基于學(xué)習(xí)進階的高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究

王琳 吳華

摘? 要 介紹學(xué)習(xí)進階的起源、內(nèi)涵和構(gòu)成要素，解讀新課標和人教B版教材中有關(guān)對數(shù)函數(shù)的要求，以布盧姆教育目標分類學(xué)理論為基礎(chǔ)，構(gòu)造對數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)進階，并基于學(xué)習(xí)進階，開發(fā)對數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計模型，為教師開展有效教學(xué)提供參考。

關(guān)鍵詞 學(xué)習(xí)進階;數(shù)學(xué)教學(xué);對數(shù)函數(shù);教學(xué)改革;教學(xué)設(shè)計;GeoGebra

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2021）11-0056-04

0? 前言

學(xué)習(xí)進階強調(diào)學(xué)生的認知發(fā)展，在設(shè)計連貫一致的中小學(xué)科學(xué)課程方面具有很大價值，能使教育研究與教學(xué)緊密結(jié)合[1]。因此，將學(xué)習(xí)進階引入數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，與我國數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合，具有一定的研究價值。本文以高中階段的概念對數(shù)函數(shù)為例，說明如何開展基于學(xué)習(xí)進階的對數(shù)函數(shù)教學(xué)研究。

1? 學(xué)習(xí)進階的內(nèi)涵與發(fā)展

1.1? 學(xué)習(xí)進階的起源

近十年來，學(xué)習(xí)進階（Learning Progressions，簡稱LPs）逐漸發(fā)展為科學(xué)教育界的研究熱點之一，它與評價、課程、教學(xué)這三個領(lǐng)域都有密切聯(lián)系[2]。其最先起源于美國，定義于2004年由Smith等人首次提出。2005年，美國國家研究委員會（NRC）發(fā)布的研究報告認為，在課標、教學(xué)和評價這三者的一致性方面，學(xué)習(xí)進階能發(fā)揮重要作用[3]。

2007年，NRC發(fā)布名為《將科學(xué)帶進學(xué)校》的研究報告，其中明確提出學(xué)習(xí)進階的定義，并提倡可以用學(xué)習(xí)進階來進行科學(xué)教育改革，引起研究者的廣泛關(guān)注，成為研究的熱點問題，正式進入大眾視野。而2013年頒布的新一代科學(xué)教育標準，更是進一步提升了學(xué)習(xí)進階在教育領(lǐng)域的研究地位。

1.2? 學(xué)習(xí)進階的內(nèi)涵

從學(xué)習(xí)進階提出至今已有十多年的時間，不少研究者根據(jù)自己的理解嘗試對其進行定義，大致可以分為方法說、過程說、本質(zhì)說、假設(shè)說、序列說等幾類觀點，但是迄今為止仍然沒有得到一致的、被廣泛認可的結(jié)論。雖然研究者目前對學(xué)習(xí)進階的研究內(nèi)容和方法可能不盡相同，但多數(shù)引用的是2007年NRC提出的學(xué)習(xí)進階定義：“在較長時間內(nèi)，學(xué)生對某一主題或概念不斷深入、精致發(fā)展的思維方式的描述?！盵4]NRC的概念界定方式得到多數(shù)人的認可，因此，本文也將引用NRC的定義對學(xué)習(xí)進階進行概念界定，從而進行相關(guān)研究。

1.3? 學(xué)習(xí)進階的構(gòu)成要素

學(xué)習(xí)進階的構(gòu)成包括五個要素：進階維度、進階終點、成就水平、學(xué)業(yè)表現(xiàn)和測評工具。這是目前科學(xué)教育界的普遍觀點[5]。

1.3.1? 進階維度? 進階維度主要指進階層級中蘊含的核心概念，研究者可通過追蹤核心概念掌握情況或進階維度來掌握學(xué)習(xí)進階進程。

1.3.2? 進階終點? 進階終點即學(xué)習(xí)目標，是指在某一階段學(xué)習(xí)結(jié)束時希望學(xué)生達成的水平，也是學(xué)習(xí)進階的最終水平。

