考慮空間變異性的地基極限承載能力上限有限元分析

王曙光，夏鵬，董瀟陽，趙志剛

(1.貴州省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)研究院股份有限公司，貴州 貴陽 550081;2.武漢綜合交通研究院有限公司;3.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院；4.中鐵七局集團(tuán)有限公司)

1 引言

巖土體為天然材料，不同于鋼筋、混凝土等人工材料，由于現(xiàn)實(shí)條件下巖土體受到地質(zhì)、氣候等自然因素以及人為因素的影響，土體的強(qiáng)度參數(shù)在空間中呈現(xiàn)出明顯的非均質(zhì)性，這種性質(zhì)也被稱作土體參數(shù)固有的變異性。為了描述土體參數(shù)的變異性，常通過構(gòu)建隨機(jī)變量模型來表征土體參數(shù)的不確定性。然而土體參數(shù)在經(jīng)過漫長的沉積作用和后沉積作用后，其參數(shù)在空間中呈現(xiàn)變異性的同時(shí)又表征出一定的相關(guān)性，因此采用隨機(jī)變量模型已無法客觀和真實(shí)地表征實(shí)際土體參數(shù)在空間中的分布特征。相較于隨機(jī)變量模型，采用通過引入隨機(jī)場理論而構(gòu)建的隨機(jī)場模型來表征土體參數(shù)的空間變異性則更加合理。自隨機(jī)場理論誕生以來，國內(nèi)外眾多學(xué)者將其應(yīng)用于巖土工程領(lǐng)域，對(duì)巖土工程參數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)行定量分析，截至目前，已取得了較多的研究成果。在巖土工程分析過程中考慮巖土體參數(shù)隨空間的變化特性來更為真實(shí)地模擬土體參數(shù)的實(shí)際情況已經(jīng)成為一種趨勢。而如何更為精確地求解出地基的極限承載能力，已成為巖土工程領(lǐng)域中的一個(gè)研究熱點(diǎn)。近年來，越來越多的學(xué)者將隨機(jī)場理論與求解地基極限承載能力的過程相結(jié)合，Sung Eun Cho et al.采用隨機(jī)場理論考慮土體參數(shù)的空間變異性及參數(shù)間的互相關(guān)性對(duì)條形基礎(chǔ)的極限承載力的影響；Griffiths,D V et al將隨機(jī)場理論與非線性有限元算法相結(jié)合，對(duì)考慮剪切強(qiáng)度參數(shù)空間變異性的剛性條形基礎(chǔ)的承載力進(jìn)行概率分析；Yongxin Wu et al.將不排水抗剪強(qiáng)度參數(shù)建立為非平穩(wěn)隨機(jī)場，考慮參數(shù)變異性對(duì)條形基礎(chǔ)地基承載力的影響。對(duì)于地基極限承載能力的分析和計(jì)算，當(dāng)前最為常用的分析方法和研究理論主要?jiǎng)澐譃橐韵聨追N：極限平衡法、滑移線場法和極限分析方法。極限分析上限法作為一種新型的巖土工程研究手段，已得到了廣泛應(yīng)用。楊峰等構(gòu)造出網(wǎng)格狀的剛性滑體破壞模式以此處理均質(zhì)地基，以極限分析上限法作為理論基礎(chǔ)并巧妙地利用非線性優(yōu)化程序進(jìn)行求解；趙煉恒等將極限分析理論應(yīng)用于地基承載力，進(jìn)行了諸多探索，得到了良好的研究成果。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)、設(shè)備、算法的不斷進(jìn)步和優(yōu)化迭代，數(shù)值分析方法取得了極為迅速的發(fā)展，其中以極限分析和有限單元法相結(jié)合的極限分析有限元法表現(xiàn)出了較強(qiáng)的優(yōu)勢，當(dāng)前越來越多的學(xué)者采用極限分析法和有限單元法相結(jié)合的研究方法對(duì)巖土工程領(lǐng)域內(nèi)所面臨的諸多復(fù)雜的理論方法和技術(shù)難題進(jìn)行探索。Sloanet al.、Hjiaj et al.在極限分析有限元法方面做了大量的探索工作，取得了開創(chuàng)性的研究成果。OptumG2是由澳大利亞和歐洲的教授和工程師聯(lián)合開發(fā)的一款極限分析有限元軟件，因其操作界面簡單、收斂性強(qiáng)的特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于各類巖土工程實(shí)踐中，在分析復(fù)雜地質(zhì)條件、復(fù)雜支擋結(jié)構(gòu)的破壞模式分析、地基承載力分析、可靠度分析等方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢。

