基于漸近均勻化方法的波紋結(jié)構(gòu)力學(xué)性能等效分析研究

楊 志 勛，英 璽 蓬，閻 軍*，楊 亮，朱 鵬 程，曹 鵬

(1.哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧 大連 116024；3.中海石油氣電集團(tuán)有限責(zé)任公司技術(shù)研發(fā)中心，北京 100028)

0 引 言

波紋結(jié)構(gòu)由于其特殊的力學(xué)性能特征，且加工方便，為工程中常見的一種結(jié)構(gòu)形式．如沖壓成型的波紋板應(yīng)用于土木工程中，以及各式各樣的波紋管應(yīng)用于工業(yè)傳輸裝置[1]．波紋結(jié)構(gòu)的特點：保證其中一方向力學(xué)性能不變的同時，增加了另一方向結(jié)構(gòu)的柔度；形成波紋的厚度，一定程度上增加了波紋結(jié)構(gòu)在厚度方向上的抗彎能力，從而提高承載能力．隨著工程應(yīng)用環(huán)境的不同，波紋結(jié)構(gòu)的截面形式呈現(xiàn)多種多樣，波紋板考慮實用功能性常常采用鋸齒型；而波紋管大多采用波浪式截面，從而避免管道受荷載時呈現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象[2]．

對于波紋結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的研究，始于波紋板的力學(xué)行為分析．如趙金濤等[3]借用平面曲梁的思想，波紋的曲率決定弧線截面的中性軸位置，通過應(yīng)變能守恒分析了波紋板軸向拉伸行為，給出了圓弧形波紋板承受拉伸荷載時變形及應(yīng)力應(yīng)變的表達(dá)式．對于波紋板的彎曲性能，由于波紋板大多呈現(xiàn)正交各向異性性能，王小平等[4]基于層合板殼理論推導(dǎo)了適用于任意截面形式的波紋板兩個方向上的彎曲剛度與面外的扭轉(zhuǎn)剛度．但由于其基于截面幾何慣性矩求得，忽略了波紋截面的具體形狀，因此求得的力學(xué)性能參數(shù)同實際結(jié)構(gòu)存在較大誤差．相比于波紋板，波紋管由于微觀存在曲率的影響，其力學(xué)性能的分析相對較難．因此20世紀(jì)后半葉大量學(xué)者對其做了相關(guān)力學(xué)性能研究，最初同樣將波紋管簡化為梁模型進(jìn)行分析．后來隨著薄殼理論的發(fā)展完善，波紋管被看作圓環(huán)殼與環(huán)板的組合，Zhu等[5]采用了攝動法、Xia等[6]采用了漸近積分法、Biancolini[7]采用了能量法分別給出了波紋管基本力學(xué)行為的理論解．但是由于波紋結(jié)構(gòu)形式的特殊性，理論通常難于求得準(zhǔn)確解，且計算過程復(fù)雜、煩瑣．隨著有限元計算技術(shù)的后期發(fā)展，形式多樣的波紋結(jié)構(gòu)往往可借助數(shù)值方法分析相關(guān)結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為．例如，Xia等[8]采用了商業(yè)有限元軟件建立多層波紋管數(shù)值模型分析多層波紋管的基本力學(xué)性能，以及沖壓成型所致殘余應(yīng)力對結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響．但是對特殊截面的波紋結(jié)構(gòu)建立數(shù)值模型需要較大工作量．

上述研究僅僅局限于求解波紋結(jié)構(gòu)的局部細(xì)節(jié)力學(xué)行為．當(dāng)波紋結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜或波紋結(jié)構(gòu)較大、較長時，工程實踐中往往更關(guān)注波紋結(jié)構(gòu)的整體力學(xué)性能與行為．如幅面遠(yuǎn)大于波紋高度的波紋板，或者長度遠(yuǎn)大于截面直徑的波紋管．此時波紋的宏觀力學(xué)性能參數(shù)往往更受到關(guān)注．因此，鄧兵等[9]將等效的分析方法引入波紋結(jié)構(gòu)的分析中，顯著地提高了分析效率．但其對波紋單胞的選取方法以及幾何曲率的影響并未做詳細(xì)的討論和探究．本文通過漸近均勻化方法新格式[10-13]，借用商業(yè)有限元軟件的二次開發(fā)程序，求解波紋單胞結(jié)構(gòu)的等效力學(xué)性能參數(shù)．同時研究單胞選取的不同對等效性能參數(shù)的影響．其所得規(guī)律為波紋結(jié)構(gòu)的等效分析提供單胞選取規(guī)則．此外，針對某一波紋板結(jié)構(gòu)建立精細(xì)有限元模型，通過與等效模擬基本力學(xué)行為的比較，驗證該方法的有效性，為工程實用波紋結(jié)構(gòu)快速設(shè)計提供參考．