1.3.3? 成就水平? 成就水平存在于學(xué)生的進階發(fā)展路徑上，具有多個中間層級，能夠反映學(xué)生認知發(fā)展過程中不同的思維階段。

1.3.4? 學(xué)業(yè)表現(xiàn)? 學(xué)業(yè)表現(xiàn)是指學(xué)生在完成某類學(xué)業(yè)任務(wù)后，對應(yīng)達到的成就水平所表現(xiàn)出的特征。

1.3.5? 測評工具? 測評工具主要用于檢測學(xué)生預(yù)期成就水平的達成情況，從而完善和改進學(xué)習(xí)進階。

1.4? 基于學(xué)習(xí)進階的教學(xué)設(shè)計模型

筆者將學(xué)習(xí)進階應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐，為保證教學(xué)的順利進行，基于學(xué)習(xí)進階，開發(fā)了教學(xué)設(shè)計模型，如圖1所示。

2? 基于學(xué)習(xí)進階的對數(shù)函數(shù)教學(xué)研究

對數(shù)函數(shù)是六大基本初等函數(shù)之一，是繼指數(shù)函數(shù)之后的又一重要初等函數(shù)。與指數(shù)函數(shù)相比，它所涉及的知識更豐富，方法更靈活，但二者之間也存在聯(lián)系，在知識和思想方法方面具有共通之處。對數(shù)函數(shù)不僅是對指數(shù)函數(shù)的鞏固和提高，更是為函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用奠定良好的基礎(chǔ)。筆者以高中數(shù)學(xué)人教B版教材必修一中“函數(shù)”主題下的對數(shù)函數(shù)教學(xué)為例，構(gòu)建對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)進階。

2.1? 基于新課程標準的分析

在構(gòu)建學(xué)習(xí)進階之前，首先要明確學(xué)生在學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)概念時應(yīng)獲得的知識和能力，確定教學(xué)目標，因此需要對新課標進行分析。筆者梳理、分析《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》中涉及對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，整理后得出新課標中有關(guān)對數(shù)函數(shù)的教學(xué)要求，如表1所示[6]。

2.2? 基于布盧姆教學(xué)目標分類學(xué)理論的學(xué)習(xí)進階成就水平的劃分

學(xué)習(xí)進階中的“階”可以幫助判斷學(xué)習(xí)者在認知發(fā)展過程中的一些關(guān)鍵節(jié)點[7]，因此，只有弄清楚學(xué)習(xí)進階中的“階”，才能合理設(shè)計教學(xué)[8]。本文將選擇2001年修訂版的布盧姆教育目標分類學(xué)理論作為構(gòu)建學(xué)習(xí)進階的依據(jù)，其中認知過程被分為記憶、理解、應(yīng)用、分析、評價和創(chuàng)造六個遞進層級，通過這六個層級能夠反映預(yù)期的學(xué)生應(yīng)該達到的認知層次。本文將結(jié)合布盧姆教育目標分類學(xué)理論，依據(jù)新課標、教材和學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律，把對數(shù)函數(shù)主題下的學(xué)習(xí)進階劃分為五個層級水平，即記憶、理解、應(yīng)用、分析、評價，并描述每個層級水平對應(yīng)的預(yù)期學(xué)生學(xué)業(yè)表現(xiàn)，設(shè)計出相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計模型。

2.2.1? 記憶? 記憶指的是從長時記憶中提取相關(guān)的知識。學(xué)生在接觸抽象的對數(shù)函數(shù)的概念之前，已經(jīng)接觸了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)，具備了“指對互化”的意識，會用換底公式進行對數(shù)間的轉(zhuǎn)化，方便接下來對數(shù)函數(shù)概念的引出。

