旋轉(zhuǎn)超聲磨削平行砂輪復合變幅器設(shè)計與試驗?

周瑞峰 秦慧斌 馮 毅 龐學慧 呂 明

(1 中北大學先進制造技術(shù)山西省重點實驗室 太原 030051)

(2 太原理工大學精密加工山西省重點實驗室 太原 030024)

0 引言

旋轉(zhuǎn)超聲磨削加工技術(shù)具有切削力小、加工損傷少、加工效率高的優(yōu)點，適用于工程陶瓷、光學玻璃、金屬基復合材料等硬脆性材料的加工[1?2]。超聲諧振刀具系統(tǒng)是超聲磨削工藝系統(tǒng)的核心，它的性能直接影響著硬脆材料的加工質(zhì)量和使用性能[3?4]。目前大負載旋轉(zhuǎn)超聲加工諧振系統(tǒng)的設(shè)計缺乏系統(tǒng)的理論設(shè)計方法，諧振系統(tǒng)設(shè)計周期長、試用性差[5]。

超聲磨削工具系統(tǒng)主要有將超聲振動作用于工件或砂輪兩種方式[6?7]。文獻[8]基于Mindlin理論提出了齒輪變幅器的設(shè)計方法，完成了齒輪超聲珩磨，但超聲諧振施加在齒輪工件上，工藝通用性不足。趙波等[9]將超聲振動施加在短粗圓柱砂輪上，設(shè)計的超聲輔助內(nèi)圓磨削工具系統(tǒng)具有良好的聲學特性。平行砂輪超聲磨削諧振系統(tǒng)的核心部件是平行砂輪諧振變幅器，它由變幅桿和平行砂輪組成。付俊帆等[10]基于Mindlin 中厚板理論提出了環(huán)盤負載與圓錐變幅桿的縱彎諧振變幅器設(shè)計方法，但尚未應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)超聲磨削工具系統(tǒng)的設(shè)計。圓柱與圓錐形的復合變幅桿在大功率超聲應(yīng)用中，其圓錐輸出端往往具有較大的振幅、較小應(yīng)力等優(yōu)點，并且該種變幅桿在加工和安裝方面更具便利性[11]。復合變幅桿與平行砂輪組成的復合變幅器在旋轉(zhuǎn)超聲磨削中具有更廣泛的工藝適應(yīng)性。

本文以設(shè)計大負載平行砂輪復合變幅器為目的，采用Mindlin 中厚板理論，通過復合變幅桿各段間的力與位移的邊界條件和連續(xù)條件，環(huán)盤的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力的解析表達式，以及復合變幅桿和環(huán)盤力與位移的耦合條件，建立平行砂輪復合變幅器的數(shù)學模型與頻率方程。利用有限元方法分析復合變幅器的諧振頻率及模態(tài)，并加工實物進行阻抗試驗和超聲諧振試驗，來驗證理論設(shè)計方法的可行性。

1 復合變幅器的設(shè)計理論分析模型

1.1 平行砂輪旋轉(zhuǎn)超聲磨削刀具系統(tǒng)

由于平行砂輪可用于內(nèi)圓磨、外圓磨、平面磨、無心磨和裝在砂輪機上手動粗磨等多種提高零件表面質(zhì)量的工藝中，因此，將平行砂輪結(jié)合超聲振動用于磨削領(lǐng)域。為了提高旋轉(zhuǎn)超聲磨削刀具系統(tǒng)在磨削工藝中的通用性，設(shè)計了一種可以應(yīng)用于標準加工中心或通用機床上的旋轉(zhuǎn)超聲磨削刀具系統(tǒng)，其中平行砂輪旋轉(zhuǎn)超聲磨削刀具系統(tǒng)由BT40 標準刀柄設(shè)計的刀柄套筒、導電滑環(huán)、鎖緊螺母、超聲波振子以及平行砂輪組成，其裝配體如圖1所示[12]。

圖1 刀具系統(tǒng)的裝配體模型[12]Fig.1 Assembly model of the tool system[12]

