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    關(guān)于Kane難題的一種解決方案

    2021-09-24 03:22:22張九鑄
    物理通報(bào) 2021年10期
    關(guān)鍵詞:末速度恢復(fù)系數(shù)球殼

    張九鑄

    (金昌市龍門學(xué)校 甘肅 金昌 737100)

    1 引言

    如圖1所示,質(zhì)量為m1,半徑為r1的均質(zhì)剛性球殼繞其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1,與剛性水平面進(jìn)行斜碰.碰撞之初,球殼的質(zhì)心速度為V01,與豎直的Oy軸負(fù)向的夾角為α,角速度ω01沿逆時(shí)針方向.球殼與水平面之間的碰撞恢復(fù)系數(shù)為e.再設(shè)上述各量能夠保證:球殼碰撞點(diǎn)的水平初速度為v0x>0,球殼在整個(gè)碰撞過程中受到方向不變的動(dòng)摩擦力且該力滿足庫侖摩擦定律,動(dòng)摩擦因數(shù)為fd.由平面運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)力學(xué)方程及恢復(fù)系數(shù)定義有

    圖1 剛性球殼與剛性平面之間的碰撞

    -fdIN=m1V1x-m1V01sinα

    (1)

    IN=m1V1y-m1(-V01cosα)

    (2)

    -r1fdIN=J1ω1-J1ω01

    (3)

    (4)

    其中IN是球殼在整個(gè)碰撞過程中受到的支持力的沖量,V1和ω1分別是球殼在碰撞過程末的質(zhì)心速度和角速度,各矢量方向如圖1所示.聯(lián)立以上4式,可得到

    V1x=V01[sinα-fd(1+e)cosα]

    (5)

    (6)

    其中

    系統(tǒng)在碰撞過程中的動(dòng)能損失為

    (7)

    將式(5),式(6)代入式(7),得到

    (8)

    取具體數(shù)值α=30°,e=0.7,fd=0.4,a=0.30.將這些數(shù)值代入式(8),算得ΔEk<0,這顯然不符合能量守恒定律.出現(xiàn)此類結(jié)果的問題稱為Kane難題[1].

    上述問題中的運(yùn)動(dòng)初始條件是合理的,解答過程中所用其他定理和公式也是合適的,故Kane難題產(chǎn)生的原因,只能是用庫侖摩擦定律If=fdIN將法向沖量大小IN和動(dòng)摩擦力沖量大小If聯(lián)系起來這一點(diǎn),進(jìn)一步講,僅由上述運(yùn)動(dòng)學(xué)條件(V01,α,ω01)、幾何條件(r1)、動(dòng)摩擦系數(shù)fd和恢復(fù)系數(shù)e這6個(gè)量無法確定球殼碰撞過程各階段的受力或各力之間關(guān)系,當(dāng)然也無法保證球殼在碰撞過程中始終受的是滿足庫侖摩擦定律Fτ=fdFN的動(dòng)摩擦力.實(shí)際上,在碰撞過程各階段,球殼與水平面之間的接觸力比較復(fù)雜.比如兩個(gè)彈性球體的碰撞,且接觸面是一個(gè)圓面,如圖2所示.

    圖2 兩個(gè)彈性球之間的存在切向力時(shí)的接觸面

    則碰撞過程中某些階段還可能出現(xiàn)這種情況:兩球之間的總法向力大小根據(jù)赫茲分布[2]應(yīng)為

    (9)

    而接觸面之間的總切向力可用公式[2]

    (10)

    計(jì)算.以上二式中的a為接觸面半徑,c為黏著區(qū)(該區(qū)域內(nèi),兩球之間因分子間范德瓦耳斯力而相互吸引)半徑,c

    鑒于此,筆者建議,仿照針對二碰撞點(diǎn)沿二剛體公法線的運(yùn)動(dòng)我們定義了可通過實(shí)驗(yàn)測定的恢復(fù)系數(shù)e,現(xiàn)在也可以定義一個(gè)絕對值小于等于1的并且也可以通過實(shí)驗(yàn)測定的“切向恢復(fù)系數(shù)k”,即二碰撞點(diǎn)的切向相對末速度與切向相對初速度之比.誠然,由式(10)和式(1)、(3)可知,式(7)中必然有

    V1x≤V01x

    ω1≤ω01

    即ΔEk一定大于等于零.而由以上二式得到

    V1x+r1ω1≤V01x+r1ω01

    即圓球碰撞點(diǎn)的初、末速度滿足

    為不失一般性,以下我們導(dǎo)出兩個(gè)作平面運(yùn)動(dòng)的剛性球碰撞過程中的、含參量k的動(dòng)能損失計(jì)算式,繼而找出關(guān)于k值的滿足能量守恒定律的范圍.