1 波紋結(jié)構(gòu)漸近均勻化方法

波紋板和波紋管結(jié)構(gòu)分別見圖1、2．假設(shè)波紋結(jié)構(gòu)截面如圖3(a)所示，為了求解波紋的整體力學(xué)性能，理論方法由于存在大量假設(shè)往往得不到精確解，而數(shù)值模擬由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性建模往往煩瑣，相對耗時．考慮到波紋結(jié)構(gòu)具有周期性，本文引入漸近均勻化方法通過分析波紋單胞，獲取波紋結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能參數(shù)，并將其轉(zhuǎn)化為彈性本構(gòu)參數(shù)．從而原始結(jié)構(gòu)只需要建立等效殼模型即可，進(jìn)而分析波紋結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為，有效提高分析效率，為波紋結(jié)構(gòu)的設(shè)計提供新的有效途徑．

圖1 波紋板Fig.1 Corrugated plate

圖2 波紋管Fig.2 Corrugated pipe

1.1 波紋結(jié)構(gòu)理論分析

波紋結(jié)構(gòu)傳統(tǒng)的理論求解方法是基于小變形彈性假設(shè)的，當(dāng)其承受面內(nèi)拉伸荷載時，假定波紋為無線寬度的曲梁，其應(yīng)變基于預(yù)計變形求導(dǎo)得到．依據(jù)能量法原理推導(dǎo)求得拉伸過程位移的表達(dá)式．假如波紋結(jié)構(gòu)由兩半圓弧構(gòu)成(圖3(b)所示)，其拉伸剛度表達(dá)式如式(1)所示．其中E為波紋板材料彈性模量，R1、R2分別為波紋板的外徑與內(nèi)徑．由式(1)可知，垂直截面的拉伸行為僅與面積、材料彈性模量有關(guān)．

(a)鋸齒型波紋板

(1)

對于平面外的力學(xué)性能，如兩個方向的彎曲行為與垂直于波紋結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)行為，依據(jù)薄殼理論可以近似求得其彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度如式(2)～(4)所示．其中μ為波紋板材料泊松比，l為波長，H為波高，δ為波紋厚度(假定為一定厚度結(jié)構(gòu))．

(2)

(3)

(4)

1.2 漸近均勻化方法及其新格式

如前所述，傳統(tǒng)理論方法假設(shè)太多且不具有精確性，而數(shù)值模擬需要耗費大量的精力．本文引入的漸近均勻化方法恰恰克服了上述兩弊端，是兩者較好的結(jié)合，在保證精度的同時也提高了分析效率[14]．板殼結(jié)構(gòu)其他兩個方向的尺寸明顯大于厚度尺寸，在20世紀(jì)，通過彈性理論求解板殼的力學(xué)行為得到了重要的發(fā)展．而對于具有周期性結(jié)構(gòu)的板殼結(jié)構(gòu)，近半個世紀(jì)發(fā)展完善的均勻化方法為分析周期性板殼結(jié)構(gòu)提供了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)求解方法[14-15]．如圖4(a)所示為典型的周期性板殼結(jié)構(gòu)，其中單胞結(jié)構(gòu)如圖4(b)所示；α1、α2和γ為對應(yīng)于單胞的正交曲線坐標(biāo)系．板殼的厚度遠(yuǎn)小于整體尺寸，并假定微觀單胞尺寸特征最小量為δ．因此，單胞Ω尺寸通過表達(dá)式(5)、(6)定義．其中δh1和δh2為單胞中面尺寸，F(xiàn)為單胞上下加強(qiáng)部分幾何函數(shù)表達(dá)式．