該刀具系統(tǒng)的爆炸圖如圖2所示，由鎖緊螺母、平行砂輪、內(nèi)六角固定螺栓、復合變幅桿、換能器、BT40 刀柄套筒、轉(zhuǎn)子固定螺栓、導電滑環(huán)這8 部分組成，其中鎖緊螺母、平行砂輪、復合變幅桿、換能器組成了旋轉(zhuǎn)超聲磨削刀具系統(tǒng)的核心部件——平行砂輪復合變幅器。超聲波振子由換能器和復合變幅桿組成，超聲波能量從超聲波發(fā)生器輸出電信號，流經(jīng)導電滑環(huán)的導線將電信號傳遞至換能器，換能器將電信號轉(zhuǎn)變成機械振動，再利用復合變幅桿放大的作用將機械振動放大，最終傳遞至平行砂輪使其產(chǎn)生超聲磨削所需的高頻振動，為旋轉(zhuǎn)超聲磨削加工提供能量。

圖2 刀具系統(tǒng)的爆炸圖模型Fig.2 Exploded view model of the tool system

20 kHz、28 kHz、35 kHz 的系列超聲發(fā)生器、換能器等成熟產(chǎn)品已投放市場，為旋轉(zhuǎn)超聲磨削加工的砂輪諧振變幅器的研制提供了物質(zhì)保障。論文基于市場上成熟的28 kHz 超聲發(fā)生器、換能器產(chǎn)品，設(shè)計旋轉(zhuǎn)超聲磨削平行砂輪復合變幅器。

1.2 復合變幅器的結(jié)構(gòu)分析

利用大端為圓柱桿和小端為圓錐桿組合而成的復合變幅桿，通過薄螺母將砂輪環(huán)盤緊固于復合變幅桿的圓錐桿的小端組成了復合變幅器，如圖3所示。由于薄螺母的尺寸相對環(huán)盤和復合變幅桿很小，所以在計算中忽略薄螺母對計算結(jié)果的影響。建立復合變幅器的圓柱坐標系(r,θ,z)如圖3所示。其中，復合變幅桿的圓柱桿半徑為R1，圓錐桿小端半徑為R2；圓柱桿的桿長為L1，圓錐桿的桿長為L2；平行砂輪內(nèi)孔半徑、平行砂輪金屬基體內(nèi)環(huán)盤半徑、中間環(huán)盤和磨料層環(huán)盤半徑分別為R3、R4、R5、R6；各環(huán)盤厚度分別為t1、t2、t3。平行砂輪金屬基體環(huán)盤的密度、彈性模量和泊松比分別以ρ1、E1、μ1表示，平行砂輪中間環(huán)盤的密度、彈性模量和泊松比分別以ρ2、E2、μ2表示，平行砂輪磨料層環(huán)盤的密度、彈性模量和泊松比分別以ρ3、E3、μ3表示，復合變幅桿的密度、彈性模量和泊松比分別以ρ4、E4、μ4表示。

圖3 復合變幅器理論分析模型Fig.3 Structure of the composite amplitude transformer

上述復合變幅器的理論模型是針對不同結(jié)構(gòu)的平行砂輪的最大化的模型；若t1=t2=t3時，該理論模型可以設(shè)計求解相同厚度環(huán)盤的平行砂輪復合變幅器。若t1≠t2≠t3時，該理論模型也可進行不同厚度階梯環(huán)盤砂輪復合變幅器的設(shè)計求解。該理論模型對旋轉(zhuǎn)超聲磨削刀具系統(tǒng)的研制具有重要的指導意義。旋轉(zhuǎn)超聲磨削平行砂輪復合變幅器以“縱-彎”耦合諧振方式工作。復合變幅桿的圓柱桿端與換能器相連接，換能器產(chǎn)生的縱向振動直接傳遞給復合變幅桿，復合變幅桿的縱向振動激勵砂輪環(huán)盤以節(jié)圓型橫向彎曲的振動形式作用于工件。

1.3 復合變幅器頻率方程的建立與求解

1.3.1 復合變幅桿

復合變幅桿在其工作頻率f下做縱向振動。圓柱桿的縱向振動位移以ξ1表示，應(yīng)變以ε1表示；圓錐桿的縱向振動位移以ξ2表示，應(yīng)變以ε2表示。ξ1、ξ2、ε1、ε2的解析表達式分別為

