運用圖形和數(shù)字結(jié)合起來的方式取的，在數(shù)學(xué)上它們就是叫正方形數(shù)！這跟之前學(xué)習(xí)乘法口訣方法不太一樣。

師：黑板上的正方形數(shù)有1、4、9、16……100，還有別的嗎？

生5：還有很多很多，只要在那條對稱軸上的數(shù)就是正方形數(shù)，寫不完的。

【設(shè)計意圖：這里的教學(xué)原本是把探究過程交給學(xué)生，但在總結(jié)驗證時運用折紙的方法，引導(dǎo)學(xué)生從邊長為9到3依次進行，并思考“為什么用‘減的方法，而非‘增的方法？”在方格圖里每次橫豎各增加一行、一列，由1逐步增加到9，學(xué)生要先判斷是不是正方形，再想對應(yīng)的數(shù)是什么，但這樣操作會破壞正方形的結(jié)構(gòu)。筆者的調(diào)整是在正方形里，依托對稱軸的性質(zhì)，每次橫豎各去掉一行后還是正方形，學(xué)生關(guān)注的就僅僅是數(shù)的變化，相當于把研究目標首先放在一個大環(huán)境里，像去掉俄羅斯套娃一樣，一層一層研究清楚。這樣的模型還具有延伸性，學(xué)生可以反著在表內(nèi)乘法里找正方形數(shù)，反著來一遍，正著再來一遍，學(xué)生就清楚了，得到了關(guān)于正方形數(shù)的整體的認識?！?/p>

師：前面我們講的正方形數(shù)都是用小正方形圍起來的，除了正方形，還能不能用別的形狀？

生6：教材上是用紅點代替，但我覺得用什么形狀都行，例如花、三角形、愛心都可以，主要是要按照這樣的規(guī)則擺。

（學(xué)生做教材上的題目，填寫積是1、4、9、16的算式時根據(jù)點子圖溫習(xí)正方形數(shù)的特點，填寫積是25的算式時需要按順序想象，思考剩下的正方形數(shù)是什么以及對應(yīng)的點子圖的形態(tài)。這與前面的學(xué)習(xí)過程剛好相反，達到及時鞏固的作用。）

出示正方形數(shù)的其他研究方案：

師：學(xué)完正方形數(shù)，你能給這節(jié)課取個名字嗎？

生7：有趣的正方形數(shù)、好玩的正方形數(shù)、有規(guī)律的正方形數(shù)、神奇的正方形數(shù)、神秘的正方形數(shù)……

3.拓展延伸，認識更多有趣的數(shù)

師：這節(jié)課很特殊，是到現(xiàn)在為止唯一一節(jié)與形狀聯(lián)系起來命名數(shù)的課，也就是正方形數(shù)，它是一個非常好的數(shù)形結(jié)合的例子。用數(shù)形結(jié)合的方法除了可以探索正方形數(shù)，還可以研究什么數(shù)？猜一猜，通往真理的道路都是猜出來。

生1：三角形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等。

出示課件：

師：無論你研究以上的任何一種數(shù)，都應(yīng)該從幾開始研究？

生2：從1開始研究，它最特殊。

師：是的，就像這節(jié)課的課題——有趣，以前我們學(xué)過有趣的數(shù)，今天學(xué)了有趣的數(shù)，未來還會有很多有趣的數(shù)。所以這節(jié)課只是給你一塊敲門磚，教給你研究數(shù)的方法，希望你能保有好奇心，堅持研究下去，未來數(shù)學(xué)史上可能會留下你的名字喲！這節(jié)課給你最大的感受是什么？

生3：以前我覺得數(shù)字跟形狀無關(guān)，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)不但關(guān)系密切，還可以用形狀給數(shù)命名。

生4：現(xiàn)在知道居然有這么多用形狀命名的數(shù)，很驚訝！

生5：數(shù)學(xué)無處不在，規(guī)律也是無處不在的，要善于發(fā)現(xiàn)。

【設(shè)計意圖：一節(jié)課只有40分鐘，時間非常有限，所以每一節(jié)課都應(yīng)像一粒種子，只有這樣，它才能具有蓬勃的生命力，有無限可能。本節(jié)課對于正方形數(shù)的研究，著重構(gòu)建由點成線、由線成面的學(xué)習(xí)模型，為學(xué)生學(xué)習(xí)面積單位打下基礎(chǔ)，并基于學(xué)情適當拓展至普遍性的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠形成探索數(shù)學(xué)問題的興趣與欲望，開闊視野。教師在探索過程中非常注重學(xué)生解決問題能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生感悟到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的樂趣，感受數(shù)學(xué)的價值，增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心?！?/p>

【本文系北京市大興區(qū)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“小學(xué)數(shù)學(xué)長線融合項目的實踐研究”階段性成果（課題批準文號：19GHX002）?！?/p>

（責(zé)編 金 鈴）