(a)周期性板殼結(jié)構(gòu)

-δh1/2<α1<δh1/2
-δh2/2<α2<δh2/2
γ-<γ<γ+

(5)

γ-=±δ/2±δF±(δh1/2，δh2/2)

(6)

引入快坐標(biāo)ξ=(ξ1，ξ2)，z，如式(7)所示．其中A1、A2為中面坐標(biāo)兩個方向上的拉梅系數(shù)．位移與應(yīng)力攝動展開如式(8)、(9)所示．

ξ1=α1A1/δh1
ξ2=α2A2/δh2
z=γ/δ

(7)

(9)

考慮到結(jié)構(gòu)基于能量表達(dá)的控制方程式(10)，將攝動展開量代入方程中，并考慮等價攝動量對應(yīng)的系數(shù)必須相等，通過系列推導(dǎo)可以得到位移與應(yīng)力的表達(dá)式為式(11)．

?v(x)∈VΩε

(10)

(11)

基于單胞上的平衡方程求得等效后均勻化板的荷載與應(yīng)變表達(dá)式(12)，其中定義〈·〉的運算形式如式(13)所示，相應(yīng)的剛度陣表達(dá)形式為式(14)．其中A為拉伸剛度系數(shù)，B為耦合剛度系數(shù)，D為彎曲剛度系數(shù)．

(12)

(13)

(14)

(15)

同時通過簡化坐標(biāo)及數(shù)值計算的方法可以得到結(jié)構(gòu)均勻化后的等效板殼剛度系數(shù)表達(dá)式為

(16)

其中ε0與ε*為單胞單位應(yīng)變場與周期性條件下對應(yīng)的位移場．進(jìn)一步根據(jù)文獻(xiàn)[13]對漸近均勻化格式進(jìn)行調(diào)整，如式(17)所示．具有周期性單胞結(jié)構(gòu)的板殼等效剛度系數(shù)表達(dá)式如式(18)所示．其中f0λμ和f*λμ分別為單位應(yīng)變對應(yīng)單胞節(jié)點反作用力和周期性邊界條件對應(yīng)的節(jié)點反作用力．

(17)

(18)

首先對單胞施加單位位移對應(yīng)的位移場χ0(λμ)，并通過商業(yè)有限元軟件提取單胞上節(jié)點反作用力f0λμ；然后，對單胞施加周期性邊界條件，將上步所得節(jié)點反作用力作為荷載f0λμ施加其上，得到單胞特征位移場χ*λμ；根據(jù)特征位移場求得其對應(yīng)的單胞結(jié)構(gòu)反作用力f*λμ．最后依據(jù)式(18)求得周期性均勻化板殼的等效剛度系數(shù)．

2 波紋板等效力學(xué)性能分析

波紋板常見的截面形式如圖5所示．在提供相同抗彎剛度前提下，波浪型(圖5(a))相比于鋸齒型(圖5(b)～(d))波紋板節(jié)省材料；但是波浪型波紋板相較于鋸齒型制造工序復(fù)雜．本章選取經(jīng)典的波紋板截面圖5(a)、(b)進(jìn)行等效剛度計算以及尺寸敏感性分析，建立波紋板精確模型進(jìn)行誤差分析對比．

(a)波浪型波紋板

2.1 基于波紋單胞的等效剛度參數(shù)計算

(a)波浪型波紋板

對于單位應(yīng)變場對應(yīng)的位移場，不同的單元類型其相應(yīng)的位移場不同，當(dāng)劃分單胞采用實體單元時，其單位應(yīng)變對應(yīng)的位移場如式(19)所示；當(dāng)采用殼體單元時，由于各個節(jié)點包含6個自由度，其單位應(yīng)變對應(yīng)的位移場如式(20)所示．

(19)

(20)