2.2.2? 理解? 理解即為通過語言、圖像、文字等方式建構(gòu)意義。因此，在本階段要求學(xué)生能通過與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的實例，初步歸納對數(shù)函數(shù)的一般式，繼而理解對數(shù)函數(shù)的概念;通過描點畫出對數(shù)函數(shù)圖像，發(fā)現(xiàn)其特殊點（1，0）;類比探究指數(shù)函數(shù)的過程，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像，分析對數(shù)函數(shù)的定義域和值域;并在教師的引導(dǎo)下，討論根據(jù)底數(shù)不同的情況，從而判斷單調(diào)性。在此階段培養(yǎng)類比和數(shù)形結(jié)合思想。

2.2.3? 應(yīng)用? 應(yīng)用指在某特定情景中，用某種程序解決熟悉或不熟悉的問題。所以，在應(yīng)用階段，學(xué)生不僅要理解對數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)，更要能靈活應(yīng)用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，如比較函數(shù)值的大小，或判斷函數(shù)的定義域和值域。

2.2.4? 分析? 分析階段要求能夠辨析各個部分的構(gòu)成和相互關(guān)系，以及各部分與總體之間的關(guān)系。所以，教師要讓學(xué)生自主對比指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)、辨析兩種函數(shù)性質(zhì)之間的聯(lián)系，認識新舊知識之間的聯(lián)系。通過兩者關(guān)系的對比，為反函數(shù)概念的學(xué)習(xí)作合理鋪墊，同時訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維。

2.2.5? 評價? 在評價階段，學(xué)生應(yīng)自主回顧、反思本節(jié)課的知識和學(xué)習(xí)過程，評價自己的學(xué)習(xí)表現(xiàn);將之前學(xué)習(xí)的對數(shù)和指數(shù)函數(shù)等相關(guān)概念與對數(shù)函數(shù)建立正確的聯(lián)系，體會其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生的對數(shù)函數(shù)和函數(shù)知識體系更具系統(tǒng)性。

2.3? 對數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)進階框架的構(gòu)建

結(jié)合以上分析，筆者對每一層級水平的學(xué)生預(yù)期學(xué)習(xí)表現(xiàn)再加以解釋說明，構(gòu)建對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)進階框架，如表2所示。

2.4? 基于學(xué)習(xí)進階的對數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計模型

根據(jù)新課標中對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)目標要求，以及整理出的對數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)進階框架，以“對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像”這一課時為例，結(jié)合學(xué)習(xí)進階教學(xué)設(shè)計模型，優(yōu)化出基于學(xué)習(xí)進階的對數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計模型，并設(shè)置相應(yīng)的教學(xué)活動。教學(xué)思路如圖2所示。

階段一：創(chuàng)設(shè)情境，引出對數(shù)函數(shù)概念。教師通過教材“情境與問題”中的碳14問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)死亡生物體內(nèi)碳14含量與生物死亡年代這兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系;學(xué)生結(jié)合函數(shù)特征，通過自己的思考，把解析式概括為y=logax這樣的一般形式，為對數(shù)函數(shù)的自然引出提供鋪墊。通過實例引入，使學(xué)生初步建立對數(shù)函數(shù)模型，同時感受到對數(shù)函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切關(guān)聯(lián)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

階段二：理解概念，研究對數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)。教師給出對數(shù)函數(shù)的概念：y=logax，其中，a為常數(shù)，a>0，且a≠1。并提出問題：在一個對數(shù)函數(shù)中，自變量的值可以是負數(shù)或0嗎？學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，嘗試將對數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)，發(fā)現(xiàn)自變量的取值不能小于零，進一步理解對數(shù)函數(shù)的概念。

教師布置任務(wù)：利用描點法，分別作出兩個對數(shù)函數(shù)y=log2x和的圖像，結(jié)合圖像和函數(shù)解析式，分析并歸納對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。學(xué)生自主作圖，分組討論交流，類比指數(shù)函數(shù)的探究過程，結(jié)合圖像，總結(jié)對數(shù)函數(shù)在定義域、值域、公共點等方面的性質(zhì)。教師再引導(dǎo)學(xué)生觀察底數(shù)分別為a>1或0