基于以上考慮，該文引入隨機(jī)場理論，考慮地基土體參數(shù)的空間變異性，對(duì)地基極限承載能力進(jìn)行上限有限元分析。利用OptumG2軟件考慮兩種不同的參數(shù)變化模式，將土體參數(shù)隨空間的變化情況分為兩種模式分別進(jìn)行建模分析：① 假定處于基礎(chǔ)下方土體的黏聚力隨著深度的遞增而線性增大，將黏聚力隨深度的變化情況分為3種變化梯度，對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，研究地基承載力隨黏聚力分布形式的變化規(guī)律；② 同時(shí)考慮黏聚力在水平和豎直方向上的變異性，假定處于基礎(chǔ)下方地基土體黏聚力的分布服從高斯隨機(jī)場，研究土體的黏聚力均值、變異系數(shù)、水平相關(guān)距離和豎直相關(guān)距離等參數(shù)的變化對(duì)地基極限承載能力的作用效應(yīng)。

2 考慮空間變異性的地基模型構(gòu)建

2.1 模型構(gòu)建

將基礎(chǔ)定義為剛性材料，基礎(chǔ)尺寸設(shè)置為寬度B=2 m、高度H=0.5 m，在基礎(chǔ)左右兩側(cè)施加法向約束；地基土體尺寸設(shè)置為寬度30 m、高度10 m，在地基左右兩側(cè)和底部邊界施加標(biāo)準(zhǔn)邊界約束。地基破壞模型見圖1。

圖1 地基破壞模型

2.2 有限元模型

考慮兩種參數(shù)分布形式分別進(jìn)行建模討論：

(1)黏聚力值隨深度的遞增而線性增加

黏聚力隨深度變化如圖2所示?；A(chǔ)下方土體服從M-C破壞準(zhǔn)則，取基礎(chǔ)下方土體黏聚力均值為30 kPa，黏聚力隨深度增大取不同的梯度，分別以1、2、3 kPa/m的梯度增大。

圖2 土體的黏聚力值隨深度變化

(2)黏聚力按平穩(wěn)隨機(jī)場分布

地基模型如圖3所示。平穩(wěn)隨機(jī)場指的是參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差與點(diǎn)在空間內(nèi)所處的絕對(duì)位置無關(guān)，而僅與兩點(diǎn)間的相對(duì)位置有關(guān)。該文假定參數(shù)隨機(jī)場遵循平穩(wěn)性假設(shè)，且土體黏聚力服從高斯分布，研究黏聚力的均值Uc、變異系數(shù)a、水平相關(guān)距離CLx和豎直相關(guān)距離CLy對(duì)地基極限承載能力的作用效應(yīng)。

圖3 土體黏聚力值按隨機(jī)場分布

3 地基極限承載能力上限有限元分析

3.1 黏聚力隨深度線性增大時(shí)地基極限承載力的計(jì)算與分析

首先對(duì)黏聚力值隨深度呈線性增加的情況進(jìn)行分析，黏聚力分別以1、2、3 kPa/m的梯度增大時(shí)，研究內(nèi)摩擦角φ、黏聚力均值Uc、外加載荷q和土體重度γ對(duì)地基極限承載能力的作用效應(yīng)，并將計(jì)算結(jié)果與均質(zhì)地基情況進(jìn)行對(duì)比。參數(shù)取值見表1。