變換格式后的漸近均勻化方法，有利于借助商業(yè)有限元軟件為黑箱子實現(xiàn)快速運算，避免了以前格式煩瑣的編程實現(xiàn)．本文基于漸近均勻化理論方法，考慮有限元軟件ANSYS為使用者提供的便捷腳本語言APDL，不僅方便單胞有限元建模，同時相關(guān)的公式運算均能依靠二次開發(fā)實現(xiàn)，無須引入其他高級編程語言便可實現(xiàn)波紋結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能參數(shù)的求解．依據(jù)前述波浪型與鋸齒型單胞幾何尺寸建立有限元模型，如圖7、8所示，最后求得的兩種波紋板等效力學(xué)性能參數(shù)如表1、2所示．

(a)實體單元

(a)實體單元

表1 波浪型波紋板等效剛度參數(shù)Tab.1 Equivalent stiffness parameters of wave corrugated plate

為了驗證漸近均勻化方法應(yīng)用于波紋結(jié)構(gòu)的有效性，本文引用現(xiàn)有的分析方法如代表體元等效方法(RVE)[16]以及簡化理論分析方法作為對比．由結(jié)果數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)代表體元等效方法與漸近均勻化方法所求結(jié)果誤差不到5%，但兩者結(jié)果同經(jīng)驗公式相比誤差相對較大．同時基于漸近均勻化方法求解得等效剛度系數(shù)較代表體元等效方法結(jié)果大．而基于殼體單元的計算結(jié)果同基于實體單元相比誤差更小，但殼體單元的采用大大地提升了效率．

表2 鋸齒型波紋板等效剛度參數(shù)Tab.2 Equivalent stiffness parameters of sawtooth corrugated plate

2.2 單胞尺寸敏感性分析

從對比結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在整個漸近均勻化方法推導(dǎo)的過程中，單胞尺寸選取對結(jié)果的影響起著主要的作用．為準(zhǔn)確選擇單胞的形狀與尺寸，從而保證所選取的單胞能夠較好地代表結(jié)構(gòu)的力學(xué)基本性能參數(shù)[17]，本節(jié)以波浪型波紋板為例，選取不同波紋周期和寬度的單胞進(jìn)行尺寸效應(yīng)研究．

選取寬度一定，包括不同周期數(shù)目的單胞結(jié)構(gòu)如圖9所示，通過漸近均勻化方法等效求解得到其等效剛度參數(shù)如表3所示．在保持寬度一定的條件下，單胞所包含的周期逐漸增大時，除了垂直于波紋截面方向等效剛度不發(fā)生明顯變化外，其他等效力學(xué)性能參數(shù)均隨著周期數(shù)目的增加而減小；分析其原因為當(dāng)單胞包含的最小單元越多，其力學(xué)性能越柔順，同時越能體現(xiàn)真實大尺度波紋板的力學(xué)行為．

(a)1個周期

表3 波紋板等效剛度參數(shù)隨周期數(shù)目的變化Tab.3 Equivalent stiffness parameters of corrugated plate with different cycles

波紋周期一定，不同寬度的單胞結(jié)構(gòu)如圖10所示．當(dāng)寬度逐漸增大時，從表4可以發(fā)現(xiàn)等效力學(xué)性能參數(shù)幾乎不發(fā)生變化．這是因為寬度方向上材料和幾何形狀沒有明顯的變化，因此寬度對單胞力學(xué)性能幾乎不產(chǎn)生任何影響．

(a)小寬度

表4 波紋板等效剛度參數(shù)隨寬度的變化Tab.4 Equivalent stiffness parameters of corrugated plate with different widths

選定寬度同波紋周期長度相等的波紋結(jié)構(gòu)作為周期單胞時，不同比尺的單胞結(jié)構(gòu)如圖11所示．通過表5可以發(fā)現(xiàn)隨著單胞尺寸兩個方向同比例逐漸增大，等效剛度參數(shù)仍然呈現(xiàn)減小的趨勢．但是，相對寬度固定、周期數(shù)增加的情況，波紋板等效力學(xué)性能參數(shù)變化程度較弱，特別是中比尺與大比尺之間的結(jié)果相差較?。?/p>

(a)小比尺

表5 波紋板等效剛度參數(shù)隨比尺的變化Tab.5 Equivalent stiffness parameters of corrugated plate with different scales

