二維函數(shù)光子晶體中的類Dirac點(diǎn)及帶隙結(jié)構(gòu)

任明麗, 楊涪銓, 劉 晗, 韓 夢, 朱翔久, 姜明奇, 吳向堯

(吉林師范大學(xué) 物理學(xué)院, 吉林 四平 136000)

近年來, 光子晶體材料在許多領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 如石墨烯被用作潤滑劑, 由于其片狀結(jié)構(gòu), 因此大量碳原子在同一平面內(nèi)緊密結(jié)合, 在范德華力的作用下上下薄片間僅微弱附著, 這種弱的層間相互作用使提取原子或幾層原子成為可能[1-2]; 二硫化鉬(MoS2)已用于設(shè)計(jì)二維光源、 晶體管、 偏振選擇器和光電探測器等光電器件[3-6]. 二維MoS2與塊狀材料相比, 其單層膜結(jié)構(gòu)的直接帶隙使光致發(fā)光得到加強(qiáng)[7], 得到了更小的有效激子Bohr半徑(1 nm)和較大的激子結(jié)合能(0.96 eV), 為實(shí)現(xiàn)在室溫下的激子器件研發(fā)提供了條件[8], 其偶極取向的二維特性使激子發(fā)射具有高度的各向異性[9].

與三維光子晶體材料相比, 二維光子晶體材料具有許多獨(dú)特性能. 首先, 垂直于二維平面方向的量子局域產(chǎn)生了新的電學(xué)和光學(xué)性質(zhì), 這些性質(zhì)與三維情形明顯不同[10]. 其次, 二維材料的表面會(huì)自然鈍化任何懸垂鍵, 從而使二維材料易與波導(dǎo)和空腔等光子結(jié)構(gòu)集成. 由于異質(zhì)結(jié)構(gòu)中晶格常數(shù)不同的層與層狀體材料的范德華力結(jié)合較弱, 因此使用不同的二維材料可構(gòu)建垂直異質(zhì)結(jié)構(gòu)而不存在傳統(tǒng)的晶格失配問題[11]. 最后, 由于二維材料的原子層較薄, 因此它們與光的相互作用更強(qiáng)[12].

在研究石墨烯的電子能帶結(jié)構(gòu)中提出了Dirac點(diǎn)[13-15], Dirac點(diǎn)通常出現(xiàn)在第一個(gè)Brillouin區(qū)內(nèi), 在帶隙結(jié)構(gòu)中, 上、 下導(dǎo)帶間以線性方式相交, 產(chǎn)生一個(gè)Dirac錐, 在該點(diǎn)上, Maxwell方程組可被不含質(zhì)量的Dirac方程取代[16]. 在光子晶體結(jié)構(gòu)中可模擬石墨烯中的Klein隧道效應(yīng)和Zitterbewegung效應(yīng)[17-19]. 此外, Dirac點(diǎn)可研究光子晶體中的局域態(tài)模式, 稱為Dirac模式[20]. 目前, 已對三角形、 蜂窩形、 阿基米德式和類蜂窩形晶格的光子晶體中Dirac模式進(jìn)行了研究[21].

在正方形晶格的光子晶體Brillouin區(qū)中心存在線性色散關(guān)系. 半Dirac點(diǎn)是一類研究特殊電子帶隙色散關(guān)系的新模式[22], 由能帶在Brillouin區(qū)中心或邊界上相交于一點(diǎn)形成. 在二維(2D)Brillouin區(qū)費(fèi)米面的一個(gè)點(diǎn)附近, 色散關(guān)系沿對稱軸是線性關(guān)系, 在垂直方向?yàn)槎涡问? 研究表明, 該半Dirac點(diǎn)與半金屬相和帶絕緣體間的拓?fù)湎嘧冇嘘P(guān)[23].

由A和B兩種介質(zhì)組成的一維函數(shù)光子晶體, 其折射率是關(guān)于空間坐標(biāo)的函數(shù)[24-26], 與由介質(zhì)折射率為常量的A和B兩種介質(zhì)構(gòu)成常規(guī)光子晶體不同. 本文研究二維函數(shù)光子晶體橫電(TE)和橫磁(TM)波模式的帶隙結(jié)構(gòu), 并在二維函數(shù)光子晶體中得到絕對帶隙和類Dirac點(diǎn). 當(dāng)介質(zhì)柱半徑和介電常數(shù)的函數(shù)形式不同時(shí), 帶隙結(jié)構(gòu)發(fā)生相應(yīng)改變. 因此， 利用二維函數(shù)光子晶體可設(shè)計(jì)所需的帶隙結(jié)構(gòu), 從而為光學(xué)器件的設(shè)計(jì)提供一種新方法.

