左廣義弱零插入環(huán)的一個問題

尚萬振, 喬小燕

(1. 泰山科技學(xué)院 數(shù)理教學(xué)部, 山東 泰安 271038; 2. 山東工商學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 山東 煙臺 264005)

如果a,b∈R滿足ab=0時, 有aRb=0, 則稱環(huán)R具有插入因子性質(zhì)(IFP)[1]. Shin[2]用術(shù)語SI(R中每個元的右零化子是理想)取代了IFP的意義; Narbonne[3]用Semicommutative(半交換)代替了IFP; Habeb[4]用ZI(零插入)代替了IFP. 本文選擇半交換環(huán)的術(shù)語. 目前, 關(guān)于半交換環(huán)及其推廣應(yīng)用的研究已有很多結(jié)果[5-11]. Shin[2]證明了R是半交換環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對每個a∈R,l(a)和r(a)都是R的理想.Du等[7]對該結(jié)果進(jìn)行了非平凡的推廣.

如果對每個a∈L, 均存在正整數(shù)n, 使得anR?L, 則環(huán)R的左理想L稱為廣義弱(GW)-理想.如果對每個a∈R,l(a)都是一個GW-理想, 則稱環(huán)R為左GWZI環(huán)[7].類似地, 如果對每個a∈M, 均存在正整數(shù)n, 使得Ran?M, 則R的右理想M稱為一個GW-理想.如果對任意a∈R,r(a)是一個GW-理想, 則R稱為右GWZI環(huán).如果R既是左又是右GWZI環(huán), 則稱其為GWZI環(huán).文獻(xiàn)[7]研究了左GWZI環(huán)的性質(zhì), 證明了R是左GWZI環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)S3(R)是左GWZI環(huán), 但未證明該結(jié)論對于任意整數(shù)n>3是否仍成立.本文給出該問題的肯定回答: 即R是左GWZI環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對任意整數(shù)n≥2,Sn(R)是左GWZI環(huán).

引理1[8]下列陳述對環(huán)R是等價的:

1)R是左GWZI環(huán);

2) 如果a,b∈R滿足ab=0, 則存在正整數(shù)n, 使得anRb=0.

證明: 1)?2).令a,b∈R滿足ab=0.由R的左GWZI性知,l(b)為其GW-理想.因而a∈l(b)蘊(yùn)含存在正整數(shù)n, 使得anR?l(b), 于是anRb=0.

2)?1).對于任意的c∈R, 如果d∈l(c), 則dc=0.由假設(shè)知, 存在正整數(shù)n, 使得dnRc=0, 表明dnR?l(c), 即l(c)是R的GW-理想, 從而R是左GWZI環(huán).

直接驗(yàn)證可得：

引理2令R為左GWZI環(huán),m為正整數(shù).如果a,b1,b2,…,bm∈R滿足ab1=ab2=…=abm=0, 則存在正整數(shù)n, 使得anRb1=anRb2=…=anRbm=0.

引理3令R為左GWZI環(huán),n≥2為整數(shù).如果A,B∈Sn(R)滿足AB=0, 則存在正整數(shù)q, 使得對任意的γn=(c1,c2,…,cn)∈Rn, 均有aqγnB=0, 其中a是A的主對角元.

aqRb=0,aqRβ=0,aqδk-1B1=0,

(1)

利用式(1)直接計(jì)算可得

由數(shù)學(xué)歸納原理知, 對任意n≥2結(jié)論均成立.證畢.

證明: 由AB=0可知A1B1=0,aβ+αB1=0.由引理3知, 存在整數(shù)p≥2, 使得ap-1αB1=0, 再由aβ+αB1=0可得apβ=0, 最后利用引理2可知, 存在整數(shù)q≥p, 使得aqRβ=0.

定理1令R為環(huán),n≥2為整數(shù), 則R為左GWZI環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Sn(R)為左GWZI環(huán).

證明: 假設(shè)R是左GWZI環(huán), 用歸納法證明Sn(R)是左GWZI環(huán).當(dāng)n=2時, 由文獻(xiàn)[7]中引理2.7可知結(jié)論正確.

(2)

其中c∈R,C1∈Sk-1(R),γ∈Rk-1.

ΔC1B1=(a2m-1α+a2m-2αA1+…+amαAm-1)C1B1,

再由amγk-1B1=0, 可得ΔC1B1=0, 從而A2m+1CB=0.

反之, 如果Sn(R)是左GWZI環(huán), 則其子環(huán)RIn是左GWZI環(huán), 再由環(huán)同構(gòu)R?RIn知,R是左GWZI環(huán).

推論1[7]環(huán)R是左GWZI環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對任何整數(shù)n≥2,Vn(R)都是左GWZI環(huán).

對任意環(huán)R, 其上由對角元相等的可數(shù)無限上三角矩陣構(gòu)成的環(huán)S(R)不是左GWZI環(huán)[8].