GeoGebra在驗(yàn)證猜想中的應(yīng)用

俞 翔 李 更

(寧波市奉化區(qū)江口中學(xué) 浙江 寧波 315504)

物理教師應(yīng)用GeoGebra軟件輔助教學(xué)的能力日漸嫻熟，由《物理通報(bào)》近幾年發(fā)表的文獻(xiàn)可見微知萌，在2017至2019年共有文獻(xiàn)4篇，2020年有文獻(xiàn)6篇，2021年截至4月已有4篇.縱觀這些文獻(xiàn)，GeoGebra多應(yīng)用于物理場景的建立和疑難問題可視化的研究，如陳林老師借助3D繪圖實(shí)現(xiàn)對(duì)電場電勢的三維建構(gòu)，艾亮老師利用微積分思想研究v-t圖像中的面積.現(xiàn)就一改編題，借助GeoGebra應(yīng)用于對(duì)未知規(guī)律的探尋和驗(yàn)證.

1 等時(shí)圓模型的應(yīng)用

【例題】如圖1所示，ad,bd,cd是豎直面內(nèi)3根固定的光滑細(xì)桿，a,b,c,d位于同一圓周上.每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)(圖中未畫出)，3個(gè)滑環(huán)分別從a,b,c處釋放(初速為零)，用t1,t2,t3依次表示滑環(huán)到d所用時(shí)間，則( )

圖1 例題圖

A．t1t2>t3

C．t3>t1>t2D．t1=t2=t3

解析：鑒于d點(diǎn)并非圓周的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，要應(yīng)用等時(shí)圓模型，需構(gòu)建等時(shí)圓.以d點(diǎn)為圓周的最低點(diǎn)，過b點(diǎn)做圓，如圖2所示.此圓與ad和cd軌道相交于a′和c′，由等時(shí)圓模型的規(guī)律可知，若小滑環(huán)自a′，b和c′由靜止開始下滑至d點(diǎn)所用的時(shí)間相等.從而可見，自ad下滑的時(shí)間t1小于自bd下滑的時(shí)間t2.同理，自bd下滑的時(shí)間t2小于自cd下滑的時(shí)間t3.所以，選項(xiàng)A正確.

圖2 借助等時(shí)圓模型巧解例題

2 等時(shí)圓模型的拓展

由于題目中并未明確表明d點(diǎn)的位置，不妨將d點(diǎn)向下移動(dòng)，如圖3所示.

圖3 研究普適規(guī)律

移動(dòng)d點(diǎn)并不會(huì)變更題目本意，即應(yīng)有不變的結(jié)果t1

圖4 滑軌處于圓心側(cè)上方

得

對(duì)于確定的d點(diǎn)而言，β為定值，所以當(dāng)α角度逐漸減小時(shí)，t值增大.

如果ad弦低于圓心O，如圖5所示，則有

當(dāng)α角度逐漸減大時(shí)，t值仍增大.

圖5 滑軌處于圓心側(cè)下方

從而可見，只要落點(diǎn)d相同，開始下滑的位置越高，所用時(shí)間越小，即始終有t1

3 問題的產(chǎn)生 猜想與論證

“圓時(shí)間規(guī)律”的結(jié)論t1

細(xì)細(xì)推敲等時(shí)圓模型的規(guī)律和“圓時(shí)間規(guī)律”均沒有問題.猜想在d點(diǎn)下移的過程中，盡管下滑的時(shí)間會(huì)變化，且各軌道所用時(shí)間t1,t2,t3不等，但與之同時(shí)t1,t2,t3之間的差值在逐漸減小.

為驗(yàn)證猜想，采用GeoGebra制作動(dòng)畫研究時(shí)間差.做一個(gè)半徑為5的圓，并按題設(shè)在圓周上取a,b,d點(diǎn)建立下滑軌道，設(shè)置頂角γ用以記錄d點(diǎn)在圓周上位置的變化，d點(diǎn)越接近于圓周最低點(diǎn)，角度γ越小.借助Length指令獲取兩個(gè)軌道長度，借助角度工具獲取斜面傾角.利用勻變速運(yùn)動(dòng)公式計(jì)算下滑時(shí)間，并求時(shí)間差，如圖6和表1所示.

Δt=t2-t1=1.86 s-1.56 s=0.3 s

圖6 圓和軌道

表1 通過軟件獲取研究所需數(shù)據(jù)

在d點(diǎn)代數(shù)區(qū)設(shè)置其“增量”為5，“速度”為3的情況下啟動(dòng)動(dòng)畫.觀察d點(diǎn)下移過程中，不同軌道下滑的時(shí)間差，并借助“記錄到表格”功能以獲得數(shù)據(jù)列表.從數(shù)據(jù)清晰可見，伴隨著d點(diǎn)的下移，γ角趨向于零，t1與t2的數(shù)值逐漸逼近，即Δt=t2-t1趨向于零.

將動(dòng)點(diǎn)d的“速度”降低到0.1，以獲取更多的數(shù)據(jù)，并在GeoGebra中以Δt為橫坐標(biāo)，γ角(弧度值)為縱坐標(biāo)創(chuàng)建點(diǎn)陣，如圖7所示.由圖7可見，在d點(diǎn)下移到最低點(diǎn)的過程中，通過不同軌道下滑的時(shí)間差趨向于零.

通過研究可知，若在圓周一側(cè)取一位置略低的d點(diǎn)，作為斜面底邊的端點(diǎn)，從圓周另一側(cè)選取一些點(diǎn)作為光滑斜面的頂點(diǎn)，讓物體自各頂點(diǎn)下滑，下滑的時(shí)間和各頂點(diǎn)到d之間的高度差有關(guān)，高度差越大，時(shí)間越小.其成立的條件是d點(diǎn)不能是圓周的最低點(diǎn).

圖7 γ-Δt點(diǎn)陣

該測試題改編自2004年高考全國理綜卷Ⅰ，原題中“d點(diǎn)為最低點(diǎn)”，正確選項(xiàng)是D.借助于GeoGebra的探究，也發(fā)現(xiàn)改編題默認(rèn)d點(diǎn)為一側(cè)點(diǎn)的做法略有不當(dāng)，在試題中增加一條“d點(diǎn)非最低點(diǎn)”的條件，讓試題更為嚴(yán)謹(jǐn).