1 二維函數(shù)光子晶體介電常數(shù)的Fourier變換

圓柱形介質(zhì)柱的介電常數(shù)為

(1)

或表示為

(2)

方程(2)可寫為

(3)

(4)

(5)

將方程(3)代入式(5)可得

其中

(8)

當(dāng)|r∥|=r∥=r, |G∥|=G∥, dr∥=ds=rdrdθ時(shí),r∥和G∥的夾角為θ.

由式(8)可得

(9)

當(dāng)G∥→0(m→0,n→0)時(shí),

當(dāng)G∥=0,J0(0)=1時(shí), 由式(11)可得

(12)

將I1,I2和I3代入方程(6)可得

(13)

方程(13)稱為二維函數(shù)光子晶體介電常數(shù)的Fourier變換.當(dāng)εa(r)=εa時(shí), 若εa為常數(shù), 則方程(13)變?yōu)?/p>

(14)

方程(14)稱為二維常規(guī)光子晶體介電常數(shù)的Fourier變換. 因此, 二維常規(guī)光子晶體是二維函數(shù)光子晶體的特殊情況.

用平面波展開法可得TM波和TE波的特征值方程[29-30]分別為

將式(13)代入式(15)和式(16), 可得二維函數(shù)光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu).

2 數(shù)值分析

下面分析二維函數(shù)型光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的數(shù)值結(jié)果. 分別用方程(13),(15),(16)計(jì)算二維函數(shù)光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu). 設(shè)該光子晶體為三角形晶格, 圓柱形介質(zhì)柱位于空氣背景板中. 研究介電常數(shù)是空間坐標(biāo)的函數(shù)形式εa(r)=kr2+b(0≤r≤ra), 其中r為介質(zhì)柱半徑,k為函數(shù)系數(shù), 當(dāng)k=0時(shí), 它是常規(guī)型光子晶體, 當(dāng)k≠0時(shí), 變?yōu)楹瘮?shù)型光子晶體, 令k=3×1012,b為常數(shù)項(xiàng).研究常數(shù)項(xiàng)b對函數(shù)光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的影響.

介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa(r)=kr2+b和b=8時(shí)三角晶格二維函數(shù)光子晶體TE模式和TM模式的帶隙結(jié)構(gòu)如圖1所示, 其中k=3×1012, 介質(zhì)柱半徑r=0.4a.由圖1可見, 當(dāng)ωa/(2πc)=0～1時(shí), TE波有5個(gè)帶隙, TM波沒有帶隙. 由于在帶隙結(jié)構(gòu)譜中, 兩層能帶相交, 在一個(gè)方向上是線性的, 在另一個(gè)方向上是二次型的, 將這種交點(diǎn)定義為類Dirac點(diǎn). 因此, 在TE波帶隙中有A和B兩個(gè)點(diǎn)為類Dirac點(diǎn).

圖1 介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa(r)=kr2+b和b=8時(shí)三角晶格二維函數(shù)光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)Fig.1 Band gap structures of two-dimensional functional photonic crystals with triangular lattice when functional form of dielectric column dielectric constants εa(r)=kr2+b and b=8

介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa(r)=kr2+b和b=9時(shí)三角晶格二維函數(shù)光子晶體TE模式和TM模式的帶隙結(jié)構(gòu)如圖2所示, 其中k=3×1012, 介質(zhì)柱半徑r=0.4a.由圖2可見, 當(dāng)ωa/(2πc)=0～1時(shí), TE波有5個(gè)帶隙, TM波有1個(gè)帶隙. 在TE波帶隙中有A和B兩個(gè)點(diǎn)為類Dirac點(diǎn).

圖2 介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa(r)=kr2+b和b=9時(shí)三角晶格二維函數(shù)光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)Fig.2 Band gap structures of two-dimensional functional photonic crystals with triangular lattice when functional form of dielectric column dielectric constants εa(r)=kr2+b and b=9

介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa(r)=kr2+b和b=10時(shí)三角晶格二維函數(shù)光子晶體TE模式和TM模式的帶隙結(jié)構(gòu)如圖3所示, 其中k=3×1012, 介質(zhì)柱半徑r=0.4a.由圖3可見, 當(dāng)ωa/(2πc)=0～1時(shí), TE波有5個(gè)帶隙, TM波有2個(gè)帶隙. 在頻率為0.4附近, TE和TM波的帶隙重合, 稱為完全禁帶. 在TE波帶隙中有A和B兩個(gè)點(diǎn)為類Dirac點(diǎn).