圓柱桿：

圓錐桿：

其中：α=(R1?R2)/R1L2；C11、C12、C21、C22為待定常數(shù)，由邊界條件確定；圓波數(shù)k1、圓頻率ω、縱波波速c1的計算公式為k1=ω/c1,ω= 2πf,

1.3.2 環(huán)盤

理論分析時，將平行砂輪簡化為多階梯環(huán)盤。環(huán)盤在復合變幅桿縱振激勵下以節(jié)圓型橫向彎曲振動形式做超聲振動。各環(huán)盤的橫向位移wi和徑向轉(zhuǎn)角βri的解析表達式[13]為

其中，A1i、A2i、B1i、B2i為由邊界條件確定的待定常數(shù)，i= 1、2、3 分別表示內(nèi)環(huán)盤、中間環(huán)盤和外環(huán)盤；Jn為第一類貝塞爾函數(shù)，Yn為第二類貝塞爾函數(shù)，n代表環(huán)盤振動的節(jié)徑數(shù)，根據(jù)Mindlin 中厚板理論可以得出，環(huán)盤做節(jié)圓型橫向彎曲振動，此時，n=0。式(3)中σ1i、σ2i、δ1i、δ2i可由式(4)求得如下：

其中，材料的彎曲剛度、剪切彈性模量、剪切影響因子分別為

徑向彎矩分量Mri和徑向剪力分量Qri的解析表達式分別為

1.3.3 頻率方程

與換能器相連接的復合變幅桿，在換能器的激勵下做縱向振動，由于復合變幅桿圓柱端通過螺紋緊固在一起，換能器與圓柱端可以視為等能量傳播，在復合變幅桿z=?L1處為自由端，應(yīng)力為0，即

其中，在復合變幅桿的圓柱端和圓錐端之間由于存在截面變化，兩部分在z=0處耦合，滿足連續(xù)條件，即

復合變幅桿的圓錐桿端與內(nèi)環(huán)盤通過薄螺母緊固，可以視之為剛性連接。故在z=L2、r=R2處，復合變幅器上存在著圓錐桿小端與內(nèi)環(huán)盤環(huán)形面沿z軸方向的力與位移的連續(xù)條件；由于復合變幅器整體為剛體，內(nèi)環(huán)盤不存在轉(zhuǎn)動，故在r=R3處，內(nèi)環(huán)盤上的徑向轉(zhuǎn)角βr1為0，即

在復合變幅器的內(nèi)環(huán)盤與中間環(huán)盤在r=R4處存在耦合，為滿足兩環(huán)盤之間的連續(xù)條件，橫向位移wi、徑向轉(zhuǎn)角βri、徑向彎矩分量Mri和徑向剪力分量Qri相等，即

同樣地，在復合變幅器的中間環(huán)盤和外環(huán)盤在r=R5處也存在耦合，因此在中間環(huán)盤和外環(huán)盤的連續(xù)條件，同樣滿足橫向位移wi、徑向轉(zhuǎn)角βri、徑向彎矩分量Mri和徑向剪力分量Qri相等，即

旋轉(zhuǎn)超聲磨削加工中，砂輪在切削工件時為高頻非連續(xù)性接觸，且磨削力會隨磨削條件不同而改變；結(jié)合工作頻率20 kHz 超聲磨削振動系統(tǒng)的加工試驗，磨削力負載對超聲振動系統(tǒng)的設(shè)計可以忽略，因而視外環(huán)盤為自由邊界，即

將式(6)～(11)整理，得到了一個16 階的齊次方程組：

通過求解該方程組，可解得所需的參數(shù)。

其中，Dpq(p、q= 1,2,3,···,16)均為待定常數(shù)，系數(shù)Cmn(m= 1,2;n= 1,2)可由復合變幅器的各項材料參數(shù)、尺寸參數(shù)和設(shè)計頻率來確定相應(yīng)的待定常數(shù)。其中系數(shù)A1i、A2i、B1i、B2i、Cmn不全為0時，要使得上述方程組有解的充要條件是由方程組系數(shù)組成的行列式|?16×16|= 0，即可得到復合變幅器的頻率方程。當確定了復合變幅器組成材料和各結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)時，可通過計算機編程對該頻率方程求解得出復合變幅器的縱彎諧振頻率。反之，當確定了復合變幅器的諧振頻率、材料組成，通過各材料的性能參數(shù)以及變幅器的尺寸參數(shù)，同樣對頻率方程求解得出相應(yīng)的未知尺寸。