表1 參數(shù)取值

(1)φ對(duì)地基極限承載力的作用效應(yīng)(圖4)

圖4 極限承載力隨φ的變化曲線

由圖4可知：在線性M-C條件下，對(duì)比各變化梯度下計(jì)算出的相應(yīng)地基極限承載能力的計(jì)算結(jié)果，從大到小依次是均質(zhì)地基數(shù)值模擬、黏聚力為梯度1 kPa/m數(shù)值模擬、梯度2 kPa/m數(shù)值模擬、梯度3 kPa/m數(shù)值模擬?？梢缘玫饺缦陆Y(jié)論：隨著φ的增大，不同變化梯度下計(jì)算得到相應(yīng)的極限承載能力均不斷增大；而且φ越大，在不同變化梯度下計(jì)算得到的相應(yīng)的極限承載能力的差值也會(huì)越大；并且當(dāng)土體的黏聚力值隨深度變化的梯度變大時(shí)，計(jì)算得到的相應(yīng)的極限承載能力值會(huì)減小。

(2)Uc對(duì)地基極限承載能力的作用效應(yīng)(圖5)

由圖5可知：在線性M-C準(zhǔn)則條件下，對(duì)比以上地基極限承載能力計(jì)算結(jié)果，從大到小依次是均質(zhì)地基數(shù)值模擬、黏聚力為梯度1 kPa/m數(shù)值模擬、梯度2 kPa/m數(shù)值模擬、梯度3 kPa/m數(shù)值模擬；隨著Uc的不斷遞增，不同變化梯度下計(jì)算得到的相應(yīng)的極限承載能力值均不斷增大；并且土體的黏聚力隨深度的變化梯度越大，計(jì)算得到的相應(yīng)的極限承載能力值越小。

圖5 Uc對(duì)極限承載能力的作用效應(yīng)曲線

(3)外加載荷q對(duì)極限承載能力的作用效應(yīng)(圖6)

圖6 外加載荷q對(duì)極限承載能力作用效應(yīng)曲線

由圖6可知：在線性M-C條件下，對(duì)比以上地基極限承載能力計(jì)算結(jié)果，從大到小依次是均質(zhì)地基數(shù)值模擬、黏聚力為梯度1 kPa/m數(shù)值模擬、梯度2 kPa/m數(shù)值模擬、梯度3 kPa/m數(shù)值模擬；隨著外加載荷q的增加，不同變化梯度下計(jì)算獲取的相應(yīng)的極限承載能力值均不斷增大；并且隨著土體黏聚力值隨深度變化的梯度變得越大，計(jì)算得到的極限承載力變得越小。

(4)土體重度γ對(duì)地基極限承載能力的作用效應(yīng)(圖7)

由圖7可知：在線性M-C條件下，對(duì)比以上地基極限承載能力計(jì)算結(jié)果，從大到小依次是均質(zhì)地基數(shù)值模擬、黏聚力為梯度1 kPa/m數(shù)值模擬、梯度2 kPa/m數(shù)值模擬、梯度3 kPa/m數(shù)值模擬；隨著土體重度γ的增大，不同變化梯度下計(jì)算得到的相應(yīng)的極限承載力均不斷增大；并且隨著土體的黏聚力值隨深度變化的梯度變得越大，計(jì)算得到的極限承載力變得越小。

圖7 γ對(duì)極限承載能力的作用效應(yīng)曲線

3.2 黏聚力按平穩(wěn)隨機(jī)場分布時(shí)地基極限承載能力的計(jì)算與分析

該節(jié)分析當(dāng)黏聚力參數(shù)服從高斯平穩(wěn)隨機(jī)場分布時(shí)，黏聚力均值Uc、空間變異系數(shù)a、水平相關(guān)距離CLx、豎直相關(guān)距離CLy對(duì)極限承載能力的作用效應(yīng)。使用極限分析有限元軟件并采用蒙特卡洛算法來實(shí)現(xiàn)參數(shù)的隨機(jī)分布，計(jì)算次數(shù)為1 000次。模型的幾何尺寸為：長30 m，高10 m，基礎(chǔ)寬度B=2 m。模型參數(shù)取值為：φ=20°，γ=20 kN/m3，q=10 kPa。