另外，教師還可利用GeoGebra，展示底數(shù)不同的對數(shù)函數(shù)圖像。利用現(xiàn)代信息技術(shù)輔助教學(xué)，不僅更具動態(tài)性和清晰性，還可以讓學(xué)生直觀了解底數(shù)不同時對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

階段三：例題演練，運用對數(shù)函數(shù)解決問題。教師設(shè)置三種類型的例題（比較對數(shù)函數(shù)值大小、求對數(shù)函數(shù)的參數(shù)范圍、定義域和值域），讓學(xué)生完成后舉手作答或進行板演，再對學(xué)生的回答予以補充。通過例題的分析與練習(xí)，讓學(xué)生理解對數(shù)函數(shù)的本質(zhì);能用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和“同增異減”原理（應(yīng)用于復(fù)合型對數(shù)函數(shù)）求解參數(shù)范圍;明確對數(shù)函數(shù)有意義的條件，鍛煉學(xué)生運用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)解決問題的能力。

階段四：深入辨析，感知對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。教師引導(dǎo)學(xué)生對比同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，初步了解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系，為反函數(shù)的教學(xué)奠定基礎(chǔ)。

階段五：反思評價，形成對數(shù)函數(shù)知識體系。學(xué)生從對數(shù)函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像和相關(guān)題型等幾方面進行回顧反思，教師最后總結(jié)。學(xué)生通過整理所學(xué)知識，將本節(jié)課內(nèi)容與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)建立聯(lián)系，感受其中的數(shù)學(xué)思想方法，進一步完善高中函數(shù)知識體系，通過自主反思，培養(yǎng)邏輯思維。

3? 基于學(xué)習(xí)進階的數(shù)學(xué)教學(xué)改革

3.1? 有利于教師合理組織教學(xué)內(nèi)容，實現(xiàn)有效教學(xué)

學(xué)習(xí)進階是在較長時間段里持續(xù)對某一主題進行的研究，可以詳細展示學(xué)生在不同水平下所具有的不同學(xué)習(xí)表現(xiàn)。因此，教師可以運用學(xué)習(xí)進階的研究指導(dǎo)教學(xué)，理解學(xué)生在不同知識主題下的認知發(fā)展過程，正確理解課標并落實課標要求，從而科學(xué)合理地制定學(xué)生在各個學(xué)段的進階目標，使教學(xué)過程更具整體性和連貫性，并能夠呈漸進式、階梯式發(fā)展。

3.2? 能夠促進知識的銜接與整合，有利于學(xué)生形成良好的知識結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)淺嘗輒止，而應(yīng)該明確知識之間的聯(lián)系，理清知識的發(fā)展脈絡(luò)。學(xué)習(xí)進階正是使碎片化的知識向完整嚴謹?shù)目茖W(xué)概念轉(zhuǎn)變的過程。因此，教師可以運用學(xué)習(xí)進階進行教學(xué)，串聯(lián)并整合零散的知識點，建立以對數(shù)函數(shù)為核心的主線，幫助學(xué)生建構(gòu)知識框架，形成更加完善、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系。

4? 結(jié)語

本文以布盧姆教育目標分類學(xué)理論為基礎(chǔ)，結(jié)合高中數(shù)學(xué)新課標和人教B版教材，構(gòu)造對數(shù)函數(shù)主題的學(xué)習(xí)進階，開發(fā)對數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計模型，明確每一階段的學(xué)習(xí)目標，有利于學(xué)生對知識整體性的把握。通過構(gòu)建學(xué)習(xí)進階來指導(dǎo)教學(xué)實踐，希望為教師教學(xué)和未來學(xué)習(xí)進階研究的發(fā)展提供幫助。

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