顯然，式(12)解得的解向量不唯一。因此，需要引入新的邊界條件：其中換能器將超聲振動的能量傳遞到復合變幅器圓柱端面上，可將換能器的輸出振幅設(shè)為ξ0。此時，復合變幅器的圓柱端面處的邊界條件即有

聯(lián)立式(12)和式(13)可以得到方程組的唯一解向量，將這組解向量代入式(1)和式(2)，可以得到復合變幅桿的振幅曲線。同理，將這組解向量代入式(3)可求得各環(huán)盤的振幅曲線，也可以得到環(huán)盤上的各個位置的振幅曲線。

2 復合變幅器的結(jié)構(gòu)設(shè)計

為了使這一設(shè)計理論方法更高效率地設(shè)計平行砂輪復合變幅器，利用計算機軟件開發(fā)了平行砂輪復合變幅器尺寸設(shè)計軟件，來求解復合變幅器圓錐桿部分的尺寸L2，其中復合變幅桿的材料為45#鋼，平行砂輪由鋁基體和金剛石磨料兩種材料組成，各部分材料的性能參數(shù)如表1所示，將各部分材料的性能參數(shù)輸入復合變幅器尺寸設(shè)計軟件。

表1 材料的性能參數(shù)Table 1 Material performance parameters

在考慮了復合變幅桿的加工和安裝等條件后，確定了復合變幅桿圓柱端的長度L1= 62 mm、R1= 20 mm、R2= 10 mm、R3= 5 mm。砂輪選用了市場上現(xiàn)有的平行砂輪，確定了平行砂輪的尺寸參數(shù)，其中內(nèi)環(huán)盤、中間環(huán)盤的半徑R4=R5=45 mm，內(nèi)環(huán)盤、中間環(huán)盤即可合并成為一個環(huán)盤，各個環(huán)盤厚度t=t1=t2=t3=5 mm。將表2中復合變幅器的尺寸參數(shù)輸入至開發(fā)的設(shè)計軟件中，求解得到了復合變幅桿長度L2= 36 mm。將該尺寸的變幅器進行了模態(tài)分析得到的諧振頻率為27494 Hz，由于該數(shù)值不在換能器的諧振頻率的27752～30472 Hz 之間，因此在不改變復合變幅桿直徑和大端的條件下，適當縮短其錐形桿部分的長度，最終在L2=30 mm時，進行模態(tài)分析得到復合變幅器諧振頻率為28756 Hz，接近換能器諧振頻率的中間值，此時的模態(tài)為“縱-彎”耦合的振動形式。因而將通過求解軟件得到的L2取整為30 mm。

表2 復合變幅器的尺寸參數(shù)Table 2 Size parameters of the composite amplitude transformer

將上述各材料的性能參數(shù)和復合變幅桿各部分結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)帶入式(12)和式(13)可求解得到平行砂輪復合變幅器振幅曲線。通過計算機軟件編寫了對應(yīng)的求解程序，求解了平行砂輪復合變幅器砂輪的振幅曲線。試驗設(shè)備所用的設(shè)備是杭州成功超聲設(shè)備有限公司生產(chǎn)的超聲波電源(型號YPJ17-0067)和柱形換能器(型號YP-3828-4BZ)，超聲波電源正常的工作電壓為220 V，最大功率為1000 W，超聲波電源在工作電壓下產(chǎn)生電激勵通過柱形換能器產(chǎn)生高頻振動，換能器端面處的輸出振幅為6 μm，即ξ0= 6 μm，將其代入式(13)通過求解程序求得的平行砂輪在軸向方向的理論振幅曲線如圖4所示，此時平行砂輪沿復合變幅器的軸向方向的振幅范圍為?10～5 μm，在節(jié)圓半徑r1= 26.12 mm、r2= 43.72 mm 處的軸向振幅為0，砂輪外緣的軸向振幅約為6 μm。為進一步驗證該種理論設(shè)計方法的可行性，依據(jù)復合變幅器的設(shè)計結(jié)果加工了實物進行實驗分析。