(1)Uc對(duì)地基極限承載能力的作用效應(yīng)(表2)

由表2可知：土體黏聚力參數(shù)隨機(jī)場的空間變異系數(shù)a=0.2，相應(yīng)的水平相關(guān)距離CLx=40 m，豎直相關(guān)距離CLy=1 m時(shí)，隨黏聚力均值Uc增大，地基極限承載能力計(jì)算結(jié)果的平均值、最小值和最大值均不斷增大。

(2)空間變異系數(shù)a的作用效應(yīng)(表3)

表2 Uc=20～30 kPa時(shí)計(jì)算結(jié)果

表3 a=0.1～0.3時(shí)計(jì)算結(jié)果

由表3可得：土體黏聚力參數(shù)隨機(jī)場的均值Uc=30 kPa，相應(yīng)的水平相關(guān)距離均為CLx=50 m，豎直相關(guān)距離均為CLy=1 m時(shí)，隨著土體黏聚力對(duì)應(yīng)的空間變異系數(shù)a的增大，計(jì)算獲取的極限承載力的均值和最小值均不斷減小，而極限承載力的最大值卻不斷增大。

(3)水平相關(guān)距離CLx的影響分析(表4)

表4 CLx=30～50 m時(shí)計(jì)算結(jié)果

由表4可知：土體黏聚力參數(shù)隨機(jī)場的均值Uc=30 kPa，空間變異系數(shù)a=0.2，豎直相關(guān)距離CLy=1 m時(shí)，隨著水平相關(guān)距離CLx的增加，極限承載力計(jì)算結(jié)果的均值有細(xì)微的減小，而對(duì)其最大值和最小值的影響規(guī)律并不顯著。

(4)豎直相關(guān)距離CLy的影響分析(表5)

表5 CLy=1～3 m時(shí)計(jì)算結(jié)果

由表5可知：土體黏聚力參數(shù)隨機(jī)場的均值Uc=30 kPa，相應(yīng)的空間變異系數(shù)a=0.3，水平相關(guān)距離CLx=50 m時(shí)，隨著豎直相關(guān)距離CLy的增大，地基的極限承載能力計(jì)算結(jié)果的平均值和最大值逐漸增大，而對(duì)最小值的影響規(guī)律并不明顯。

4 結(jié)論

(1)黏聚力均值Uc、內(nèi)摩擦角φ、外加超載q、土體重度γ，對(duì)地基的極限承載能力的作用效應(yīng)相似，任一參數(shù)值增大，均會(huì)造成地基極限承載能力增大。

(2)當(dāng)土體的黏聚力均值相等時(shí)，對(duì)于黏聚力隨深度線性增大的地基，地基的極限承載能力要比均質(zhì)地基?。煌馏w黏聚力隨深度變化的梯度越大，地基的極限承載能力值越小。

(3)黏聚力服從高斯分布時(shí)，黏聚力均值Uc越大，相應(yīng)的地基極限承載能力計(jì)算結(jié)果的平均值、最小值和最大值均不斷增大。

(4)隨機(jī)場參數(shù)會(huì)對(duì)地基極限承載力產(chǎn)生影響，變異系數(shù)a越大，相應(yīng)的極限承載力的均值和最小值均不斷減小，而極限承載力的最大值卻不斷增大；水平相關(guān)距離CLx越大，極限承載力計(jì)算結(jié)果的均值有細(xì)微的減小，而對(duì)其最大值和最小值的影響規(guī)律并不顯著；豎直相關(guān)距離CLy越大，地基的極限承載能力計(jì)算結(jié)果的均值和最大值逐漸增大，而對(duì)最小值的影響規(guī)律并不明顯。