圖3 介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa(r)=kr2+b和b=10時(shí)三角晶格二維函數(shù)光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)Fig.3 Band gap structures of two-dimensional functional photonic crystals with triangular lattice when functional form of dielectric column dielectric constants εa(r)=kr2+b and b=10

由圖1～圖3可見, 隨著折射率函數(shù)常數(shù)項(xiàng)b的增加, 在TE波中的帶隙發(fā)生了藍(lán)移, 均出現(xiàn)2個(gè)類Dirac點(diǎn), 并在TM波的帶隙中出現(xiàn)了新的禁帶, 表明改變常數(shù)項(xiàng)b可實(shí)現(xiàn)函數(shù)光子晶體能隙結(jié)構(gòu)的改變.

介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa(r)=kr2+b和b=9,k=5×1012時(shí)三角晶格二維函數(shù)光子晶體TE模式和TM模式的帶隙結(jié)構(gòu)如圖4所示, 其中介質(zhì)柱半徑r=0.4a.由圖4可見, 當(dāng)增加函數(shù)系數(shù)k時(shí), 在TM模式的帶隙中出現(xiàn)了1個(gè)類Dirac點(diǎn)C, 兩種模式的帶隙均向低頻率偏移.

圖4 介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa(r)=kr2+b和b=9, k=5×1012時(shí)三角晶格二維函數(shù)光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)Fig.4 Band gap structures of two-dimensional functional photonic crystals with triangular lattice when functional form of dielectric column dielectric constants εa(r)=kr2+b and b=9, k=5×1012

介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為ε(r)=k/(r+d)+b和r=0.2a時(shí)三角晶格二維函數(shù)光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)如圖5所示, 其中k=7×10-6,d=2×10-6,b=11.由圖5可見, 當(dāng)ωa/(2πc)=0～1時(shí), TE波有3個(gè)帶隙, TM波有2個(gè)帶隙, 當(dāng)ωa/(2πc)=0.46～0.57時(shí), TE和TM波的帶隙中出現(xiàn)完全禁帶.

圖5 介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為ε(r)=k/(r+d)+b和r=0.2a時(shí)三角晶格二維函數(shù)光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)Fig.5 Band gap structures of two-dimensional functional photonic crystals with triangular lattice when functional form of dielectric column dielectric constants ε(r)=k/(r+d)+b and r=0.2a

介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為ε(r)=k/(r+d)+b和r=0.3a時(shí)三角晶格二維函數(shù)光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)如圖6所示, 其中k=7×10-6,d=2×10-6,b=11.由圖6可見, 隨著介質(zhì)柱半徑r的增加, 在TE波帶隙中出現(xiàn)一個(gè)帶隙, TE波的帶隙結(jié)構(gòu)逐漸藍(lán)移, 且完全禁帶的寬度逐漸變窄.

圖6 介質(zhì)柱介電常數(shù)函數(shù)形式為ε(r)=k/(r+d)+b和r=0.3a時(shí)三角晶格二維函數(shù)光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)Fig.6 Band gap structures of two-dimensional functional photonic crystals with triangular lattice when functional form of dielectric column dielectric constants ε(r)=k/(r+d)+b and r=0.3a

綜上, 本文設(shè)計(jì)了一種二維函數(shù)型光子晶體, 并計(jì)算了TE和TM波的帶隙結(jié)構(gòu). 結(jié)果表明： 在二維函數(shù)光子晶體中得到了絕對帶隙和類Dirac點(diǎn)； 當(dāng)介質(zhì)柱半徑和介電常數(shù)函數(shù)形式不同時(shí), 帶隙結(jié)構(gòu)發(fā)生改變, 利用二維函數(shù)光子晶體可設(shè)計(jì)所需的帶隙結(jié)構(gòu). 由于二維常規(guī)光子晶體的結(jié)構(gòu)固定, 因此其帶隙結(jié)構(gòu)不變. 若需一種新的帶隙結(jié)構(gòu), 則需對二維常規(guī)光子晶體進(jìn)行改造. 對于二維函數(shù)光子晶體, 通過調(diào)節(jié)外部光強(qiáng)分布即可改變介質(zhì)柱介電常數(shù)的函數(shù)形式, 同時(shí)調(diào)節(jié)介質(zhì)柱的半徑, 可改變函數(shù)光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)以及類Dirac點(diǎn)的位置.