圖4 平行砂輪理論振幅曲線Fig.4 Theoretical amplitude curve of parallel grinding wheel

3 復合變幅器的有限元仿真分析

依據(jù)表2中的復合變幅器尺寸參數(shù)通過Solid-Works 軟件建立了三維模型，將建立好的三維模型導入有限元分析軟件進行了模態(tài)分析。根據(jù)復合變幅器的各部分的材料參數(shù)設(shè)置了相應(yīng)的材料屬性，其中復合變幅桿的材料為45#鋼，砂輪金屬基體環(huán)盤的材料為鋁，砂輪外環(huán)盤的材料為磨料層，并利用網(wǎng)格劃分功能對各部分實體結(jié)構(gòu)進行了4 級精度的智能網(wǎng)格劃分，解法并提取25～30 kHz 的復合變幅器諧振狀態(tài)。復合變幅器的有限元模態(tài)分析結(jié)果如圖5(a)所示，砂輪的振動方向沿著復合變幅桿的軸向產(chǎn)生高頻振動；其諧響應(yīng)結(jié)果如圖5(b)所示，并將法蘭盤設(shè)置在復合變幅桿振幅節(jié)點位置如圖5(b)所示，距復合變幅桿的圓柱末端45 mm，目的是降低法蘭盤對復合變幅器振動效果的影響，并從圖5(b)中可以得到復合變幅桿的軸向振幅大小約為?9～6 μm。其中，復合變幅器處于諧振狀態(tài)是的頻率為28756 Hz，該諧振頻率與設(shè)計頻率28000 Hz 的誤差為2.7%。通過上述有限元模態(tài)分析的結(jié)果表明，通過該方法設(shè)計的平行砂輪復合變幅器振型良好，所以可以加工實物進行進一步的試驗分析。

圖5 復合變幅器Fig.5 Composite amplitude transformer

在確定了平行砂輪復合變幅器的結(jié)構(gòu)和尺寸等參數(shù)后，通過有限元分析軟件進行了諧響應(yīng)分析，取該變幅器圓柱輸入端的振幅為6 μm，得到了平行砂輪沿復合變幅器軸向方向的振幅曲線如圖6所示，此時平行砂輪的軸向振幅為?10～5 μm，在節(jié)圓半徑r1=27.13 mm、r2=44.57 mm 的軸向振幅為0，環(huán)盤外緣的的軸向振幅約為7 μm。

圖6 平行砂輪諧響應(yīng)分析振幅曲線Fig.6 Harmonic analysis of parallel grinding wheel

4 復合變幅器的諧振特性試驗

4.1 阻抗特性測試試驗

通過上述的有限元仿真分析驗證了設(shè)計的可行性，依據(jù)表2的復合變幅器尺寸參數(shù)進行變幅器各部分零件的加工，并將其組成了諧振系統(tǒng)，使用PV70A型阻抗分析儀進行了阻抗分析試驗，具體的阻抗測試裝置如圖7所示，得到的測量結(jié)果如圖8所示。

圖7 阻抗分析試驗Fig.7 Impedance analysitest

通過得到的阻抗測試結(jié)果分析得到，該諧振系統(tǒng)的導納曲線為一個完整的單圓，對數(shù)坐標系中的阻抗曲線僅可得到一對極小值和極大值，相位角曲線呈現(xiàn)明顯的“幾”字形，這表明換能器與復合變幅桿在連接面處接觸狀況良好，所施加預緊力合適。且超聲振動系統(tǒng)機械品質(zhì)因數(shù)較好，表明聲電轉(zhuǎn)化率高。由此證明本設(shè)計的復合變幅桿結(jié)構(gòu)和尺寸較合理。在圖8的參數(shù)欄中，該諧振系統(tǒng)的諧振頻率為28495 Hz，誤差為1.77%，這說明該超聲振動系統(tǒng)的工作頻率與換能器本身的工作頻率相差很小，諧振系統(tǒng)可以處于一個比較理想的工作狀態(tài)。