綜上3種敏感性分析，為了更準(zhǔn)確地通過漸近均勻化方法等效波紋結(jié)構(gòu)力學(xué)性能參數(shù)，單胞應(yīng)選取2～3個周期波數(shù)為宜；而寬度方向的尺寸以不小于1個波長為宜，計算求解時綜合計算工作量確定單胞的幾何尺寸與形狀．

3 波紋板等效模型分析及對比

為了驗證等效方法的準(zhǔn)確性，本章建立真實波紋板的精細(xì)有限元模型，在基本力學(xué)行為下分析對比精細(xì)模型與等效模型的變形響應(yīng)，進(jìn)一步確定漸近均勻化方法的適用范圍．

3.1 等效有限元模型

憑借漸近均勻化方法求解的波浪型與鋸齒型等效剛度參數(shù)并不能直接應(yīng)用于等效數(shù)值模型中．依據(jù)幾何特點可知兩種波紋板等效結(jié)構(gòu)表征為典型的正交各向異性，其力與位移的關(guān)系表達(dá)式如式(21)所示．根據(jù)復(fù)合材料板殼結(jié)構(gòu)理論相關(guān)公式(22)～(24)，以波浪型波紋板為例等效各向異性殼的厚度t可通過式(25)求解，通過取平均計算可以得到殼體的厚度t=5 mm；材料本構(gòu)關(guān)系通過前述參數(shù)可以求得，如式(26)所示．

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

3.2 基本力學(xué)行為對比分析

依據(jù)上述求得的材料參數(shù)借助商業(yè)有限元軟件建立長寬均為50 cm的波紋板等效數(shù)值模型以及精細(xì)模型，相應(yīng)結(jié)構(gòu)參數(shù)與前述單胞模型相同．

實際中應(yīng)用的波紋板，在節(jié)省材料的同時能夠提升截面抗彎剛度．為了驗證實際波紋板與等效各向異性板的抗彎能力，本文建立經(jīng)典的四邊固支板模型，在整個結(jié)構(gòu)中心處施加壓力荷載．在集中力作用下變形響應(yīng)如圖12、13所示，在100 N 荷載作用下，結(jié)構(gòu)中心位置的位移響應(yīng)分別為3.567 mm和3.498 mm，兩者之間的誤差為1.93%．可見等效板能夠模擬原始波紋板的宏觀位移響應(yīng)．但是在離中心荷載位置較遠(yuǎn)的區(qū)域，等效模型不能較好地模擬其變形行為．這是因為等效力學(xué)性能參數(shù)等效時忽略了耦合行為對其造成的影響．

圖12 波紋板結(jié)構(gòu)變形響應(yīng)Fig.12 Deformation response of corrugated plate structure

圖13 等效板結(jié)構(gòu)變形響應(yīng)Fig.13 Deformation response of equivalent corrugated plate

4 結(jié) 論

(1)漸近均勻化方法能夠快速有效地實現(xiàn)波紋結(jié)構(gòu)的等效力學(xué)性能求解，同傳統(tǒng)的經(jīng)驗公式與代表體元等效方法相比，誤差不到2%．

(2)通過單胞尺寸效應(yīng)分析發(fā)現(xiàn)，單胞尺寸和形狀的選取對等效性能參數(shù)的影響明顯，單胞包含的最小單元越多，其結(jié)果越接近真實情況．建立的單胞包含周期以2～3個為宜，而寬度方向不低于1個周期長度即可．

(3)當(dāng)開展基于波紋單胞的宏觀結(jié)構(gòu)力學(xué)性能分析時，基于漸近均勻化方法的等效力學(xué)性能分析能夠在保證精度的前提下提高分析效率．

(4)對于相對精細(xì)的有限元模型，其等效模型的力學(xué)性能參數(shù)通過線性位移場假設(shè)求得，因此無法準(zhǔn)確地模擬完整模型的非線性行為．

綜上所述，漸近均勻化方法為波紋結(jié)構(gòu)的分析及設(shè)計提供了一種新的高效求解方法，為工程設(shè)計制造提供了有益參考．