    2 動(dòng)能定理的一種形式

    設(shè)質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi,其在dt時(shí)間內(nèi)的初、末速度分別為v0i和vi,合力(包括系統(tǒng)的內(nèi)力和外力)的沖量為Ii合,則由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理,有

    mi(vi-v0i)=Ii合

    先用vi標(biāo)乘上式,再用v0i標(biāo)乘上式,然后將兩個(gè)結(jié)果相加,得到

    (11)

    將質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)的相似方程相加,得到系統(tǒng)的動(dòng)能損失為

    (12)

    上式中Ii已不再含有mi所受系統(tǒng)的內(nèi)力.

    現(xiàn)在將式(12)運(yùn)用于兩個(gè)始終做平面運(yùn)動(dòng)的剛體的碰撞,且設(shè)只有一對碰撞點(diǎn),如圖3所示.

    圖3 二彈體的碰撞,單位矢量n和τ沿公法線和公切面

    注意:同一剛體上所有內(nèi)力做功之和為零,故式(12)右端這時(shí)只針對兩個(gè)碰撞點(diǎn).設(shè)碰撞初,二剛體角速度分別為ω01和ω02,二碰撞點(diǎn)速度分別為v01,v02;碰撞末,二剛體的角速度分別為ω1和ω2,二碰撞點(diǎn)速度分別為v1和v2;碰撞中二碰撞點(diǎn)受到的法向沖量分別為I1n和-I1n,切向沖量分別為I′1τ和-I′1τ,其中n和τ分別為法向單位矢量和切向單位矢量.則由式(12)得到

    (13)

    3 兩個(gè)均質(zhì)剛球在碰撞過程中的動(dòng)能損失

    研究兩個(gè)均質(zhì)剛球的摩擦碰撞,如圖3所示.定義法向恢復(fù)系數(shù)、切向恢復(fù)系數(shù)分別為

    (14)

    代入式(13),消去其中的末速度,得到

    2ΔEk=-I1(1-e)(v01n-v02n)-
    I′1(1+k)(v01τ-v02τ)

    (15)

    先求I1.設(shè)在碰撞過程中,球1質(zhì)心的初、末速度分別為V01和V1,球2質(zhì)心的初、末速度分別為V02和V2,系統(tǒng)的折合質(zhì)量為μ,則由兩體運(yùn)動(dòng)動(dòng)量定理,在n方向上有

    I1=μ(v1n-v2n)-μ(v01n-v02n)

    再用式(14)第一式將其改寫為

    I1=-μ(1+e)(v01n-v02n)

    (16)

    再求I′1.由質(zhì)心系中的角動(dòng)量定理,對二剛球分別有

    其中J1,J2分別是兩個(gè)圓球?qū)Ω髯灾睆降霓D(zhuǎn)動(dòng)慣量.以上二式分別乘以r1,r2,變?yōu)?/p>

    (17)

    由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,二剛球在τ方向上分別有

    (18)

    將式(17)第一式與式(18)第一式相加,將式(14)第二式與式(18)第二式相加,且考慮

    V1τ+ω1r1=v1τ

    V01τ+ω01r1=v01τ

    V2τ+ω2r2=v2τ

    V02τ+ω02r2=v02τ

    分別得到

    兩式相減,并且利用式(14)第二式,且令

    (19)

    得到

    I′1=c(k-1)(v01τ-v02τ)

    (20)

    將式(16)、(20)代入式(15),得到

    (21)

    4 k值的范圍及物理意義

    由式(21)可知:因?yàn)?≤e≤1,所以,要恒有ΔEk≥0,則k值必須滿足

    -1≤k≤1

    (22)

    式(22)是式(21)成立的必要條件,即式(22)是能量守恒對k值的限制結(jié)果.我們以二剛體沿n方向做對心的完全彈性(e=1)碰撞的情形為例,來考查式(22)的物理意義.當(dāng)k=1時(shí),由式(14)第二式,這表示碰撞過程中二碰撞點(diǎn)在τ方向上的相對速度不變,即二圓球在碰撞中不受切向力,當(dāng)然有ΔEk=0.當(dāng)k=0時(shí),二碰撞點(diǎn)在τ方向上的末相對速度為零,這類似于n方向上的完全非彈性碰撞,這時(shí)ΔEk最大.當(dāng)k=-1時(shí),表示二碰撞點(diǎn)在τ方向上的末相對速度與初相對速度等大而反向,這說明二圓球之間的切向力保證了二碰撞點(diǎn)在τ方向上無相對運(yùn)動(dòng),且該方向上的碰撞過程類似于n方向上的完全彈性碰撞,故

    ΔEk=0

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