圖8 阻抗測試結(jié)果Fig.8 Result of impedance analysis test

4.2 諧振試驗分析

為了研究該諧振系統(tǒng)的諧振特性，將諧振系統(tǒng)與導電滑環(huán)和刀柄套筒進行裝配得到了如圖9所示的超聲刀具系統(tǒng)，并通過超聲諧振試驗為進行超聲磨削試驗做準備。將超聲波電源、諧振系統(tǒng)、示波器等試驗設(shè)備連接完畢后，啟動超聲波電源，通過調(diào)頻螺母使得超聲波電源正常工作，整個諧振系統(tǒng)振動的聲音較小且沒有異響，利用示波器測得諧振系統(tǒng)的諧振頻率約為28889 Hz，表明該諧振系統(tǒng)穩(wěn)定工作。

圖9 超聲諧振試驗裝置Fig.9 Ultrasonic resonance test setup

為了測量諧振系統(tǒng)表面的節(jié)圓的具體位置，在砂輪表面均勻撒上碳化硅砂粒，開啟超聲波電源后，碳化硅砂粒在高頻振動的作用下形成為兩個節(jié)圓環(huán)，如圖10所示，表明平行砂輪在做節(jié)圓型彎曲振動，與理論設(shè)計中的彎曲振動假設(shè)和有限元仿真分析結(jié)果相符。

圖10 超聲諧振試驗結(jié)果Fig.10 Result of ultrasonic resonance test

對超聲諧振系統(tǒng)得到的如圖10所示兩節(jié)圓的位置進行測量， 得到兩節(jié)圓的半徑分別為r1= 27.33 mm、r2= 44.17 mm，并通過理論計算和有限元分析軟件進行諧響應(yīng)分析得到的節(jié)圓半徑結(jié)果如表3所示，并得到仿真誤差?U1= [|理論半徑?仿真半徑|/理論半徑]、試驗誤差?U2=[|理論半徑?試驗半徑|/理論半徑]。經(jīng)計算仿真誤差?U1均小于4%、試驗誤差?U2均小于5%。通過超聲諧振試驗證明所研制的平行砂輪超聲磨削主軸附件式刀具系統(tǒng)諧振效果較好，為進行超聲加工試驗奠定了基礎(chǔ)。

表3 諧振系統(tǒng)節(jié)圓位置分析Table 3 Analysis of pitch circle of resonance system

其中，理論計算與試驗驗證中存在誤差可能有以下幾點：

(1)理論建模時忽略了螺母和預緊力的影響，在實際的試驗過程中螺母的質(zhì)量和預緊力的大小會影響整體的質(zhì)量和剛度，影響諧振頻率。

(2)超聲波在不同材料組成的復合變幅器中傳播時衍射損失較大，使得能量損耗較大，影響諧振頻率。

(3)實際加工的零件和理論設(shè)計的零件由于工藝性、經(jīng)濟性等原因存在一定偏差，影響諧振頻率。

(4)壓電換能器與實際加工的復合變幅器通過螺紋連接方式連接在一起，在螺紋連接的區(qū)域存在間隙，可能會影響能量的傳播，影響諧振頻率。

5 結(jié)論

(1)利用Mindlin 中厚板理論建立了平行砂輪復合變幅器的頻率方程，通過編程進行了求解，完成了旋轉(zhuǎn)超聲磨削平行砂輪復合變幅器的設(shè)計。通過理論計算確定了砂輪表面節(jié)圓環(huán)的理論位置。

(2)利用理論設(shè)計得到的參數(shù)通過SolidWorks建立了復合變幅器三維模型，并通過有限元分析分析軟件進行了有限元模態(tài)分析，得到的諧振頻率誤差較小為2.7%，通過諧響應(yīng)分析得到了復合變幅桿的節(jié)點位置和砂輪表面節(jié)圓環(huán)的位置。

(3)對加工的平行砂輪復合變幅器進行了阻抗特性測試、超聲諧振試驗，得到諧振頻率誤差為1.77%。將有限元仿真分析和實際測出砂輪表面兩節(jié)圓環(huán)的位置與理論計算的偏差均小于5%。

(4)理論計算、有限元仿真分析、試驗分析驗證了平行砂輪復合變幅器設(shè)計方法的正確性，為旋轉(zhuǎn)超聲磨削系統(tǒng)中平行砂輪諧振系統(tǒng)的設(shè)計提供有效的設(shè)計方法。下一步將研究平行砂輪超聲磨削的加工質(zhì)量、加工效率、砂輪壽命等應(yīng)用性能。